2023年高三数学寒假作业17（含答案解析）

高三寒假作业17

一、单选题（共40分）

）已知A={x|x+l〉O},8={-2,-1,0,1},贝［」（CRA）CB=（）

A.{-2,-11B.{-2}

C.{-1,0,1}D.{0,1}

2.若直线y=与圆（x-a）~+y?=2（a〉0）相切，则。=（）

A.73B.2C.3D.2A/3

3.为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻

炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平.某市抽调三所中学进行中学生体育达标测

试，现简称为A校、B校、C校.现对本次测试进行调查统计，得到测试成绩排在前200名

学生层次分布的饼状图、A校前200名学生的分布条形图，则下列结论不一定正确的是

（约17人）

（约21人）

（约25人）

（约29人）

A.测试成绩前200名学生中B校人数超过C校人数的1.5倍

B.测试成绩前100名学生中A校人数超过一半以上

C.测试成绩在51—100名学生中A校人数多于C校人数

D.测试成绩101—150名学生中B校人数最多29人

4.已知&=2.1门，b=0.3'\c=log20.8,〃=2.产9则“，h,c,d的大小关系为

（）

A.d>a>b>cB.a>d>c>b

C.b>c>a>dD.c>a>d>b

5已知向量〃，方满足同=1,忖=2,a-b=（2,1）,则忸一,=（）

A.V15B.Tnc.2垃D.2s/5

6.甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并

列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五.据此推测5人的名次排列情况共有

（）种

A.5B.8C.14D.21

7.三棱锥P—ABC中，平面必CJ_平面ABC,ABA.AC,PA=PC=AC=2,A8=4,贝lj三

棱锥P-ABC的外接球的表面积为()

2364

A.237rB.—7iC.64兀D.—7t

43

8.已知数列{qj的前〃项和为S“，且弓=2,4=5,%=10,又当〃>2时，

Sn+l-3S„+35n_1-S„_2+m=0恒成立，则使得

111117

--+--+--•+------+一旅成立的正整数攵的最小值为

a2-2a3-2ak_1-2ak-230

A.4B.5C.6D.7

二、多选题(共20分)

9.已知复数z=6+i(i为虚数单位)，I为z的共辄复数，若复数7=三，则下列结论正

z

确的是()

A.z0在复平面内对应的点位于第四象限B.%|=1

C.z0的实部为:D.z0的虚部为X3

22

10.下列命题中，正确的命题有()

A.已知随机变量X服从正态分布N(2,cy2)且P(X<4)=0.9,则P(0<X<2)=0.3

B.设随机变量X~3(20-)，则。(X)=5

2

3

C.在抛骰子试验中，事件A={1,2,3,5,6},事件3={2,4,5,6},则P(A|3)=：

D.在线性回归模型中，后表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1,表

示回归的效果越好

11.如图，在正方体中，点P在线段8G上运动，则下列判断中正确的是

()

八

1

A.平面P5O_L平面AC£>i

B.AiP〃平面ACQi

C.异面直线4P与42所成角的范围是（o,2

D.三棱锥Q「APC体积不变

12.抛物线V=2px（p>0）的焦点为RP为其上一动点，当P运动到（2,。时，

\PF\=4,直线/与抛物线相交于A,B两点，点/（4,1）,下列结论正确的是（）

A.抛物线的方程为y2=8x

B.存在直线/,使得4、B两点关于x+y-6=0对称

C.|PM|+|PF|的最小值为6

D.当直线/过焦点尸时，以A尸为直径的圆与y轴相切

三、填空题（共20分）

13.（五+3）展开式中的常数项为.

__19

14.已知向量m,〃=（2b—1,3）（a>0，〃>0）,若加_L〃，则—n二的最小值

ab

为.

_（3,（57rl.（兀］

15.己知cosa+—=一一，则cosa--+sina——|=_______.

