随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征随机变量的概率分布反映了随机变量的统计规律性，但是在实际问题中，要确定一个随机变量的分布不是一件容易的事情．在许多情况下，并不需要求出随机变量的分布，只须知道从不同角度反映随机变量取值特征的假设干个数字就够了，这些数字就称为随机变量的数字特征．本章将讨论随机变量的数学期望、方差、矩以及相关系数，它们在概率论与数理统计中起着重要的作用．第一节数学期望一、离散型随机变量的数学期望例1一台机床加工某种零件，它加工出优质品、合格品和废品的概率依次为0.2、0.7和0.1．如果出售优质品和合格品，每一个零件可分别获利0.40元和0.20元；如果加工出一件废品那么要损失0.10元．问这台机床每加工出一个零件，平均可获利多少元？解以X表示加工出一个零件所获得的利润，那么X的分布律为X－0.100.200.40

Y

0.10.70.2现假设该机床加工

个零件，其中废品

件，合格品

件，优质品件，这里

.则这个零件可以获得总利润为，平均每个零件可获利为.其中，和分别是事件、和出现的频率．当很大时，，和分别接近于0.1、0.7和0.2，于是可以期望该机床加工出的每一个零件所获得的平均利润为（元）上述结果称为随机变量X的数学期望．定义1设离散型随机变量X的分布律为则称（要求此级数绝对收敛） （1）为X的数学期望(或均值)．

例2设X服从参数为p的(0－1)分布，求X的数学期望．解

X的分布律为

X01

P1－pp.例3设，求．解

X的分布律为例4设，求．解

例510件产品中有2件次品，求任意取3件中次品数的数学期望．解以X表示任取3件中次品的个数，可取值为0,1,2，其分布律为因此.二、连续型随机变量的数学期望

例6设X在[a,b]上服从均匀分布，求E(X)．解

X的概率密度为

.例7设X服从参数为的指数分布，求E(X)．定义2设连续型随机变量X的概率密度为f(

x

),则称（要求此积分绝对收敛)为X的数学期望(或均值)．(2)解

.例10设，求．解.例11设X在区间(0,a)上服从均匀分布，求的数学期望．解

X的密度为则.例12设X的概率密度为，求、．解

例13设(X,Y)的联合密度为求E(X)、E(XY)．定理2设随机变量Z是X、Y的函数Z=g

(X,Y)；（1）若(X,Y)为二维连续型随机变量，联合密度为f(x,y)，则

.

（2）若(X,Y)为二维离散型随机变量，联合分布律为．则（5）解

.

四、数学期望的性质（设、存在）

性质1设C为常数，那么有E(C)=C．性质2．性质3．证只对连续型随机变量的情形来证明,离散型的证明从略．设(X,Y)的概率密度为f

(x,y)，则有性质4若X、Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)．证只对连续型加以证明．设(X,Y)的联合密度为f(x,y),关于X、Y的边缘密度分别为fX(x)、fY(y).则有f(x,y)=fX(x)

fY(y)，于是例14设X与Y独立，求．

思考题是否任何一个随机变量都存在数学期望？请研究随机变量X，其概率密度为解第二节方差

一、方差的定义定义3

D(X)=E{[X－E(X)]2}(6)称为随机变量X的方差．称为X的均方差或标准差．二、方差的计算公式1．设X为离散型随机变量，分布律为则

.(7)2．设X为连续型随机变量，概率密度为f(x),则

.（8）3． ．（9）证明如下例1设X服从参数为p的(0－1)分布，求D(X)．

X

0

1

p1－p

p解E(X)=p,

例2设，求D(X)．解，．.例3设X在[a,b]上服从均匀分布，求D(X)．解,例4设X服从参数为

的指数分布，求D(X)．解，．例5设，求D(X)．解,..三、方差的性质性质1设C为常数，则D(C)=0．证．性质2.证.性质3设X与Y相互独立，则有

.

证例6设，求．解设服从参数为p的

分布，且相互独立，则．于是

.例7设X与Y相互独立，，，求．解

.例8设E(X)、D(X)均存在，且D(X)＞0，，求、．解

.称为X的标准化随机变量．例9设相互独立，并且具有相同的期望与方差，，求、、．解

...（11）为X与Y的相关系数或标准协方差．称.（12）

.性质1．．（a,b为常数）．性质2，．性质3若X与Y相互独立，则．定义4称为X与Y的协方差，记作．（10）第三节协方差与相关系数例1设二维随机变量(X,Y)的概率分布为

Y－101

X－1

1/81/81/8

01/801/811/81/81/8证明X与Y不相关，但X与Y不相互独立．证

(X,Y)关于X

和Y的边缘分布为

X－1

01

P3/82/83/8性质4的充分必要条件是：存在常数a,b，使得=1．当时，称X与Y不相关．由于即有,所以X与Y不相互独立．Y－1

01P3/82/83/8

于是有因此，即X与Y不相关．...同理，于是．从而有，即X与Y不相关．解例2设(X,Y)的联合概率密度为验证X与Y不相关，但不相互独立．例3设二维随机变量(X,Y)的概率密度为证明：X与Y不相关，但不相互独立．证

,当x=0,y=0时，，而，即有，所以X与Y不相互独立．而，可见，所以X和Y不相互独立．由于从而有，，即X与Y不相关．因此．解由于，而例4设，即(X,Y)的联合密度为

求．称为X的偏度；X*的4阶原点矩称为X的峰度．随机变量X的标准化随机变量的3阶原点矩定义5设X与Y是两个随机变量，称E(X

k)为X的k阶原点矩；称E{[X－E(X)]k}为X的k阶中心矩；称E(X

kYl)为X与Y的k+l阶混合原点矩；称E{[X－E(X)]k[Y－E(Y)]l}为X与Y

的k+l阶混合中心矩．第四节矩第五章

大数定律与中心极限定理第一节大数定律定义1设为一随机变量序列，a为一个常数，如果对于任意正数ε，都有,则称{Yn}按概率收敛于a,记作（n→∞）．定理1（契比雪夫不等式）设E(X)=μ，D(X)=σ2，则对于任意正数ε，有，或 ．证令，则有，，由定理1有

，定理2（契比雪夫大数定律的特例）设相互独立，且具有相同的数学期望E

(Xk

)=μ和方差

，则对于任意正数ε，

.证只就连续型进行证明，设X的概率密度为f

(x)，则有因此有.定理2′(契比雪夫定理)设相互独立，分别具有数学期望及方差并且方差是一致有上界的，即存在正数M，使得，，则对于任意正数ε，恒有

.定理3（伯努利定理）设nA

是在n次独立重复试验中事件A发生的次数，P(A)=p，则对任意正数ε，有

.证

．由定理1可得，于是有

.定理4（辛钦定理）设相互独立，服从同一分布，期望E

(Xk)=μ存在，则对于任意正数ε，有

.证明略．此定理说明，按概率收敛于μ=E(Xk)．进一步有按概率收敛于．这是参数估计的理论基础．第二节中心极限定理定义2设的分布函数依次为X的分布函数为F(x)．如果对于F(x)的每个连续点x，都有,则称随机变量序列依分布收敛于X，记为

.定理5（独立同分布中心极限定理）设相互独立，服从同一分布，存在期望E

(Xk)=μ和方差，则

依分布收敛于标准正态分布N(0,1)，即对于Yn

的分布函数的连续点x有

.

此定理说明当n很大时，Yn

近似服从N(0,1)，从而可知当n很大时，近似服从．定理6（德莫佛—拉普拉斯定理）设随机变量Yn~B(

n,p)

，则对于任意