椭圆公开课一等奖课件

要点梳理1.椭圆的定义（1）第一定义：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫

.这两定点叫做椭圆的

，两焦点间的距离叫做

.

集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，|F1F2|=2c,其中

a＞0,c＞0，且a，c为常数：（1）若

，则集合P为椭圆；§8.1椭圆基础知识自主学习椭圆焦点焦距a＞c第八章圆锥曲线要点梳理§8.1椭圆基础知识自主学习椭圆焦点焦距a＞（2）若

，则集合P为线段；（3）若

，则集合P为空集.a=ca＜c（2）若，则集合P为线段；a=ca＜c3.椭圆的几何性质标准方程图形3.椭圆的几何性质标准方程图形性质范围-a≤x≤a-b≤y≤b-b≤x≤b-a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|=2c离心率a,b,c的关系c2=a2-b2准线性质范围-a≤x≤a-b≤x≤b对称性对称轴：坐标轴椭圆公开课一等奖课件基础自测1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 ()A.B.C.D.

解析设长轴长、短轴长分别为2a、2b,则2a=4b,D基础自测D2.设P是椭圆上的点.若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|等于（）

A.4B.5C.8D.10

解析由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=10.D2.设P是椭圆上的点.若F1，F2是椭CC4.已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆

C的焦点F到长轴的一个端点的距离为（）

A.9 B.1C.1或9 D.以上都不对

解析由题意得∴a=5，c=4.∴a+c=9，a-c=1.C4.已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C5.椭圆的两个焦点为F1、F2，短轴的一个端点为A，且F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为

.

解析由已知得∠AF1F2=30°，故cos30°=，从而e=.5.椭圆的两个焦点为F1、F2，短轴的一个端点为A，题型一椭圆的定义【例1】一动圆与已知圆O1：（x+3)2+y2=1外切,与圆O2：（x-3）2+y2=81内切，试求动圆圆心的轨迹方程.

两圆相切时,圆心之间的距离与两圆的半径有关,据此可以找到动圆圆心满足的条件.思维启迪题型分类深度剖析题型一椭圆的定义思维启迪题型分类深度剖析解两定圆的圆心和半径分别为O1(-3，0),r1=1；O2(3,0)，r2=9.设动圆圆心为M(x，y),半径为R，则由题设条件可得|MO1|=1+R，|MO2|=9-R.∴|MO1|+|MO2|=10.由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上,且a=5，c=3.∴b2=a2-c2=25-9=16，故动圆圆心的轨迹方程为解两定圆的圆心和半径分别为O1(-3，0),r1=1；探究提高

平面内一动点与两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a，当2a>|F1F2|时,动点的轨迹是椭圆；当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在.

已知圆（x+2）2+y2=36的圆心为M，设A为圆上任一点，N（2，0），线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线知能迁移1探究提高平面内一动点与两个定点F1、F2的距知能迁移1解析点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|=|PN|，又AM是圆的半径，∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6＞|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆.答案

B解析点P在线段AN的垂直平分线上，题型二椭圆的标准方程【例2】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且

P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.思维启迪设椭圆方程为根据题意求a,b得方程.题型二椭圆的标准方程思维启迪设椭圆方程为根据题意求a,b解方法一设所求的椭圆方程为由已知条件得解得a=4,c=2,b2=12.故所求方程为解方法一设所求的椭圆方程为方法二设所求椭圆方程为两个焦点分别为F1，F2.由题意知2a=|PF1|+|PF2|=8,∴a=4.在方程 中，令x=±c得|y|=,在方程中，令y=±c得|x|=,依题意有=3，∴b2=12.∴椭圆的方程为方法二设所求椭圆方程为探究提高

运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a、b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0,m≠n)，由题目所给条件求出m、n即可.探究提高运用待定系数法求椭圆标准方程，即设知能迁移2（1）已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍，并且过点P（3，0）,求椭圆的方程；（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)、P2(-，-)，求椭圆的方程.

解（1）若焦点在x轴上，设方程为

(a＞b＞0).∵椭圆过P（3，0），∴又2a=3×2b,∴b=1,方程为

知能迁移2（1）已知椭圆以坐标轴为对称轴,且若焦点在y轴上，设方程为∵椭圆过点P（3，0），∴ =1,又2a=3×2b,∴a=9,∴方程为∴所求椭圆的方程为b=3.若焦点在y轴上，设方程为b=3.（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0且m≠n).∵椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点坐标适合椭圆方程，则 ①、②两式联立，解得∴所求椭圆方程为①②（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0且m≠n题型三椭圆的几何性质【例3】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°.（1）求椭圆离心率的范围；（2）求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.