I6J4I6JI3J

16.已知双曲线=-4=l（a>0力>0）的左焦点为凡过尸且斜率为一的直线交双曲线于

a'h-4a

点A（5,y）,交双曲线的渐近线于点3（W,%）且再<0<々.若|F5|=3|FZ|,则双曲

线的离心率是.

四、解答题

17.已知公差不为0的等差数列｛%｝中，％=1,4是生和%的等比中项.

（1）求数列｛%｝的通项公式：

（2）保持数列｛%｝中各项先后顺序不变，在4与（左=1,2,…）之间插入23使它们

和原数列的项构成一个新的数列｛〃｝,记｛〃｝的前"项和为T“，求4o的值.

18.已知函数/（x）=sinxcos|x+—+cos2x.

（1）求/（X）在0,7上的最值；

⑵在AABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,/—=1,a=273，

△ABC的面积为G，求sinB+sinC的值.

高三寒假作业17答案解析

一、单选题（共40分）

1.已知A={N"+1>°}，'={一2，一L°』},则（CRA）C，=（）

A.{-2,-11B.{-2}

C.{-1,0,1}D.{0,1}

【答案】A

【解析】

【详解】由题可知：A={Rx>—1}

所以〜={x|xW-l}，（C^n5={-1,-2）.

所以答案选A

【考点定位】考查集合的交集和补集，属于简单题.

2.若直线y=0x与圆（1-。）~+丁2=2（4〉0）相切，则。=（）

A.丛B.2C.3D.26

【答案】A

【解析】

【分析】利用圆心到直线的距离为半径可求

【详解】因为圆心坐标为（a,0）,半径为血，

所以该圆心到直线瓜一y=0的距离［=叵1=正，结合a>0解得a=JJ.

故选：A.

3.为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻

炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平.某市抽调三所中学进行中学生体育达标测

试，现简称为A校、B校、C校.现对本次测试进行调查统计，得到测试成绩排在前200名

学生层次分布的饼状图、A校前200名学生的分布条形图，则下列结论不一定正确的是

（）

口A校

C校

20%

A校151—200]18.48%（约17人）

46%

101—150（约21人）

B校51—100（约25人）

34%

（约29人）

A.测试成绩前200名学生中B校人数超过C校人数的1.5倍

B.测试成绩前100名学生中A校人数超过一半以上

C.测试成绩在51—100名学生中A校人数多于C校人数

D.测试成绩在101—150名学生中B校人数最多29人

【答案】C

【解析】

【分析】根据饼状图和A校前200名学生的分布条形图，逐个分析判即可

【详解】解：对于A,B校人数为200x34%=68,C校人数为200x20%=40,因为

68>4（）xl.5=60,所以A正确；

对于B,A校前100名的人数有29+25=54>5（）,所以B正确；

对于C,A校在51—100名的学生有25人，C校在1—200名的学生有40人，也有可能在

51—100名的学生有25人，所以C错误；

对于D,A校在1—100名和151—200名的学生共有29+25+17=71人，A校在101—

150的有21人，C校在1—200名的有40人，但在101—150的不一定有40人，而三个学

校中在1—100名和151—200名内的人数至少有150人，所以B校至少有

15（）—71—40=39人在1—100名和151—200名内，则B至多有68-39=29人在101-

150内，所以D正确，

故选：C

4.已知。=2.>3,b=Q3'\c=log20.8,d=2."则0,b,c,d的大小关系为

A.d>a>b>cB.a>d>c>h

C.h>c>a>dD.c>a>d>h

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，即可判断和选择.

【详解】y=2.1*是R上的单调增函数，故2./9>2.产3>2.1°=1，故d>a>l；

又y=0.3、是R上的单调减函数，故1=0.3°>0.3匕>0,即0<力<1；

又y=log2X是(0,+oo)上的单调增函数，故1(峪2().8<10821=0,即c<0；

综上所述：d>a>h>c.

故选：A.

