高中数学第二章随机变量及其分布2.2.3独立重复试验与二项分布学案新人教A版选修2-

2．2.3独立重复试验与二项分布n次独立重复试验的模型．2.理解二项分布．3．能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．1．n次独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．2．二项分布前提在n次独立重复试验中字母的含义X事件A发生的次数p每次试验中事件A发生的概率分布列P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n结论随机变量X服从二项分布记法记作X～B(n，p)，并称p为成功概率eq\a\vs4\al()明确该公式中各量表示的意义：n为重复试验的次数；p为在一次试验中某事件A发生的概率；k是在n次独立重复试验中事件A发生的次数．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)n次独立重复试验的每次试验结果可以有多种．()(2)n次独立重复试验的每次试验的条件可以略有不同．()(3)二项分布与超几何分布是同一种分布．()(4)两点分布是二项分布的特殊情形．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√已知随机变量X服从二项分布，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3)))，则P(X＝2)等于()A.eq\f(3,16) B.eq\f(4,243)C.eq\f(13,243) D.eq\f(80,243)答案：D任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为()A.eq\f(3,4) B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)答案：B设随机变量X～B(2，p)，若P(X≥1)＝eq\f(5,9)，则p＝________．答案：eq\f(1,3)探究点1独立重复试验的概率甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果须用分数作答)(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．【解】(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P(A1)＝1－P(A1)＝1－(eq\f(2,3))3＝eq\f(19,27).(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝Ceq\o\al(2,2)×(eq\f(2,3))2＝eq\f(4,9)，P(B2)＝Ceq\o\al(1,2)×(eq\f(3,4))1×(1－eq\f(3,4))＝eq\f(3,8)，由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝eq\f(4,9)×eq\f(3,8)＝eq\f(1,6).1．[变问法]在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率？解：记“甲击中目标1次”为事件A3，“乙击中目标1次”为事件B3，则P(A3)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(4,9)，P(B3)＝eq\f(3,8)，所以甲、乙均击中目标1次的概率为P(A3B3)＝eq\f(4,9)×eq\f(3,8)＝eq\f(1,6).2．[变问法]在本例(2)的条件下，求甲未击中、乙击中2次的概率？解：记“甲未击中目标”为事件A4，“乙击中2次”为事件B4，则P(A4)＝Ceq\o\al(0,2)(1－eq\f(2,3))2＝eq\f(1,9)，P(B4)＝Ceq\o\al(2,2)(eq\f(3,4))2＝eq\f(9,16)，所以甲未击中、乙击中2次的概率为P(A4B4)＝eq\f(1,9)×eq\f(9,16)＝eq\f(1,16).eq\a\vs4\al()独立重复试验概率求法的三个步骤A发生的概率为p，则在n次独立重复试验中eq\o(A,\s\up6(－))发生k次的概率为()A．Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k B．(1－p)kpn－kC．(1－p)kD．Ceq\o\al(k,n)(1－p)kpn－k解析：选D.由于P(A)＝p，P(A)＝1－p，所以在n次独立重复试验中事件A发生k次的概率为Ceq\o\al(k,n)(1－p)kpn－k.故选D.2．某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位)(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率；(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率．解：(1)记“预报一次准确”为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验．“恰有2次准确”的概率为P＝Ceq\o\al(2,5)×2×3＝0.0512≈5，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝Ceq\o\al(0,5)×5＋Ceq\o\al(1,5)××4＝0.00672.所以所求概率为1－P＝1－0.00672≈0.99.所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.探究点2二项分布抛掷两枚骰子，取其中一枚的点数为点P的横坐标，另一枚的点数为点P的纵坐标，求连续抛掷这两枚骰子三次，点P在圆x2＋y2＝16内的次数X的分布列．【解】由题意可知，点P的坐标共有6×6＝36(种)情况，其中在圆x2＋y2＝16内的有点(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)共8种，则点P在圆x2＋y2＝16内的概率为eq\f(8,36)＝eq\f(2,9).由题意可知X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,9)))，所以P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,9)))eq\s\up12(0)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)))eq\s\up12(3)＝eq\f(343,729)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,9)))eq\s\up12(1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)))eq\s\up12(2)＝eq\f(98,243)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,9)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)))eq\s\up12(1)＝eq\f(28,243)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,9)))eq\s\up12(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)))eq\s\up12(0)＝eq\f(8,729).