（1）在△PF1F2中，使用余弦定理和|PF1|+|PF2|=2a，可求|PF1|·|PF2|与a，c的关系，然后利用基本不等式找出不等关系，从而求出e的范围；（2）利用

|PF1|·|PF2|sin60°可证.思维启迪题型三椭圆的几何性质思维启迪（1）解设椭圆方程为|PF1|=m,|PF2|=n.在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2=m2+n2-2mncos60°.∵m+n=2a，∴m2+n2=（m+n）2-2mn=4a2-2mn，∴4c2=4a2-3mn,即3mn=4a2-4c2.又mn≤（当且仅当m=n时取等号）,∴4a2-4c2≤3a2，∴≥，即e≥.又0＜e＜1,∴e的取值范围是（1）解设椭圆方程为（2）证明由（1）知mn=∴mnsin60°=即△PF1F2的面积只与短轴长有关.（2）证明由（1）知mn=探究提高（1）椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|+|PF2|=2a，得到a、c的关系.（2）对△F1PF2的处理方法定义式的平方余弦定理面积公式探究提高（1）椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆知能迁移3

已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B,从椭圆上一点M（在x轴上方）向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，∥.（1）求椭圆的离心率e；（2）设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围.

解（1）∵F1（-c，0），则xM=-c，yM=，∴kOM=-.∵kAB=-，∥，∴-=-，∴b=c，故e=知能迁移3已知椭圆（2）设|F1Q|=r1，|F2Q|=r2，∠F1QF2=，∴r1+r2=2a，|F1F2|=2c，cos=当且仅当r1=r2时，cos=0,∴（2）设|F1Q|=r1，|F2Q|=r2，∠F1QF2=题型四直线与椭圆的位置关系【例4】（12分）椭圆C：的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，

|PF1|=，|PF2|=.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆

C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程.题型四直线与椭圆的位置关系

（1）可根据椭圆定义来求椭圆方程；（2）方法一：设斜率为k，表示出直线方程,然后与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及中点坐标公式求解；方法二：设出A、B两点坐标,代入椭圆方程,作差变形,利用中点坐标公式及斜率求解（即点差法）.思维启迪 （1）可根据椭圆定义来求椭圆方程；思维启迪解（1）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3. [2分]在Rt△PF1F2中，故椭圆的半焦距c=， [4分]从而b2=a2-c2=4，所以椭圆C的方程为 [6分]解题示范解（1）因为点P在椭圆C上，解题示范（2）方法一设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).已知圆的方程为（x+2）2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为（-2，1），从而可设直线l的方程为：y=k(x+2)+1, [8分]代入椭圆C的方程得：(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.因为A，B关于点M对称，所以 [10分]所以直线l的方程为y=(x+2)+1,即8x-9y+25=0.（经检验，所求直线方程符合题意）[12分]（2）方法一设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,方法二已知圆的方程为（x+2）2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为（-2，1）， [8分]设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1≠x2, ① ②由①-②得： ③因为A，B关于点M对称，所以x1+x2=-4,y1+y2=2,方法二已知圆的方程为（x+2）2+(y-1)2=5,代入③得即直线l的斜率为， [10分]所以直线l的方程为y-1=(x+2),即8x-9y+25=0.（经检验，所求直线方程符合题意）.[12分]代入③得

探究提高（1）直线方程与椭圆方程联立,消元后得到一元二次方程，然后通过判别式Δ来判断直线和椭圆相交、相切或相离.

（2）消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础.

（3）若已知圆锥曲线的弦的中点坐标,可设出弦的端点坐标,代入方程，用点差法求弦的斜率.注意求出方程后，通常要检验.探究提高（1）直线方程与椭圆方程联立,消元后知能迁移4

若F1、F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点，且|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2.