5.已知向量75满足同=1,|q=2,a-b=(2,\],则恢一同=()

A.V15B.V17C.272D.275

【答案】C

【解析】

【分析】先根据条件求得了石=0,进而可得|2万一可.

【详解】=\a-b\2=a2+P-2a-b=l+4-2a-b=5,则M.5=0.

又I|2=4a2+b2-4a-b=3,因此忸叫=2夜.

故选：C.

6.甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次(无并

列名次)，已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五.据此推测5人的名次排列情况共有

()种

A.5B.8C.14D.21

【答案】C

【解析】

【分析】按乙排第五和不是第五分类讨论.

【详解】乙排在第五的情况有：A；,乙不在第五的方法有

共有A；+C；C；唐=14,

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查排列组合的综合应用，解题关键是确定完成事件的方法：

是先分类还是先分步：分类后每一类再分步.然后结合计数原理求解.

7.三棱锥P—A8c中，平面方C_L平面ABC,AB1AC,H=PC=AC=2,A8=4,则三

棱锥P-ABC的外接球的表面积为()

2364

A.23%B.-7rC.64TTD.—7i

43

【答案】D

【解析】

【分析】首先确定球心的位置，进一步确定球的半径，最后确定球的表面积.

【详解】解：根据题意，得到三棱锥尸-A8C的外接球的球心在等边三角形PAC的中心高

线和过直角三角形ABC斜边8C的中点的高的交点位置,

如图所示：

三棱锥产一ABC中，平面PAC_L平面ABC,ABJ.AC,PA=PC=AC=2,

A8=4,

所以尸尸=F=G，EF=4，

在直角三角形ABC中，BC2=AB2+AC2，

解得：BC=2亚，

所以=，

三棱锥的外接球半径r=J（逐尸+吟¥=杵，

贝“5=4%42=丝生，

3

故选。.

【点睛】本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定，球的表面积公式的应用.

8.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且q=2,外=5,%=10,又当〃>2时，

5„+1-3S„+3S,T—S“_2+m=0恒成立，则使得

111117

--+--+-••+------+—云成立的正整数攵的最小值为

a2-20,-2ak_i-2ak-230

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】

【分析】

由S“+i—3S„+3s,1-S,-2+机=o得S“+2-3S„+1+3S,-S“_1+m=0,两式相减得

4+2-3a“+]+3a“—4T=。,即（%+2一风+）+（%一％）=2（%-%）,然后得

a

n+t-an-2n+l,然后得a“="+1,然后

11fI11）

'然后解出不等式即可•

%-i-2

【详解】因为当〃>2时，Sn+i-3S“+3S„_,-Sn_2+m=0

所以当〃>1时，Sn+2-3Sn+i+3Sn-S“T+加=0

两式相减得：。“+2-3a.+|+3。“-an_｝=0

所以（4+2-q+J+（4一«„->）=2（6用一%）

所以｛《田一％｝是等差数列

因为4=2,%=5,%=10，所以。2-4=3,%一%=5

所以4+1一%=3+（〃-1）X2=2"+1

所以a0—6（|+a2一6+4一42+・,■+a“-=2+3+5+・一+2〃-1—n+1

11111111

所以-------------F...H---------------1------------=-z2------1—z-2------F...H-------------5------*—o2

"I以。2一24—24T—2ak-22-13-1仅一1）—1k-1

]_111111

I■■,—...—

232435

所以R1/l以

解得ZN5或%（（舍）

所以正整数%的最小值为5

故选：B

【点睛】本题考查的知识点有：数列。“与S”的关系，累加法求通项公式、裂项相消法求

和，属于比较综合的题.

二、多选题（共20分）

9.已知复数z=6+i（i为虚数单位），I为z的共辄复数，若复数7=三，则下列结论正

Z

确的是（）

A.z0在复平面内对应的点位于第四象限B.%|=1

D.z0的虚部为也

c.z0的实部为3

2

【答案】ABC

【解析】

【分析】由复数的运算求得z0,再根据复数的定义计算后判断各选项.

