胡不归数学模型

胡不归数学模型

“胡不归”问题的数学模型有一位年轻人外出务工，某天得知父亲病危，便立即赶回家。他略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，选择走直线路径，但忽视了走折线路程多但速度快的实际情况。当他赶到家时，老人已经去世，而且在弥留之际不断念叨着“胡不归……胡不归……”。这个问题引起了人们的思考：年轻人是否能够节省路上的时间提前到家？如果可以，应该选择怎样的路线？这就是流传千百年的“胡不归”问题。如图所示，A是出发点，B是目的地，直线AC是一条驿道，而驿道靠目的地一侧全是砂土。为了选择合适的路线，根据不同路面速度不同（驿道速度为v1米/秒，砂土速度为v2米/秒），年轻人需要在AC上选取一点D，再折往至B。很多人会有一个疑问，年轻人究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题。将这个问题数学化，我们不妨设总时间为T，则T=AD/v1+DB/v2。由此可得，提取一个常数k得T=k(AD/v1+DB/v2)。若想总的时间最少，就要使得k最小，即使得AD/v1+DB/v2最小。如图所示，过定点A在驿道下方作射线AE，夹角为θ，且AE=x。作DG⊥AE于点G，则AD=x/sinθ，DB=BG/sinθ。将AD和DB代入上式，即可得到T的表达式为T=k(x/v1+BG/v2)。因此，我们要找的点D就是使得T最小的点。此时，DG+BG的长度最小，即DG的长度最小。再过点B作BH⊥AE于点H，交驿道所在直线于点E'。则点D的最小值为E'D。综上，所需时间的最小值为Tmin=k(x/v1+BG/v2)=k(AD/v1+DB/v2)。年轻人想要尽快回家，应沿着驿道到达E'，然后再沿着B路线回家，或许还能见到父亲的最后一面。解决此类问题的一般方法：第一步：将所求的线段和改写成a/x+b/y的形式；第二步：构造一个角，使得a/x+b/y最小；第三步：过目的地作所构造的角的一边的垂线，该垂线段的长度就是所求的最小值；第四步：计算。例如，题目要求在△ABC中，AB=AC=10，∠A=30°，BC=1，P是边AC上的一个动点，则PA+PB的最小值为2A/P。练习题：1.在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，P是边AC上的一个动点，则PA+PB的最小值是A.1B.PC.2。2.四边形ABCD是菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为1/2。变式思考：本题如要求“2AM+BM”的最小值你会求吗？在平面直角坐标系中，已知二次函数经过点A(-1,0)，B(0,-3)，C(2,0)，对称轴与x轴交于点D。现求：（1）二次函数的表达式及顶点坐标；（2）连接PD，求PB+PD的最小值。（1）由题意可得：将点A(-1,0)带入二次函数y=ax^2+bx+c中，得0=a(-1)^2+b(-1)+c，即a-b+c=0；将点B(0,-3)带入二次函数中，得-3=a(0)^2+b(0)+c，即c=-3；将点C(2,0)带入二次函数中，得0=a(2)^2+b(2)-3，即4a+2b-3=0。解以上三元一次方程组，可得a=1，b=-2，c=-3。所以，二次函数的表达式为y=x^2-2x-3，顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)，即顶点坐标为(1,-4)。（2）连接PD，可得直线PD的方程为x=1。设点P的坐标为(0,y)，则PB+PD的距离为√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2，即√(1^2+(y+4)^2)