故X的分布列为X0123Peq\f(343,729)eq\f(98,243)eq\f(28,243)eq\f(8,729)eq\a\vs4\al()解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．，如果出现k次正面的概率等于出现k＋1次正面的概率，那么k的值等于()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.事件A＝“正面向上”，发生的次数ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,2)))，由题设得Ceq\o\al(k,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(5)＝Ceq\o\al(k＋1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(5)，所以k＋k＋1＝5，所以k＝2.2．位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是eq\f(1,2)，质点P移动5次后位于点(2，3)的概率是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(5) B．Ceq\o\al(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(5)C．Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3) D．Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(5)解析：选 B.质点P由原点移动到(2，3)需要移动5次，且必须有2次向右，3次向上，所以质点P移动5次后位于点(2，3)的概率即为质点P的5次移动中恰有2次向右移动的概率，而每一次向右移动的概率都是eq\f(1,2)，所以向右移动的次数X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,2)))，所以所求的概率为P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝Ceq\o\al(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(5).究点3二项分布的综合应用袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：(1)有放回抽样时，取到黑球的次数X的分布列；(2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列．【解】(1)有放回抽样时，取到的黑球的次数X可能的取值为0，1，2，3.由于每次取到黑球的概率均为eq\f(1,5)，3次取球可以看成3次独立重复试验，则X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,5)))，则P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(0)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(3)＝eq\f(64,125)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(48,125)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(1)＝eq\f(12,125)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(0)＝eq\f(1,125).所以X的分布列为X0123Peq\f(64,125)eq\f(48,125)eq\f(12,125)eq\f(1,125)(2)不放回抽样时，取到的黑球数Y可能的取值为0，1，2，则P(Y＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,2)Ceq\o\al(3,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(Y＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(Y＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).所以Y的分布列为Y012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)eq\a\vs4\al()二项分布实际应用问题的解题策略(1)根据题意设出随机变量．(2)分析出随机变量服从二项分布．(3)找到参数n(试验的次数)和p(事件发生的概率)．(4)写出二项分布的分布列．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为eq\f(1,2).(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的考生人数为X，求X的分布列．解：(1)设事件A表示“甲选做第14题”，事件B表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB∪AB”，且事件A，B相互独立．所以P(AB∪AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋(1－eq\f(1,2))×(1－eq\f(1,2))＝eq\f(1,2).(2)随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4.且X～B(4，eq\f(1,2))．所以P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,4)(eq\f(1,2))k(1－eq\f(1,2))4－k＝Ceq\o\al(k,4)(eq\f(1,2))4(k＝0，1，2，3，4)．所以随机变量X的分布列为X01234Peq\f(1,16)eq\f(1,4)eq\f(3,8)eq\f(1,4)eq\f(1,16)1．某人投篮一次投进的概率为eq\f(2,3)，现在他连续投篮6次，且每次投篮相互之间没有影响，那么他投进的次数ξ服从参数为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(2,3)))的二项分布，记为ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(2,3)))，计算P(ξ＝2)＝()A.eq\f(20,243) B.eq\f(8,243)C.eq\f(4,729) D.eq\f(4,27)解析：选A.