师说新数学必修1人教版全书

学科素1.经历推导两角差余弦的过程知道两1.会推导两角差的余弦．(逻辑推理差余弦的意义余弦、两角和与差的正弦、正切的正弦、余弦、正切、二倍角的正弦数算余弦、正切，了解它们的内在联系弦、余弦、正切．(逻辑推理推导出积化和差、和差化积、半角，三组不要求 算 两角和与差的正弦、余弦和正切第1两角差的余弦要 两角差的余弦cosα，β 的特点：左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名弦函数之积的和式，可用口诀“，正正，号相反\”．对任意角α，β，都有cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsin 对任意角α，β都有cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsin 存在角α，β，使得cos(α－β)＝cosα－cos 对任意角α，β，都有cos(α－β)＝cosα－cos cos A6＋A

6－B B 3 cos45°·cos15°＋sin45°·sin15°等于 3 B．D．3C．D．3

cosα＝5

，则cosα－3 两角差的余弦的简单应用例1 coscos75°cos15°－sin75°sincos(α＋45°)cosα＋sin(α＋45°)sin 32cos15°＋2sin利用两角差的余弦求值的一般思把非特殊角转化为特殊角的差，正用直接求解训练 (1)cos(45°－α)cos(15°－α)＋sin(45°－α)·sin 2C．2

D．－2(2)cos63°sin57°＋sin117°sin 2给值求值 5例 (1)利用两角差的余弦进行条件求值时，关键是“变式”或“变角”构造的(2)－β，α＋β＝α＋π－π－β 训练 已知

sinα＝5，cos(α＋β)＝－65cosβ已知三角函数值求角＝例 ＝

＝，cos ＝

α－β变式探 已知α，β为锐角，cos

sin 53β＝7

＝

训练 已知cos(α－β)＝－13，cos(α＋β)＝13，且

β∈2

β易错辨 忽视角的取值范围致例 已知α，β为锐角，cos sin(α＋β)＝5

cos＝77解析：αsinα＝47

.α，β＜sin(α＋β)＝5＜

3

2π3或7＜23cos3或7＜23

1，得

，从而

＜α＋β＜πcosα＋β)＝－1132322cosβ＝cosα＋β)－α]＝cosα＋β)cosα＋sinα＋β)sinα＝132322α，β0＜α＋β＜π.cos80°cos35°＋sin80°sin35°的值是 A2． B．－A2． sin20°cos10°＋sin70°sin 3 B． 3 5 cos

＝13，0＜θ＜3，则cosθ等于 5

12－5 5＋12

5＋5 D．＝－计算：cos ＝－＝已知cos ＝

，cos 10

＜2

β第1两角差的余弦cosαcosβ＋sinαsin 1＋6．答案：例 解析：(1)cos(－375°)＝cos375°＝cos＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin＝

2＋×＋

6＋2 2 cos75°cos15°－sin75°sin＝cos75°cos15°＋sin75°sin2＝cos(75°－15°)＝cos60°＝12cos(α＋45°)cosα＋sin(α＋45°)sin＝cos2＝cos45°＝22 32cos15°＋2sin＝cos60°cos15°＋sin60°sin2＝cos(60°－15°)＝cos45°＝222训练 解析：(1)原式＝cos(45°－α＋α－15°)＝cos30°＝2

.2(2)原式＝cos63°cos33°＋sin63°sin33°＝cos63°－33°)＝cos30°＝322答案 (2)2例 解析：由sin

，α∈π，π5cos 1－sin2

＝－35cosβ＝－5

，βsin －5

＝－13cosα－β)＝cosαcosβ＋sinαsin

×－5

＝－335训练 解析：因为α，β∈0，π

cosα＋β)＝－16

sinα＋β)＝6355sinα＝4cosα＝355cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sin

3 4

.5例 解析：∵α，β均为锐角，且sinα＝5

，cosβ＝10

65

655∴cosα＝25，sinβ＝3105∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsin＝25×

＋ 310＝2

5× 又 π，0<β<π，－π<α－β<π sinα<sinβ，∴α<β24∴－π<α－β<0，∴α－β＝－π247变式探 解析：∵α为锐角且cosα＝17 4∴sin 1－cos2α 1－7＝ β为锐角，∴α＋β∈(0，π)sin(α＋β)＝53<sinα＝8

，∴α＋β∈π，π

∴cos 1－sin2（α＋β） 1－532＝－1114 ∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sin

5 4

×7＋14

＝23β为锐角，∴β＝π3训练 解析：由α－β∈π，π cosα－β)＝－12sinα－β)＝5α＋β∈3π，2πcosα＋β)＝12 sin(α＋β)＝－5cos2β＝cos＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin＝12

＋－5×

又∵α－β∈π，π，α＋β∈3π，2π ∴2β∈π，3π，∴2β＝πβ＝π 2 4答案：－6＋4