由题意z°=貂=(/£)/7•)3-2村+产1V3.

【详解】------------1

422

f1

z0对应点坐标为万,一5-在第四象限,A正确；⑷1，B正

确；

Z。的实部为C正确，虚部是一手，D错误.

故选:ABC.

【点睛】关键点点睛：本题考查复数的运算，考查复数的定义及几何意义，解题时通过复

数的运算化复数为代数形式，然后根据复数的定义求解判断.

10.下列命题中，正确的命题有()

A.己知随机变量X服从正态分布N(2,b?)且尸(X<4)=0.9,则尸(0vXv2)=0.3

B.设随机变量X〜8(20」)，则。(X)=5

2

3

C.在抛骰子试验中，事件A={1,2,3,5,6},事件8=[2,4,5,6},则P(A|B)=]

D.在线性回归模型中，心表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，欢越接近于1,表

示回归的效果越好

【答案】BD

【解析】

【分析】根据正态分布的性质可判断A；由二项分布的方差公式可判断B；根据条件概率

公式可判断C；由我2的意义可判断D.

【详解】A：因为X〜N(2,cr2)且P(X<4)=0.9,所以P(X>4)=l-0.9=0.1,

所以尸(0<X<2)=P(2<X<4)=0.5-P(X>4)=0.5-0.1=0.4,A错误;

B：因为X~BQ。,]),所以。(X)=—/?)=20x耳x(l—,)=5,B正确;

3

C由题知’事件—,5,6}'所以P⑷6)=丽="C错误:

D：由R?的意义可知D正确.

故选：BD

11.如图，在正方体中，点尸在线段BG上运动，则下列判断中正确的是

A.平面平面ACA

B.AiP〃平面ACQi

C.异面直线4P与Ad所成角的范围是（0,。

D.三棱锥Qi-APC的体积不变

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据正方体的性质，可得。平面AC。，可判定A正确；连接4B,AC1，由

平面B4G〃平面ACR,可判定B正确；当P与线段BG和线段BG的中点两端点重合

时，分别求得AiP与AA所成角，可判定C错误；由力,_”c=^C-ADXP，结合△AQiP的面

积不变，可判定。正确

【详解】对于A中，根据正方体的性质，可得/）8i_L平面ACOi,

又由。Biu平面PBi。，则平面P8i£）J_平面AC。，故A正确；

对于B中，连接4B,AiCi,在正方体中，可得平面8Alei〃平面AC。，

又由AiPu平面B4G,所以AiP〃平面ACDi,故B正确；

对于C中，当尸与线段BG的两端点重合时，AiP与所成角取最小值?，

兀

当P与线段BG的中点重合时，4尸与ADi所成角取最大值一，

2

故4P与所成角的范围是［工,工］,故C错误；

32

对于。中，=%-4£>1P，因为点C到平面的距离不变，且△AO1P的面积不

变，所以三棱锥C-ARP的体积不变，故。正确.

故选ABD.

D

12.抛物线V=2px（p>0）的焦点为凡P为其上一动点，当产运动到（2"）时，

户口=4,直线/与抛物线相交于A,B两点，点“（4,1）,下列结论正确的是（）

A.抛物线的方程为y=8x

B.存在直线/,使得A、B两点关于x+y-6=0对称

C.|PM|+|尸目的最小值为6

D.当直线/过焦点尸时，以A尸为直径的圆与y轴相切

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据|Pb|=2+g=4得到故>2=8X,A正确，A3中点。（2,4）在抛物线上，B错

误,归闾+|尸耳=|户闸+归国26,C正确，计算。G=gAF,D正确，得到答案.

