线性代数期末试题及答案

线性代数期末试题及答案

EngineeringCollegeSamplePaperforLinearAlgebraFinalExam2011Section1:Fill-in-the-blankquestions(20pointsintotal)1.Ifthedeterminantofamatrixis2,then-2a11+2a31-2a12+2a22-2a32-2a13+2a23=-______.2.GivenD=|683||932||122|,A12+A22+A32+A42=______.3.IfB=|12||-13|,C=|34|,andABC=E,thenA=______.4.Ifthebasicsolutionsetofthehomogeneouslinearequationsystem|a11x1+a12x2+a13x3=0||a21x1+a22x2+a23x3=0||a31x1+a32x2+a33x3=0|containstwosolutionvectors,thena=______.5.IfAandBareboth5thordermatrices,andA=|1|andB=|2|,then-BTA-1=______.6.Ifα=(1,-2,1)TandA=ααT,thenA6=______.7.IfAisann-orderinvertiblematrixandA*istheadjugatematrixofA,andλisaneigenvalueofmatrixA,thenaneigenvalueofA*canbeexpressedas______.8.If2x12+x22+3x32+2tx1x2-2x1x3+3x23isapositivedefinitequadraticform,thentherangeoftis______.9.Ifvectorα=(2,1,3,2)Tandβ=(1,2,-2,1)T,thentheanglebetweenαandβ,denotedasθ,is______.10.Iftheeigenvaluesofa3rdordermatrixAare1,2,and3,thenA+E=______.Section2:Multiple-choicequestions(10pointsintotal)1.Ifthehomogeneouslinearequationsystemx1+λx2+x3=0hasanon-zerosolution,thenλequalsto().A.1or2B.-1or-2C.1or-2D.-1or22.Iftheelementsinthethirdcolumnofa4thordermatrixAare1,3,-2,and2,andtheircorrespondingcofactorsare3,-2,1,and1,thenA=().A.5B.-5C.-3D.33.IfAandBarebothn-ordermatricesandAB=O,thenitmustbetruethat().A.A+B=r(B)BB.A=OorB=OC.A=BD.AB=r(A)orAB=r(B)4.Ifβ1andβ2aretwosolutionvectorsofthenon-homogeneouslinearequationsystemAX=b,thenthevectorthatisstillasolutionofthesystemis().A.β1+β2B.3β1+2β2C.β1+2β2D.β1-β25.If22+3x3-2x1x2+6x1x3-6x2x3isapositivedefinitequadraticform,then().A.x1>0,x2>0,x3>0B.x1>0,x2>0,x3<0C.x1>0,x2<0,x3>0D.x1<0,x2>0,x3>03的秩为2，5。若二次型$f=5x_1^2+5x_2^2$，则$k=$（）。计算题：1.计算$n$阶行列式$D_n=\begin{vmatrix}b&b&\cdots&b\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b&b&\cdots&b\\1&2&\cdots&n\end{vmatrix}$。2.设$A,B$均为$3$阶矩阵，且满足$AB+E=A^2+B$，若矩阵$A=\begin{pmatrix}2&1&1\\-1&3&2\\1&-1&6\end{pmatrix}$，求矩阵$B$。3.已知向量组$\alpha_1=(1,2,3)^T,\alpha_2=(3,2,1)^T,\alpha_3=(9,3,-7)^T,\beta_1=(2,1,-3)^T,\beta_2=(1,2,1)^T,\beta_3=(b,3,1)^T$。已知$\beta_3$可以由$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性表示，并且$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$与$\beta_1,\beta_2,\beta_3$具有相同的秩，求$a,b$的值。4.已知向量组$\alpha_1=(1,-3,4,2,1)^T,\alpha_2=(3,1,2,6,4)^T,\alpha_3=(9,-5,6,8,-2)^T,\alpha_4=(-1,5,8,8,1)^T,\alpha_5=(1,-2,-2,4,3)^T$，（1）求向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5$的秩以及它的一个极大线性无关组；（2）将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。5.已知线性方程组$\begin{cases}x_1+x_2+2x_3+3x_4=1\\x_1+3x_2+6x_3+x_4=3\\x_1-5x_2-10x_3+9x_4=a\end{cases}$，（1）$a$为何值时方程组有解；（2）当方程组有解时求出它的全部解（用解的结构表示）。6.设矩阵$P=\begin{pmatrix}-1&-4\\A&1\end{pmatrix}$，$D=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$，矩阵$A$由关系式$P^{-1}AP=D$确定，试求$A$化为标准形，并写出相应的可逆线性变换。证明题：已知$3$阶矩阵$B\neqO$，且矩阵$B$的列向量都是下列齐次线性方程组的解$\begin{cases}x_1+2x_2-x_3=0\\2x_1-x_2+\lambdax_3=0\\3x_1+x_2-x_3=0\end{cases}$，（1）求$\lambda$的值；（2）证明：$B$可逆。参考答案与评分标准：一、填空题：1.-16；2.2；3.1；4.1；5.33；6.7；7.A；8.-5；9.π/2；10.24。评分标准：每空1分，共计10分。二、单项选择：1.C。2.A。3.D。4.B。5.C。评分标准：每题2分，共计10分。三、计算题：1.改写后：根据等差数列求和公式，有：abb1bb1.Dbbnaan12bnab。2.改写后：将AB+E=A^2+B移项得AB-B=A^2-E，再因为A-E可逆，所以有B=(A-E)^(-1)(A^2-E)。代入数值计算可得B=3.改写后：将增广矩阵化为阶梯矩阵，得到方程组的解为b=5。代入矩阵中的其他元素，得到：4.改写后：根据矩阵的行列式可逆性定理，因为矩阵的行列式不为0，所以矩阵可逆。将矩阵的逆乘以等式两边，得到：x1=1,x2=-1,x3=2,x4=1。5.改写后：将增广矩阵化为阶梯矩阵，得到：当a=-5时，方程组有解，解为x1=1,x2=-2,x3=-1。评分标准：每题3分，共计15分。1.特解为$\gamma=\frac{1}{2}x^2-2x^3+x^4$。2.对于导出组的一般解，基础解系为$\eta_1=1$，$\eta_2=\frac{1}{4}x^2-x+\frac{1}{3}x^3$。3.原线性方程组的通解为$\gamma+k_1\eta_1+k_2\eta_2$，其中$k_1,k_2$为任意常数。4.给定矩阵$A_5=\begin{pmatrix}-1&4\\3&4\end{pmatrix}$，则$A_5=PDP^{-1}$，其中$D=\begin{pmatrix}1&0\\0&-2\end{pmatrix}$，$P=\begin{pmatrix}1&-2\\3&1\end{pmatrix}$。5.给定函数$f(x_1,x_2,x_3)=x_1+2x_2+x_3+2x_1x_2+2x_1x_3+4x_2x_3$，则$f=(x_1+x_2+x_3)+(x_2+x_3)-x_3^2$。6.给定线性方程组$\begin{cases}y_1=x_1+x_2+x_3\\y_2=x_2+x_3\\y_3=x_3\end{cases}$，则其线性变换为$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_1-y_2\\y_2-y_3\\y_3\end{pmatrix}$，从而将二次型化为标准形$f=