根据二项分布概率的计算公式可得，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(20,243)，故选A.2．一名射手对同一目标独立地射击四次，已知他至少命中一次的概率为eq\f(80,81)，则此射手一次射击命中的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(2,5)解析：选 B.设此射手射击四次命中次数为ξ，一次射击命中的概率为p，所以ξ～B(4，p)．依题意可知，P(ξ≥1)＝eq\f(80,81)，所以1－P(ξ＝0)＝1－Ceq\o\al(0,4)(1－p)4＝eq\f(80,81)，所以(1－p)4＝eq\f(1,81)，所以p＝eq\f(2,3).3．某市公租房的房源位于甲、乙、丙三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．则该市的4位申请人中恰有2人申请甲片区房源的概率为________．解析：每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，设申请甲片区房源记为A，则P(A)＝eq\f(1,3)，恰有2人申请甲片区的概率为P＝Ceq\o\al(2,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(8,27).答案：eq\f(8,27)4．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为eq\f(1,2)，乙每次击中目标的概率为eq\f(2,3).求乙恰好比甲多击中目标2次的概率．解：设“乙恰好比甲多击中目标2次”为事件A，“乙击中目标2次且甲击中目标0次”为事件B1，“乙击中目标3次且甲击中目标1次”为事件B2，则A＝B1∪B2，B1，B2为互斥事件，则P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝Ceq\o\al(2,3)×(eq\f(2,3))2×eq\f(1,3)×Ceq\o\al(0,3)×(eq\f(1,2))3＋Ceq\o\al(3,3)×(eq\f(2,3))3×Ceq\o\al(1,3)×(eq\f(1,2))3＝eq\f(1,6)，所以乙恰好比甲多击中目标2次的概率为eq\f(1,6).知识结构深化拓展1.独立重复试验的基本特征(1)每次试验都在同样条件下进行．(2)每次试验都只有两种结果：发生与不发生．(3)各次试验之间相互独立．(4)每次试验，某事件发生的概率都是一样的．2．n次独立重复试验的概率公式中各字母的含义[A基础达标]1．某学生通过英语听力测试的概率为eq\f(1,3)，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是()A.eq\f(4,9) B.eq\f(2,9)C.eq\f(4,27) D.eq\f(2,27)解析：选A.记“恰有1次获得通过”为事件A，则P(A)＝Ceq\o\al(1,3)(eq\f(1,3))·(1－eq\f(1,3))2＝eq\f(4,9).故选A.2．设随机变量ξ服从二项分布ξ～B(6，eq\f(1,2))，则P(ξ≤3)等于()A.eq\f(11,32) B.eq\f(7,32)C.eq\f(21,32) D.eq\f(7,64)解析：选C.P(ξ≤3)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(0,6)×(eq\f(1,2))6＋Ceq\o\al(1,6)·(eq\f(1,2))6＋Ceq\o\al(2,6)·(eq\f(1,2))6＋Ceq\o\al(3,6)·(eq\f(1,2))6＝eq\f(21,32).故选C.3．甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为eq\f(2,3)，则甲以3∶1的比分获胜的概率为()A.eq\f(8,27) B.eq\f(64,81)C.eq\f(4,9) D.eq\f(8,9)解析：选A.当甲以3∶1的比分获胜时，说明甲乙两人在前三场比赛中，甲只赢了两局，乙赢了一局，第四局甲赢，所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P＝Ceq\o\al(2,3)(eq\f(2,3))2(1－eq\f(2,3))×eq\f(2,3)＝3×eq\f(4,9)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，故选A.4．一个学生通过某种英语听力测试的概率是eq\f(1,2)，他连续测试n次，，那么n的最小值为()A．6 B．5C．4 D．3解析：选C.由1－Ceq\o\al(0,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)，所以n≥4.5．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{an}，an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1，第n次摸取红球,1，第n次摸取白球))，如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为()A．Ceq\o\al(5,7)×(eq\f(1,3))2×(eq\f(2,3))5B．Ceq\o\al(2,7)×(eq\f(2,3))2×(eq\f(1,3))5C．Ceq\o\al(5,7)×(eq\f(1,3))2×(eq\f(1,3))5D．Ceq\o\al(2,7)×(eq\f(1,3))2×(eq\f(2,3))2解析：选B.由S7＝3知，在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的概率为eq\f(2,3)，摸取白球的概率为eq\f(1,3)，则S7＝3的概率为Ceq\o\al(2,7)×(eq\f(2,3))2×(eq\f(1,3))5，故选 B.6．下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有________．①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数；②，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；③有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数(M<N)；④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数．解析：对于①，设事件A为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，P(A)＝eq\f(1,3).