（1）求出这个椭圆的方程；（2）是否存在过定点N（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，使

⊥

（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，说明理由.知能迁移4若F1、F2分别是椭圆解（1）依题意，得2a=4，2c=2,所以a=2,c=,∴b=∴椭圆的方程为（2）显然当直线的斜率不存在，即x=0时，不满足条件.设l的方程为y=kx+2,由A、B是直线l与椭圆的两个不同的交点，设A（x1，y1），B（x2，y2），由 消去y并整理，得解（1）依题意，得2a=4，2c=2,（1+4k2）x2+16kx+12=0.∴Δ=(16k)2-4(1+4k2)×12=16(4k2-3)＞0,解得k2＞. ①x1+x2=-,x1x2=∵⊥,∴·=0，∴·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=x1x2+k2x1x2+2k（x1+x2）+4=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4（1+4k2）x2+16kx+12=0.∴k2=4.②由①②可知k=±2,所以，存在斜率k=±2的直线l符合题意.椭圆公开课一等奖课件方法与技巧1.椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a+c,最小距离为a-c.2.过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而且它的长为.把这个弦叫椭圆的通径.3.求椭圆离心率e时,只要求出a,b,c的一个齐次方程，再结合b2=a2-c2就可求得e(0＜e＜1).思想方法感悟提高思想方法感悟提高4.从一焦点发出的光线，经过椭圆（面）的反射，反射光线必经过椭圆的另一焦点.5.过椭圆外一点求椭圆的切线,一般用判别式Δ=0

求斜率，也可设切点后求导数（斜率）.6.求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：（1）中心是否在原点，（2）对称轴是否为坐标轴.4.从一焦点发出的光线，经过椭圆（面）的反射，失误与防范1.求椭圆方程时，在建立坐标系时，应该尽可能以椭圆的对称轴为坐标轴以便求得的方程为最简方程——椭圆的标准方程.2.求两曲线的交点坐标，只要把两曲线的方程联立求方程组的解,根据解可以判断位置关系，若方程组有解可求出交点坐标.3.注意椭圆上点的坐标范围，特别是把椭圆上某一点坐标视为某一函数问题求解时，求函数的单调区间、最值时有重要意义.4.判断椭圆标准方程的原则为：长轴、短轴所在直线为坐标轴，中心为坐标原点.失误与防范5.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与

y2的分母大小，若x2的分母比y2的分母大，则焦点在x轴上，若x2的分母比y2的分母小，则焦点在y

轴上.6.注意椭圆的范围，在设椭圆上点的坐标为P（x，y）时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.5.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与一、选择题1.（2008·上海）已知椭圆=1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）

A.4B.5C.7D.8

解析椭圆焦点在y轴上，∴a2=m-2，b2=10-m.

又c=2，∴m-2-（10-m）=22=4.∴m=8.定时检测D一、选择题定时检测D2.已知点M（，0）,椭圆=1与直线

y=k(x+)交于点A、B,则△ABM的周长为（）

A.4B.8C.12D.16

解析直线y=k(x+)过定点N(-,0),而M、N

恰为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a=4×2=8.B2.已知点M（，0）,椭圆=1与直线B3.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为（）

A.1 B. C.2 D.2

解析设椭圆 ，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，∴S=×2c×b=bc=1≤∴a2≥2.∴a≥.∴长轴长2a≥2，故选D.D3.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积D4.（2009·浙江）已知椭圆

(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若

=2

，则椭圆的离心率是（）

A. B. C. D.4.（2009·浙江）已知椭圆解析如图，由于BF⊥x轴，故xB=-c,yB=,设P（0,t）,∵=2，∴（-a,t）=2∴a=2c,∴e=答案

D解析如图，由于BF⊥x轴，5.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（）

A. B. C. D.

解析∵△ABF2是等腰直角三角形，∴|AF1|=|F1F2|，将x=-c代入椭圆方程从而即a2-c2=2ac,整理得e2+2e-1=0,

解得e=-1±,由e∈(0,1),得e=-1.C5.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长C6.(2009·江西)过椭圆的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为（）

A. B. C. D.

解析由题意知点P的坐标为∵∠F1PF2=60°,∴即2ac=b2=(a2-c2).∴e2+2e-=0,∴e=或e=-(舍去).B6.(2009·江西)过椭圆B二、填空题7.（2009·广东）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为

.

解析设椭圆的长半轴为a，由2a=12知a=6,

又e==,故c=3，∴b2=a2-c2=36-27=9.∴椭圆标准方程为二、填空题8.设椭圆（m＞0,n＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的标准方程为

.

解析抛物线y2=8x的焦点是（2,0）,∴椭圆

的半焦距c=2,即m2-n2=4,又e=∴m=4,n2=12.