【详解】9=2*3>0）,故|尸目=2+万=4,〃=4,故V=8X,A正确；

设4（%,y）,8（孙必），设AB中点。5，为），则卜"2=："，相减得到

[%=8*2

（y+必）（乂一为）=8（石一w）,即2%・心3=8,因为A、B两点关于x+y-6=0对称，所

以心B=1,故%=4,故々=2,点（2,4）在抛物线上，不成立，故不存在，B错误；

过P作PE垂直于准线于E,则\PM\+\PF\=\PM\+\PE]>6,当P,E,M共线时等号成

立，故C正确；

如图所示：G为AF中点，故。G=g（。/+4。）=34。=；4尸,故.为直径的圆与

y轴相切，故D正确;

故选：ACD.

三、填空题（共20分）

13.之）的展开式中的常数项为.

【答案】15

【解析】

5-5r

【分析】由题意结合二项式定理可得的展开式的通项为（+1=C；々’.丁，令

5-5r

--=0,代入即可得解.

【详解】由题意［4+3］的展开式的通项为7；句=00（«）''(35-5r

5—5

令专一r=0即r=l,则C>3'=C-3=15,

所以的展开式中的常数项为15.

故答案为：15.

【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

___12

14.已知向量;n=(l,a),〃=(2b-l,3)(a>0.。>0),若则一+二的最小值

ab

为.

【答案】7+473

【解析】

【分析】

根据说然后可得3。+a=1,然后使用基本不等式简单计算可得结果.

【详解】由加_1_〃，所以机•〃=()，即3〃+27?=1

-+-=f-+->|(3t7+2/?)=7+—+—>7+2J^^=7+4V3

abyab)ab\ab

当且仅当竺=敦，即b=时，取等号

ab

i2

所以一+一的最小值为：7+4月

ab

故答案：7+46

【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示以及基本不等式的应用，考查计算，属基础题.

.(兀13,(5兀］.(兀)

15.B^flcosl«+-!=--,rl则cos1a--—l+sinla-y1=.

3

【答案】-##1.5

2

【解析】

【分析】利用诱导公式结合已知条件求解即可

【详解】因为cos(a+：］=—|,

3

故答案为：—

2

2,.2卜

16.已知双曲r线二-上=13>0力>0)的左焦点为F,过F且斜率为一的直线交双曲线于

a~b'4a

点A(%，x),交双曲线的渐近线于点3(%,%)且不<0<々.若|EB|=3|E4|,则双曲

线的离心率是.

【答案】巫

4

【解析】

h

【分析】联立直线AB和渐近线4：y=±x方程，可求出点8,再根据|用|=3|~4|可求

a

得点A,最后根据点A在双曲线上，即可解出离心率.

【详解】过户且斜率为2的直线A3:y=2（x+c）,渐近线4：>=?x,

4a4。a

，—b（X[c）

联立了4a.得唯，*],由|阳=3|E4|,得/-3巨，

b133al<99aJ

y=一龙

Ia

2

*上升grH1aL工旦25c202c2C81由z,、诙376

而点A在双曲线上，于是---------=1,解得：—=—，所以离心率e=--------

81/81/〃a2244

故答案为：之困.

4

四、解答题

17.已知公差不为0的等差数列｛4｝中，4=1,4是%和心的等比中项.

（1）求数列｛凡｝的通项公式：

（2）保持数列｛《,｝中各项先后顺序不变，在%与4+|供=1,2,…）之间插入使它们

和原数列的项构成一个新的数列｛包｝,记仍“｝的前〃项和为T“，求4t的值.

【答案】（1）an=n

（2）2101

【解析】

【分析】（1）公式法解决即可；（2）%与4+1（%=1,2,...）之间插入2*，说明在数列

料｝中有10项来自｛4｝，10项来自｛2"｝,分组求和即可.

【小问I详解】

设数列｛4｝的公差为d,

因为4是4和“8的等比中项，

所以a：=a2-as,即（q+3以I=（q+d）（q+7d