而在n次独立重复试验中事件A恰好发生了k次(k＝0，1，2，…，n)的概率P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,n)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(k)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n－k)，符合二项分布的定义，即有ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,3)))；对于②，ξ的取值是1，2，3，…，n，P(ξ＝k)＝×k－1(k＝1，2，3，…，n)，显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项分布；③和④的区别是：③是“有放回”抽取，而④是“不放回”抽取，显然④中n次试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，对于③有ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(M,N))).答案：①③7．一袋中装有4个白球，2个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现3次停止，设停止时，取球次数为随机变量X，则P(X＝5)＝________．解析：X＝5表示前4次中有2次取到红球，2次取到白球，第5次取到红球．则P(X＝5)＝Ceq\o\al(2,4)(eq\f(1,3))2×(eq\f(2,3))2×eq\f(1,3)＝eq\f(8,81).答案：eq\f(8,81)8．张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟．假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是eq\f(1,3).则张师傅此行程时间不少于16分钟的概率为________．解析：如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟，所以张师傅此行程时间不少于16分钟的概率P＝1－(1－eq\f(1,3))4＝eq\f(65,81).答案：eq\f(65,81)9．下列随机变量X服从二项分布吗？如果服从二项分布，其参数各是什么？(1)掷5枚相同的正方体骰子，X为出现“1点”的骰子数．(2)1000个新生婴儿，X为男婴的个数．(3)某产品的次品率为p，X为n个产品中的次品数．%，X为任取10个女人中患色盲的人数．解：(1)X服从参数为5，eq\f(1,6)的二项分布，简记为X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,6))).(2)X服从参数为1000，eq\f(1,2)的二项分布，简记为X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1000，\f(1,2))).(3)X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p)．(4)X服从参数为10，0.25%的二项分布，简记为X～B(10，0.25%)．10．甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错或不答者得零分．假设甲队中每人答对的概率均为eq\f(2,3)，乙队中3人答对的概率分别为eq\f(2,3)，eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，且每人答对与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)设C表示事件“甲队得2分，乙队得1分”，求P(C)．解：(1)由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,27)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(2,9)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(4,9)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8,27)，所以ξ的分布列为ξ0123Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)(2)甲队得2分，乙队得1分，两个事件是独立的，由上表可知，甲队得2分，其概率为P(ξ＝2)＝eq\f(4,9)，乙队得1分，其概率为P＝eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,18).根据独立事件概率公式得P(C)＝eq\f(4,9)×eq\f(5,18)＝eq\f(10,81).[B能力提升]11．近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为低碳族，否则称为非低碳族．数据如下表(计算过程把频率当成概率)：A小区低碳族非低碳族频率pB小区低碳族非低碳族频率p(1)如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；(2)A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，试写出X满足的分布．解：(1)设事件C表示“这4人中恰有2人是低碳族”，P(C)＝Ceq\o\al(2,2)·2·Ceq\o\al(2,2)·2＋Ceq\o\al(1,2)·××Ceq\o\al(1,2)·×＋Ceq\o\al(2,2)·2·Ceq\o\al(2,2)·2＝0.01＋0.16＋0.16＝0.33.即甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33.(2)设A小区有a人，两周后非低碳族的概率P1＝eq\f(a×0.5×（1－20%）2,a)＝0.32.故低碳族的概率P2＝1－0.32＝0.68.随机地从A小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即X～B(25，)．12．为向国际化大都市目标迈进，沈阳市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程，20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有来自沈阳的3名工人相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设．(1)求这3人选择的项目所属类别互异的概率；(2)将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为X，求X的分布列．解：记第i名工人选择的项目属于基础设施类，民生类，产业建设类分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1，2，3.由题意知A1，A2，A3，B1，B2，B3，C1，C2，C3均相互独立．则P(Ai)＝eq\f(30,60)＝eq\f(1,2)，P(Bi)＝eq\f(20,60)＝eq\f(1,3)，P(Ci)＝eq\f(10,60)＝eq\f(1,6)(i＝1，2，3)．(1)3人选择的项目所属类别互异的概率：P＝Aeq\o\al(3,3)P(A1B2C3)＝6×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,6).(2)任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率：P＝eq\f(30＋10,60)＝eq\f(2,3).