从而椭圆的方程为8.设椭圆（m＞0,n＞0）的右焦点与抛9.B1、B2是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P,若|F1B2|是

|OF1|和|B1B2|的等比中项，则的值是

.

解析由已知2bc=a2=b2+c2,∴b=c=

设P（x0，y0），则x0=-c，|y0|=|PF1|.

9.B1、B2是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过三、解答题10.根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点

P到两焦点的距离分别为，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；（2）经过两点A（0，2）和B

解（1）设椭圆的标准方程是或三、解答题则由题意知2a=|PF1|+|PF2|=2，∴a=.在方程中令x=±c得|y|=在方程中令y=±c得|x|=依题意并结合图形知=.∴b2=.即椭圆的标准方程为则由题意知2a=|PF1|+|PF2|=2，∴a=（2）设经过两点A（0，2），B的椭圆标准方程为mx2+ny2=1，代入A、B得∴所求椭圆方程为x2+=1.（2）设经过两点A（0，2），B11.（2008·辽宁）在平面直角坐标系xOy

中，点P到两点（0，-）、（0，）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C.

（1）写出C的方程；（2）设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时⊥?此时||的值是多少?

解

(1)设P（x，y），由椭圆的定义可知，点P

的轨迹C是以(0,-)、(0,)为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴长b=

故曲线C的方程为x2+=1.11.（2008·辽宁）在平面直角坐标系xOy(2)设A（x1,y1)、B（x2,y2），其坐标满足消去y并整理得（k2+4）x2+2kx-3=0，故x1+x2=-,x1x2=-.若⊥，则x1x2+y1y2=0.而y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1,于是x1x2+y1y2=化简得-4k2+1=0,所以k=±.(2)设A（x1,y1)、B（x2,y2），其坐标满足当k=±时，x1+x2=±,x1·x2=-,||==而(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1·x2当k=±时，x1+x2=±,x1·x2=-12.已知椭圆C：=1(a＞b＞0)的离心率为,且经过点P

（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F是椭圆C的左焦点,判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由.12.已知椭圆C：=1(a＞b＞0)的离心率解（1）∵椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点P∴椭圆C的标准方程为解（1）∵椭圆=1（a＞b＞0）的离心（2）∵a2=4，b2=3，∴c=∴椭圆C的左焦点坐标为（-1，0）.以椭圆C的长轴为直径的圆的方程为x2+y2=4,圆心坐标是（0，0），半径为2.以PF为直径的圆的方程为x2+圆心坐标是半径为.由于两圆心之间的距离为故以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.

返回（2）∵a2=4，b2=3，∴c=返回小魔方站作品盗版必究语文小魔方站作品盗版必究语文更多精彩内容，微信扫描二维码获取扫描二维码获取更多资源谢谢您下载使用！更多精彩内容，微信扫描二维码获取扫描二维码获取更多资源谢谢您椭圆公开课一等奖课件椭圆公开课一等奖课件附赠中高考状元学习方法附赠中高考状元学习方法群星璀璨---近几年全国高考状元荟萃群星璀璨---近几年全国高考状元荟萃

前言

高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。前言高考状元是一青春风采青春风采青春风采青春风采北京市文科状元阳光女孩--何旋高考总分：692分(含20分加分)

语文131分数学145分英语141分文综255分毕业学校：北京二中

报考高校：北京大学光华管理学院北京市文科状元阳光女孩--何旋高考总分：来自北京二中，高考成绩672分，还有20分加分。“何旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的笑声。”班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。“她是学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成绩应该是692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后，她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。来自北京二中，高考成绩672分，还有20分加分。“何旋给人最班主任：我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。班主任：我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要的是，高考总分:711分

毕业学校:北京八中

语文139分数学140分英语141分理综291分报考高校：北京大学光华管理学院北京市理科状元杨蕙心高考总分:711分

毕业学校:北京八中

语文139分数学1班主任孙烨：杨蕙心是一个目标高远的学生，而且具有很好的学习品质。学习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同学两三个小时才能完成的作业，她一个小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力很强，这一点在平常的考试中可以体现。每当杨蕙心在某科考试中出现了问题，她能很快找到问题的原因，并马上拿出解决办法。班主任孙烨：杨蕙心是一个目标高远的学生，而且具有很好的学习孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师的复习