重庆大学高等数学(工学类)中期试卷及参考答案

重庆大学高等数学（工学）课程中期试卷.:20-20学年第学期开课学院：敷学与统计课程号:.考试日期：2+x,x>02.若函数y=/（.v）有八和=0•则当ATO时.该函数在a=x0处的微分心題号1二三四五■A七A九十■总分得分«考试方式：Q开卷念闭卷C其他考试时间：120分怦足（D）（A）与•等价的无穷小<B）与Ax同阶的无穷小（C）比•低阶的无穷小（D）比X高阶的无穷小3•若3a2-5b<0.则方程xs+2axa+3fer+4c=0[B]（A）无实根（B）有唯一实根（C）有三个不同实根（D）有五个不同实根4.若=+（Cl'十.v向遞人・・细赵人・・审趣人<A)0<B)<A)0<B)tez，命眩时间・・教务处时考试提示1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试：2•考试作弊，留校察看，毕业当年不授学位；请人代考.档神人者钛、WMrWW・罠匹盅徃越・弃玲峑单项选择题（毎小题3分.共15分〉匸设心｛：；；龙:鳥•则"如⑹<C)(2/+1K*(D)(z+iy5.设两函数/（Q和g（x）都在处取豺极大值.则函数F（Q=/V）K（x）在x=“处[D]（A）必取极大值（B）必取极小值（C）不可能取极值（D）不能确定足否取极值垃空题（毎小题3分.共15分）1.己知/（小=訐,/（久.*））=1一兀且貝0・则卩（“）的定义域为_"0I2-.v,.v<0.v>03•己知/T0时.（1+d）口与1-s足等价无穷小.则常数a=_峙[dn2卄严-1TOC\o"1-5"\h\z4•若/(.v)=[2x'X在(YJ.+CO)上连续•则4=-2[“，A=05.设/⑴在点x=a处可导.且lim竺止土二2=2・则函数在a=</处tx的切线斜率为1判断并说明理由(毎小题4分.共12分九1•设/匕)在.1■“的某个邻域内有定义.若悴/«+旳-心+耳$在.则在丄■"处可导。简答：不对•例如/(.V)■卩“么则/(x)在x■a(nJ断•因此/(.v)在-V■a10.x■“，处足不可导.但屿/(“+”〒/(“+叽。若创f3丿“.则简答：错.因为哩八=2•lim[/(V)-/(3)]=0Olim/(x)=f⑶设/V)和机兀)在(-8.2)内有定义・/⑴为连续函数•且有间断点•则羿必有间断点。7(-0简答：对•因为如果学2=连续.干足03"/(柳(》由连续函数的乘枳必连续.知枫卩连续.与假设矛质。四.计w>1.liml-————)。7ln(l+.v)x■怙*城1+9ra-1h(1+.v)「―右-Ah(l+x)一y一.呻音1■2x(1+x)2o—••,/V)在21处具有连续的导数.且八1)—2求f*：严\解：応叫竺盘正皿作心石)当迟“_2厂⑴.4TOC\o"1-5"\h\z」&.«♦2V-vI.V■coztX3.求曲线｛上对应干『■咚点处的法线方程。Iv«sm/6解：和■壬时・“・(盘■学,)•■◎■£•切线的斜率为：dy^rco：r,1.法线的斜率为屁所以法线的方程为:dxy-3cos*tzint'-；无v—-■>/3(.v—v">/3.v—1•SS•1.设函数/g在区间(Y・5)内有定义•若当时•恒彳Vs•求八0丿解：由题设/⑴在区何内有定义.又|/(a)|^xs.令得到又哙弋护■呵孕•而OS仔卜卜|・由迫散性定理可以知道忸故/\0)-limf(X)"(Q)--bxn-A12,Q,求证[0.2]上有|/r(v)|<2证明:任取"[0,2],由泰勒公式/(0)*(龙)+广⑴(0-x)+竽(0-才/(2)=/(x)+r(x)(2-.t)+畔(2审■.其中4£(0,讹e(x,2).上面两式相减得解：解：r(x)-l-A-—令尸(厂・0=>工■匕当.oe时厂(小<0・函数单调xexc5.确定函数/3・ln—丄+10在(O.+oo)内零点个数,

e于足当"[0,2]时，有2『(乂)|^|/(2)|+|/(0)|+导山：+咚k-4递减：当0VW时/©)>0・函数单调遞用.所以函数ffx-e取得极大值.又/(£•)■10>0.极大值在“轴的上方*又hm/a)・yo•由零点存在定理知在(0疋)和C+C0)内/⑴分别有一个零点.・所以/(X){£.<2+l［.v:+(2-.vf］=3+(l-.vf<3+1=4.即冇|厂(刃卜22、设函数“丫)连续.在(“上)内可导•且/wo.试证明存在5电曲)(O.+co)内有两个零点.使紂J5)b・a五.证明题1.设函数/•(.<)在区间［0,2］上二阶町导，且在［0,2］上有|/(x)|<l,|/-(.v)|<l.证明:/*(•。在0上］上满足拉氏中值定理的条件.由拉氏中值定理.存在gdb）.使得半■如令则&（x）与/（Q在0,切满足柯西中值定理的条件•故由柯西中值定理.存在耳皀Sb）・使得型二也■4.即e—r*e9/（b）-/⑷,—k…、-八'由题设八x）・o・to/w#o.从而£也/（TJ）人应用题（7分〉汽车的前灯、探照灯、反射式的天文望远敏以及日常生活中使用的手电筒.它们的反光铤都足采用旋转抛物面.即抛物线绕对称轴庭转一周而成的曲面。这种反光敏有一个很好的光学特性.把光源放在抛物线的焦点处.经铤面反射后的光线变成了与对称轴平行的光束.请用导数的几何愆义来证明这个性质。»I不妨设施物线的方程为r=x.它的條点为r（i0）4由干拋物线关于乂轴对称.只讨论〉>0的惰形。rEy2=.v（y>0）上任取一点