由X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，所以P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(3－k)(k＝0，1，2，3)．所以X的分布列为X0123Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)13.(选做题)如图，在竖直平面内有一个“游戏滑道”，空白部分表示光滑滑道，黑色正方形表示障碍物，自上而下第一行有1个障碍物，第二行有2个障碍物，……，依此类推，一个半径适当的光滑均匀小球从入口A投入滑道，小球将自由下落，已知小球每次遇到正方形障碍物上顶点时，向左、右两边下落的概率都是eq\f(1,2).记小球遇到第n行第m个障碍物(从左至右)上顶点的概率为P(n，m)．(1)求P(4，1)，P(4，2)的值，并猜想P(n，m)的表达式(不必证明)；(2)已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－x，1≤x≤3，,x－3，3<x≤6，))设小球遇到第6行第m个障碍物(从左至右)上顶点时，得到的分数为ξ＝f(m)，试求ξ的分布列．解：(1)P(4，1)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,8)，P(4，2)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(3,8).猜想P(n，m)＝Ceq\o\al(m－1,n－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1).(2)ξ＝3，2，1，P(ξ＝3)＝P(6，1)＋P(6，6)＝eq\f(1,16)，P(ξ＝2)＝P(6，2)＋P(6，5)＝eq\f(5,16)，P(ξ＝1)＝P(6，3)＋P(6，4)＝eq\f(5,8).故ξ的分布列为ξ321Peq\f(1,16)eq\f(5,16)eq\f(5,8)离散型随机变量及其分布列、二项分布及其应用(强化练)一、选择题1．下列随机变量X不服从二项分布的是()A．投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数6出现的次数B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数C．实力相等的甲、乙两位选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数D．某星期内，每次下载某网站的数据被病毒感染的概率为，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数解析：选B.选项A，试验出现的结果只有两种：点数为6和点数不为6，且点数6在每一次试验中概率都为eq\f(1,6)，每一次试验都是相互独立的，故随机变量X服从二项分布．选项B，虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种，每一次试验事件相互独立且概率不发生变化，但随机变量的取值不确定，故随机变量X不服从二项分布．选项C，甲、乙的获胜率相等，进行5次比赛，相当于进行了5次独立重复试验，故X服从二项分布．选项D，由二项分布的定义，知被感染次数X～B(n，)．2．设随机变量X的分布列如下，则下列各项中正确的是()X－10123PA.P(X＝1.5)＝0 B．P(X>－1)＝1C．P(X<3)＝0.5 D．P(X<0)＝0解析：选A.由分布列知X，故P(X＝1.5)＝0，正确；而P(X，P(X，P(XA正确．3．设随机变量X的概率分布列如表所示，则P(|X－2|＝1)等于()X1234Peq\f(1,6)eq\f(1,4)meq\f(1,3)A.eq\f(7,12) B.eq\f(1,2)C.eq\f(5,12) D.eq\f(1,6)解析：选C.由分布列的性质知eq\f(1,6)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,3)＋m＝1，故m＝eq\f(1,4).又由|X－2|＝1，知X＝3或X＝1.所以P(|X－2|＝1)＝P(X＝3)＋P(X＝1)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(5,12).选C.4．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)解析：选B.设事件A：甲实习生加工的零件为一等品，事件B：乙实习生加工的零件为一等品，则P(A)＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(3,4)，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＝eq\f(2,3)×(1－eq\f(3,4))＋(1－eq\f(2,3))×eq\f(3,4)＝eq\f(5,12).5．盒中有10只螺丝钉，其中3只是坏的，现在从盒中不放回地依次抽取两只，那么在第一只抽取为好的条件下，第二只是坏的概率为()A.eq\f(1,12) B.eq\f(1,3)C.eq\f(83,84) D.eq\f(1,84)解析：选 B.设事件A为“第一只抽取为好的”，事件B为“第二只是坏的”，则P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(1,9),Aeq\o\al(2,10))，P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(1,3),Aeq\o\al(2,10))，所以P(B|A)＝eq\f(1,3)，选 B.6．从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假钞，则这两张都是假钞的概率为()A.eq\f(1,19) B.eq\f(17,18)C.eq\f(4,19) D.eq\f(2,17)解析：选D.设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即P(A|B)．P(AB)＝P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,20))，P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,15),Ceq\o\al(2,20))，由公式P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,15))＝eq\f(10,10＋75)＝eq\f(2,17).故选 D.7．某工厂师徒二人加工相同型号的零件，是否加工出精品互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为eq\f(2,3)，徒弟加工一个零件是精品的概率为eq\f(1,2)，师徒二人各加工2个零件不全是精品的概率为()A.eq\f(8,9) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,9)解析：选A.