2021届高考数学一轮复习专题四函数、不等式中的恒成立问题课件

专题四

函数、不等式中的恒成立问题专题四函数、不等式中的恒成立问题

纵观近几年高考对于函数、不等式中恒成立问题的考查重点是一次函数、二次函数的性质、不等式的性质及应用，图象、渗透换元、化归、数形结合、函数与方程、分类讨论、转化等数学思想方法.有的学生看到就头疼的题目，分析原因除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现的这类问题进行总结和探讨.利用导数研究不等式问题的关键是函数的单调性和最值，各类不等式与函数最值关系如下： 纵观近几年高考对于函数、不等式中恒成立问题的考查重利用导数不等式类型与最值的关系∀x∈D，f(x)＞M∀x∈D，f(x)min＞M∀x∈D，f(x)＜M∀x∈D，f(x)max＜M∃x0∈D，f(x0)＞M∀x∈D，f(x)max＞M∃x0∈D，f(x0)＜M∀x∈D，f(x)min＜M∀x∈D，f(x)＞g(x)∀x∈D，[f(x)－g(x)]min＞0∀x∈D，f(x)＜g(x)∀x∈D，[f(x)－g(x)]max＜0∀x1∈D1，∀x2∈D2，f(x1)＞g(x2)∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)min＞g(x)max∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)＞g(x2)∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)min＞g(x)min∃x1∈D1，∀x2∈D2，f(x1)＞g(x2)∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)max＞g(x)max∃x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)＞g(x2)∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)max＞g(x)min不等式类型与最值的关系∀x∈D，f(x)＞M∀x∈D，f(x

注：上述的大于、小于改为不小于、不大于，相应的与最值对应关系的不等式也改变.如果函数没有最值，那么上述结果可以用函数值域相应的端点值表述. 注：上述的大于、小于改为不小于、不大于，相应的与最例1：已知两个函数f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x3＋5x2＋4x，x∈[－3,3]，k∈R.(1)若对∀x∈[－3,3]，都有f(x)≤g(x)成立，求实数k的取值范围；(2)若∃x∈[－3,3]，使得f(x)≤g(x)成立，求实数k的取值范围；(3)若对∀x1，x2∈[－3,3]，都有f(x1)≤g(x2)，求实数k的取值范围.例1：已知两个函数f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)解：(1)设h(x)＝g(x)－f(x)＝2x3－3x2－12x＋k，问题转化为x∈[－3,3]时，h(x)≥0恒成立，即h(x)min≥0，x∈[－3,3].令h′(x)＝6x2－6x－12＝0，得x＝2或x＝－1，∵h(－3)＝k－45，h(－1)＝k＋7，h(2)＝k－20，h(3)＝k－9，∴h(x)min＝k－45≥0，得k≥45.(2)据题意：∃x∈[－3,3]，使f(x)≤g(x)成立，即为h(x)＝g(x)－f(x)≥0在x∈[－3,3]上能成立，∴h(x)max≥0.∴h(x)max＝k＋7≥0，即k≥－7.(3)据题意：f(x)max≤g(x)min，x∈[－3,3]，易得f(x)max＝f(3)＝120－k，g(x)min＝g(－3)＝－21，∴120－k≤－21，得k≥141.解：(1)设h(x)＝g(x)－f(x)＝2x3－3x2－2021届高考数学一轮复习专题四函数、不等式中的恒成立问题课件2021届高考数学一轮复习专题四函数、不等式中的恒成立问题课件2021届高考数学一轮复习专题四函数、不等式中的恒成立问题课件2021届高考数学一轮复习专题四函数、不等式中的恒成立问题课件2021届高考数学一轮复习专题四函数、不等式中的恒成立问题课件【名师点评】已知不等式恒成立(或有解)求参数问题的解法(转化为最值问题)(1)分离参数法：化为a>f(x)(或a<f(x))恒成立或有解⇔a>f(x)max(或a<f(x)min)或a>f(x)min(或a<f(x)max)(2)直接求最值法：①f(x)>0恒成立(或有解)⇔f(x)min>0(或f(x)max>0)②解不等式，求参数的取值范围.【名师点评】已知不等式恒成立(或有解)求参数问题的解法(转化2021届高考数学一轮复习专题四函数、不等式中的恒成立问题课件2021届高考数学一轮复习专题四函数、不等式中的恒成立问题课件2021届高考数学一轮复习专题四函数、不等式中的恒成立问题课件(2)设函数g(x)在区间[0,2]上的值域是A.∵对任意x1∈[0,2]，总存在x2∈[0,2]，使f(x1)－g(x2)＝0，(2)设函数g(x)在区间[0,2]上的值域是A.2021届高考数学一轮复习专题四函数、不等式中的恒成立问题课件2021届高考数学一轮复习专题四函数、不等式中的恒成立问题课件【规律方法】(1)求f(x)的值域可以利用导数，也可以利用基本不等式求解.(2)若对任意x1∈[0,2]，总存在x2∈[0,2]，使f(x1)＝g(x2)的本质就是函数f(x)的值域是函数g(x)值域的子集.【规律方法】(1)求f(x)的值域可以利用导数，也可以利用(1)求曲线f(x)在x＝1处的切线方程；(2)讨论函数g(x)的极小值；(3)若对任意的x1∈[－1,0]，总存在x2∈[e,3]，使得f(x1)>g(x2)成立，求实数a的取值范围.(1)求曲线f(x)在x＝1处的切线方程；(3)若对任2021届高考数学一轮复习专题四函数、不等式中的恒成立问题课件2021届高考数学一轮复习专题四函数、不等式中的恒成立问题课件当a≤0时，由g′(x)>0得x>1，由g′(x)<0得0<x<1，即g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.g(x)极小值＝g(1)＝1－a.综上，g(x)极小值＝1－a.

(3)对任意的x1∈[－1,0]，总存在x2∈[e,3]，使得f(x1)>g(x2)成立，等价于f(x)在[－1,0]上的最小值大于g(x)在[e,3]上最小值.当x1∈[－1,0]时，f′(x)＝x(1－ex)≤0，f(x)在[－1,0]上递减，f(x)min＝f(0)＝1.当a≤0时，由g′(x)>0得x>1，由g′(x2021届高考数学一轮复习专题四函数、不等式中的恒成立问题课件2021届高考数学一轮复习专题四函数、不等式中的恒成立问题课件

思维点拨：(1)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的解析式确定函数的单调区间即可. (2)由题意首先由函数在特殊点的函数值得到a的取值范围，然后证明所得的范围满足题意即可. 思维点拨：(1)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的2021届高考数学一轮复习专题四函数、不等式中的恒成立问题课件2021届高考数学一轮复习专题四函数、不等式中的恒成立问题课件2021届高考数学一轮复习专题四函数、不等式中的恒成立问题课件2021届高考数学一轮复习专题四函数、不等式中的恒成立问题课件2021届高考数学一轮复习专题四函数、不等式中的恒成立问题课件

【方法点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：①考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；②利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；③利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；④考查数形结合思想的应用. 【方法点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有【跟踪训练】已知函数f(x)＝x2eax(a<0).(1)若a＝－1，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；a的取值范围.【跟踪训练】a的取值范围.2021届