高一数学随机事件与概率

高一年级数学随机事件与概率（第三课时）

对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．思考以下三个试验，它们的共同特征有哪些？①袋子中装有10个质地和大小完全相同的球，分别标有数字0，1，2，…，9，随机取出一个球，观察球的号码；②抛掷一枚均匀硬币，观察它落地时哪一面朝上；③掷一枚质地均匀骰子，观察它落地时朝上的面的点数．①袋子中装有10个质地和大小完全相同的球，分别标有数字0，1，2，…，9，随机取出一个球，观察球的号码：样本空间Ω1={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，每个号码出现的可能性是相等的；样本空间Ω2={正面向上，反面向上}，哪面向上出现的可能性是相等的；②抛掷一枚均匀硬币，观察它落地时哪一面朝上：③掷一枚质地均匀骰子，观察它落地时朝上的面的点数：样本空间Ω3={1，2，3，4，5，6}，落地时朝上的面的点数出现的可能性是相等的．Ω3={1，2，3，4，5，6}，每个样本点发生的可能性相等．样本空间Ω1={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，样本点有限，Ω2={正面向上，反面向上}，具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．1．有限性：样本空间的样本点只有有限个；2．等可能性：每个样本点发生的可能性相等．问题1一个班级中有18名男生、22名女生，采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A＝“抽到男生”，如何度量事件A发生的可能性大小？

分析：班级中共有40名学生，从中选择一名学生，样本点有限，随机选取，选到每个学生的可能性都相等，是古典概型．问题1一个班级中有18名男生、22名女生，采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A＝“抽到男生”，如何度量事件A发生的可能性大小？

解：样本空间中共有40个样本点，．事件A＝“抽到男生”包含18个样本点，因此，事件A发生的可能性大小为，．所以，分析：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝

上”，等可能发生，是古典概型．样本点有限，样本空间Ω={(1,1,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(1,0,0)，

(0,1,1)，(0,1,0)，

(0,0,1)，(0,0,0)}，共有8个．问题2抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B＝“恰好一次正面朝上”，如何度量事件B发生的可能性大小？

问题2抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B＝“恰好一次正面朝上”，如何度量事件B发生的可能性大小？

解：样本空间Ω，共有8个有限的样本点，事件B＝{(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)}包含3个样本点，所以，事件B发生的可能性大小为，．所以，

一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率：事件A包含的样本点个数：样本空间Ω包含的样本点总个数．例单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案．假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少?随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，分析：样本空间Ω＝{A，B，C，D}，样本点有限，是古典概型．解：设事件M＝“选中正确答案”，＝4，因为正确答案是唯一的，所以＝1，样本空间Ω＝{A，B，C，D}，所以，考生随机选择一个答案，答对的概率．．所以，思考在标准化考试中也有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中至少有一个选项是正确的）．你认为单选题和多选题哪种更难选对?为什么?①只有一个选项：A，B，C，D，共4种结果；分析：多选题，至少有一个选项正确，可分为以下四类：②含有两个选项：AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种结果；③含有三个选项：ABC，ABD，ACD，BCD，共4种结果；④含有四个选项：ABCD，只有1种结果，所有可能的选择共15种结果，＝15．分析：因为正确答案是唯一的，所以答对多选题包含的样本点数为1，

所以，答对多选题的概率是．所以答对多选题会更难．因为，例抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为I号和II号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果．（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；（2）求下列事件的概率：

A＝“两个点数之和是5”；

B＝“两个点数相等”；

C＝“I号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”．m表示I号骰子出现的点数，n表示Ⅱ号骰子出现的点数．分析：用有序实数对(m,n)表示掷两枚骰子试验的结果，1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)mn样本空间Ω：

是古典概型．＝36，满足有限性，m表示I号骰子出现的点数，n表示Ⅱ号骰子出现的点数．解：用有序实数对(m,n)表示掷两枚骰子试验的结果，（1）样本空间，

骰子的质地均匀，满足等可能性，解：（2）事件A=“两个点数之和是5”，包含的样本点：{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}，所以，．＝4，n(Ω)＝36，m+n=5，即解：（2）事件B=“两个点数相等”，包含的样本点：{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}，所以，．＝6，n(Ω)＝36，m=n，即m>n，即分析：事件C=“I号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”，mn1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)＝15，n(Ω)＝36，解：（2）事件C=“I号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”，包含的样本点：{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(5,4)，(6,4)，(6,5)}，

．所以，思考如果不给两枚骰子标记号，会出现什么情况?你能解释其中的原因吗?例如，无法区别(1,2)和(2,1)，样本点(1,1)和(1,2)发生的可能性大小不相等，不是古典概型．不能区分所抛掷出的两个点数分别属于哪枚骰子，(3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率．(1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）；(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性；归纳求解古典概型问题的一般思路：例袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：(1)A＝“第一次摸到红球”；(2)B＝“第二次摸到红球”；(3)AB＝“两次都摸到红球”．分析：将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5．第一次摸球时有5种等可能的结果，第二次摸球时有4种等可能的结果．因为从中不放回地依次随机摸出2个球，解：样本空间Ω第一次第二次123451×(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)×(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)×(3,1)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)×(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)×＝20．

解：(1)事件A＝“第一次摸到红球”，

所以，．第一次第二次123451×(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)×(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)×(3,1)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)×(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)×＝8，＝20，

解：(2)事件B＝“第二次摸到红球”，

第一次第二次123451×(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)×(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)×(3,1)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)×(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)×所以，．＝8，＝20，

解：(3)事件AB＝“两次都摸到红球”，

第一次第二次123451×(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)×(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)×(3,1)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)×(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)×所以，．＝2，＝20，变式1袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，求事件AB＝“两次都摸到红球”的概率．分析：将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5．第一次摸球时有5种等可能的结果，第二次摸球时有5种等可能的结果．因为从中有放回地依次随机摸出2个球，变式1袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，求事件AB＝“两次都摸到红球”的概率．

分析：用m表示第一次摸球出现的数字，用n表示第二次摸球出现的数字，用数组(m,n)表示两次摸球的结果．变式1袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，求事件AB＝“两次都摸到红球”的概率．＝25，事件AB＝“两次都摸到红球”包含的样本点是{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，所以，．＝4，解：样本空间，变式2袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中同时摸出2个球，求事件AB＝“两次都摸到红球”的概率．分析：分析：将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5．同时摸球具有无序性，＝10．

样本空间变为={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，变式2袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中同时摸出2个球，求事件AB＝“两次