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文档简介
高一年级数学随机事件与概率(第三课时)
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.思考以下三个试验,它们的共同特征有哪些?①袋子中装有10个质地和大小完全相同的球,分别标有数字0,1,2,…,9,随机取出一个球,观察球的号码;②抛掷一枚均匀硬币,观察它落地时哪一面朝上;③掷一枚质地均匀骰子,观察它落地时朝上的面的点数.①袋子中装有10个质地和大小完全相同的球,分别标有数字0,1,2,…,9,随机取出一个球,观察球的号码:样本空间Ω1={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},每个号码出现的可能性是相等的;样本空间Ω2={正面向上,反面向上},哪面向上出现的可能性是相等的;②抛掷一枚均匀硬币,观察它落地时哪一面朝上:③掷一枚质地均匀骰子,观察它落地时朝上的面的点数:样本空间Ω3={1,2,3,4,5,6},落地时朝上的面的点数出现的可能性是相等的.Ω3={1,2,3,4,5,6},每个样本点发生的可能性相等.样本空间Ω1={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},样本点有限,Ω2={正面向上,反面向上},具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.1.有限性:样本空间的样本点只有有限个;2.等可能性:每个样本点发生的可能性相等.问题1一个班级中有18名男生、22名女生,采用抽签的方式,从中随机选择一名学生,事件A=“抽到男生”,如何度量事件A发生的可能性大小?
分析:班级中共有40名学生,从中选择一名学生,样本点有限,随机选取,选到每个学生的可能性都相等,是古典概型.问题1一个班级中有18名男生、22名女生,采用抽签的方式,从中随机选择一名学生,事件A=“抽到男生”,如何度量事件A发生的可能性大小?
解:样本空间中共有40个样本点,.事件A=“抽到男生”包含18个样本点,因此,事件A发生的可能性大小为,.所以,分析:用1表示硬币“正面朝上”,用0表示硬币“反面朝
上”,等可能发生,是古典概型.样本点有限,样本空间Ω={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),
(0,1,1),(0,1,0),
(0,0,1),(0,0,0)},共有8个.问题2抛掷一枚质地均匀的硬币3次,事件B=“恰好一次正面朝上”,如何度量事件B发生的可能性大小?
问题2抛掷一枚质地均匀的硬币3次,事件B=“恰好一次正面朝上”,如何度量事件B发生的可能性大小?
解:样本空间Ω,共有8个有限的样本点,事件B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}包含3个样本点,所以,事件B发生的可能性大小为,.所以,
一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率:事件A包含的样本点个数:样本空间Ω包含的样本点总个数.例单项选择题是标准化考试中常用的题型,一般是从A,B,C,D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容,他可以选择唯一正确的答案.假设考生有一题不会做,他随机地选择一个答案,答对的概率是多少?随机选择一个答案,表明每个样本点发生的可能性相等,分析:样本空间Ω={A,B,C,D},样本点有限,是古典概型.解:设事件M=“选中正确答案”,=4,因为正确答案是唯一的,所以=1,样本空间Ω={A,B,C,D},所以,考生随机选择一个答案,答对的概率..所以,思考在标准化考试中也有多选题,多选题是从A,B,C,D四个选项中选出所有正确的答案(四个选项中至少有一个选项是正确的).你认为单选题和多选题哪种更难选对?为什么?①只有一个选项:A,B,C,D,共4种结果;分析:多选题,至少有一个选项正确,可分为以下四类:②含有两个选项:AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种结果;③含有三个选项:ABC,ABD,ACD,BCD,共4种结果;④含有四个选项:ABCD,只有1种结果,所有可能的选择共15种结果,=15.分析:因为正确答案是唯一的,所以答对多选题包含的样本点数为1,
所以,答对多选题的概率是.所以答对多选题会更难.因为,例抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为I号和II号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.(1)写出这个试验的样本空间,并判断这个试验是否为古典概型;(2)求下列事件的概率:
A=“两个点数之和是5”;
B=“两个点数相等”;
C=“I号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.m表示I号骰子出现的点数,n表示Ⅱ号骰子出现的点数.分析:用有序实数对(m,n)表示掷两枚骰子试验的结果,1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)mn样本空间Ω:
是古典概型.=36,满足有限性,m表示I号骰子出现的点数,n表示Ⅱ号骰子出现的点数.解:用有序实数对(m,n)表示掷两枚骰子试验的结果,(1)样本空间,
骰子的质地均匀,满足等可能性,解:(2)事件A=“两个点数之和是5”,包含的样本点:{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},所以,.=4,n(Ω)=36,m+n=5,即解:(2)事件B=“两个点数相等”,包含的样本点:{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},所以,.=6,n(Ω)=36,m=n,即m>n,即分析:事件C=“I号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”,mn1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)=15,n(Ω)=36,解:(2)事件C=“I号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”,包含的样本点:{(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)},
.所以,思考如果不给两枚骰子标记号,会出现什么情况?你能解释其中的原因吗?例如,无法区别(1,2)和(2,1),样本点(1,1)和(1,2)发生的可能性大小不相等,不是古典概型.不能区分所抛掷出的两个点数分别属于哪枚骰子,(3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数,求出事件A的概率.(1)明确试验的条件及要观察的结果,用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果);(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性;归纳求解古典概型问题的一般思路:例袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球、3个黄球,从中不放回地依次随机摸出2个球,求下列事件的概率:(1)A=“第一次摸到红球”;(2)B=“第二次摸到红球”;(3)AB=“两次都摸到红球”.分析:将两个红球编号为1,2,三个黄球编号为3,4,5.第一次摸球时有5种等可能的结果,第二次摸球时有4种等可能的结果.因为从中不放回地依次随机摸出2个球,解:样本空间Ω第一次第二次123451×(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)×(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)×(3,1)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)×(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)×=20.
解:(1)事件A=“第一次摸到红球”,
所以,.第一次第二次123451×(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)×(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)×(3,1)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)×(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)×=8,=20,
解:(2)事件B=“第二次摸到红球”,
第一次第二次123451×(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)×(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)×(3,1)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)×(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)×所以,.=8,=20,
解:(3)事件AB=“两次都摸到红球”,
第一次第二次123451×(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)×(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)×(3,1)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)×(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)×所以,.=2,=20,变式1袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球、3个黄球,从中有放回地依次随机摸出2个球,求事件AB=“两次都摸到红球”的概率.分析:将两个红球编号为1,2,三个黄球编号为3,4,5.第一次摸球时有5种等可能的结果,第二次摸球时有5种等可能的结果.因为从中有放回地依次随机摸出2个球,变式1袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球、3个黄球,从中有放回地依次随机摸出2个球,求事件AB=“两次都摸到红球”的概率.
分析:用m表示第一次摸球出现的数字,用n表示第二次摸球出现的数字,用数组(m,n)表示两次摸球的结果.变式1袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球、3个黄球,从中有放回地依次随机摸出2个球,求事件AB=“两次都摸到红球”的概率.=25,事件AB=“两次都摸到红球”包含的样本点是{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},所以,.=4,解:样本空间,变式2袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球、3个黄球,从中同时摸出2个球,求事件AB=“两次都摸到红球”的概率.分析:分析:将两个红球编号为1,2,三个黄球编号为3,4,5.同时摸球具有无序性,=10.
样本空间变为={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},变式2袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球、3个黄球,从中同时摸出2个球,求事件AB=“两次
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