因为师傅加工一个零件是精品的概率为eq\f(2,3)，徒弟加工一个零件是精品的概率为eq\f(1,2)，师徒二人各加工2个零件不全是精品的对立事件是师徒二人各加工2个零件全是精品，所以师徒二人各加工2个零件不全是精品的概率为P＝1－Ceq\o\al(2,2)(eq\f(2,3))2Ceq\o\al(2,2)(eq\f(1,2))2＝eq\f(8,9).故选A.8.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,9)C.eq\f(4,9) D.eq\f(8,27)解析：选A.由已知得逆时针跳一次的概率为eq\f(2,3)，顺时针跳一次的概率为eq\f(1,3)，则逆时针跳三次停在A上的概率为P1＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，顺时针跳三次停在A上的概率为P2＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,27).所以跳三次之后停在A上的概率为P＝P1＋P2＝eq\f(8,27)＋eq\f(1,27)＝eq\f(1,3).9．如果X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20，\f(1,3)))，Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20，\f(2,3)))，那么当X，Y变化时，使P(X＝xk)＝P(Y＝yk)成立的(xk，yk)的个数为()A．10 B．20C．21 D．0解析：选C.根据二项分布的特点，知(xk，yk)分别为(0，20)，(1，19)，(2，18)，…，(20，0)，共21个，故选C.10．已知随机变量X～B(20，eq\f(1,3))，若使P(X＝k)的值最大，则k等于()A．5或6 B．6或7C．7 D．7或8解析：选B.令eq\f(P（X＝k＋1）,P（X＝k）)＝eq\f(Ceq\o\al(k＋1,20)pk＋1q20－k－1,Ceq\o\al(k,20)pkq20－k)＝eq\f(20－k,2k＋2)>1，得k<6，即当k<6时，P(X＝k＋1)>P(X＝k)；当k＝6时，P(X＝7)＝P(X＝6)；当k>6时，P(X＝k＋1)<P(X＝k)．所以P(X＝6)和P(X＝7)的值最大，故选B.二、填空题11．现有10张奖券，其中8张2元的，2张5元的，从中同时取3张，记所得金额为ξ元，则P(ξ＝6)＝________，P(ξ＝9)＝________．解析：ξ＝6代表事件为取出的三张都是2元的，所以P(ξ＝6)＝eq\f(Ceq\o\al(3,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，ξ＝9代表事件为取出的三张有两张2元的，一张5元的，所以P(ξ＝9)＝eq\f(Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15).答案：eq\f(7,15)eq\f(7,15)12．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝eq\f(5,9)，则P(η≥2)的值为________．解析：因为随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，又P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)2＝eq\f(5,9)，解得p＝eq\f(1,3)，所以η～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，则P(η≥2)＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\s\up12(4)－Ceq\o\al(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\s\up12(3)×eq\f(1,3)＝eq\f(11,27).答案：eq\f(11,27)13．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是eq\f(4,15)，刮四级以上风的概率为eq\f(2,15)，既刮四级以上风又下雨的概率为eq\f(1,10)，设事件A为下雨，事件B为刮四级以上的风，那么P(B|A)＝________．解析：由题意知P(A)＝eq\f(4,15)，P(B)＝eq\f(2,15)，P(AB)＝eq\f(1,10)，所以P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(3,8).答案：eq\f(3,8)14．，每穴只要有一粒发芽，就不需补种，否则需要补种．则每穴至少种________粒，才能保证每穴不需补种的概率大于98%.(lg2＝0.3010)解析：记事件A为“种一粒种子，发芽”，则P(A，P(A)＝1－0.8＝0.2.因为每穴种n粒相当于做了n次独立重复试验，记事件B为“每穴至少有一粒种子发芽”，则P(B)＝Ceq\o\al(0,n)0(1－0.8)nn，所以P(B)＝1－P(eq\x\to(B)n.根据题意，得P(B)>98%，n<0.02.两边同时取以10为底的对数，得n，即n(lg2－1)<lg2－2，所以n>eq\f(lg2－2,lg2－1)＝eq\f(1.6990,0.6990)≈2.43.因为n∈N*，所以n的最小正整数值为3.答案：3三、解答题15．已知甲、乙两人在一次射击中命中目标的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，假设两人射击相互独立，且每人各次射击互不影响．(1)若甲、乙两人各射击1次，求至少有一人命中目标的概率；(2)若甲、乙两人各射击4次，求甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率．解：(1)若甲、乙两人各射击1次，由题意可得他们都没有命中目标的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＝eq\f(1,12)，故至少有一人命中目标的概率为1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).(2)若甲、乙两人各射击4次，则甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率为Ceq\o\al(2,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)·Ceq\o\al(3,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＝eq\f(1,8).16．为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表：队别北京上海天津八一人数4635(1)从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一队的概率；(2)中国女排奋力拼搏，战胜了韩国队获得冠军，若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．解：(1)“从这18名队员中选出两名，两人来自同一队”记作事件A，则P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ce