线性系统的能控性和能观测性教材课件

第4章线性系统的能控性

和能观测性4.1引言

4.2线性连续系统的能控性

4.3线性连续系统的能观测性4.4线性定常离散系统的能控性和能观测性

4.5能控标准形和能观测标准形

4.6系统能控性和能观测性的对偶原理4.7线性系统的结构性分解4.8能控性和能观测性与传递函数（阵）的关系

4.9系统的实现问题4.10MATLAB在能控性和能观测性分析中的应用

4.1引言线性系统的能控性(controllability)

加入适当的控制作用后，能否在有限时间内将系统从任一初始状态转移到希望的状态上，即系统是否具有通过控制作用随意支配状态的能力。线性系统的能观测性(observability)通过在一段时间内对系统输出的观测，能否判断系统的初始状态，即系统是否具有通过观测系统输出来估计状态的能力。4.2线性连续系统的能控性

状态能控性反映输入对状态的控制能力。如果状态变量由任意初始时刻的任意初始状态引起的运动都能由输入(控制项)来影响，并能在有限时间内控制到空间原点，那么称系统是能控的，或者更确切地说，是状态能控的。否则，就称系统为不完全能控的。【例4－1】某电桥系统的模型如图4-1所示。该电桥系统中，电源电压为输入变量，并选择两电容器两端的电压为状态变量和。试分析电源电压对两个状态变量的控制能力。解：由电路理论知识可知，若图4-1所示的电桥系统是平衡的(例)，电容的电压是不能通过输入电压改变的，即状态变量是不能控的，则系统是不完全能控的。若图4-1所示的电桥系统是不平衡的，两电容的电压和可以通过输入电压控制，则系统是能控的。由状态空间模型来看，当选择两电容器两端电压为状态变量和时，可得如下状态方程：由上述状态方程可知，状态变量的值，即电桥中电容的电压，是自由衰减的，并不受输入的控制。因此，该电压的值不能在有限时间内衰减至零，即该状态变量是不能由输入变量控制到原点。具有这种特性的系统称为状态不能控的。

4.2.2状态能控性的定义考虑线性时变系统的状态方程其中，为维状态向量，为维输入向量，为时间定义区间，分别为和的元为的连续函数的矩阵。能控性定义1．状态能控对线性时变系统，如果对取定初始时刻的一个非零初始状态，存在一个时刻，，和一个无约束的的容许控制，，使状态由转移到时，则称此在时刻是能控的。

能控性定义2．系统能控对线性时变系统，如果状态空间中的所有非零状态都是在时刻为能控的，则称系统在时刻是状态完全能控的，能控。如果系统对于任意的均是状态完全能控的（即系统的能控性与初始时刻的选取无关），则称系统是一致能控的。简称系统在时刻能控性定义3．系统不完全能控取定初始时刻，如果状态空间中存在是不能控的，则称是不完全能控的，简称系统不能控。一个或一些非零状态在时刻系统在时刻能控性定义若存在能将状态转移到的控制作用，则称状态是时刻能达的。若对所有时刻都是能达的，则称状态为完全能达或一致能达。能达的，时刻状态能达的，简称系统是时刻能达的。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻则称系统是4．状态与系统能达

定义的几点解释

（1）对轨迹不加限制，是表征系统状态运动的一种定性特性；（2）容许控制的分量幅值不加限制，且在（3）线性系统的能控性与（4）如果将上面非零状态转移到零状态，改为零状态到非上平方可积；无关；零状态，则称为系统的能达性。（5）系统不完全能控为一种“奇异”情况。4.2.3线性定常连续系统的状态能控性判别一、格拉姆矩阵判据

线性定常连续系统

状态完全能控的充分必要条件是存在时刻，使如下定义的格拉姆矩阵

为非奇异。

二、秩判据设线性定常连续系统的状态方程为

式中，x为n维状态向量，u为r维输入向量，A，B分别为、常数阵。满秩，即系统状态完全能控的充分必要条件是能控性判别矩阵【例4－1】

试判断如下系统的状态能控性解：由状态能控性的代数判据有故它是一个三角形矩阵，斜对角线元素均为1，不论取何值，其秩为3，故系统状态完全能控。【例】电路如图所示。其中，u为输入，i为输出，流经电感的电流和电容上的电压为状态变量，分析系统的能控性。

解：令整理以上三式得向量－矩阵形式的系统状态空间表达式为当满足时，满秩，系统能控，否则不能控。三、约当标准形判据对为约当标准形的线性定常连续系统1．若A为每个特征值都只有一个约当块的约当矩阵,则系统能控的充要条件为：对应A的每个约当块的B的分块的最后一行都不全为零;2．若A为某个特征值有多于一个约当块的约当矩阵,则系统,有：能控的充要条件为：对应A的每个特征值的所有约当块的B的分块的最后一行线性无关。【例4－5】

下列系统是状态能控的：

下列系统是状态不能控的：

四、PBH判据线性定常连续系统

系统为完全能控的充要条件是，对矩阵的所有特征值

均成立

，或等价地

也即和是左互质的。表4-1能控性判据对比表，判据判定方法特点格拉姆矩阵判据的各行函数线性独立需要求矩阵指数函数并判定函数相关，计算复杂秩判据满秩1.计算简便可行。2.缺点为不知道状态空间中哪些变量(特征值/极点)能控约当标准形判据约当标准形中同一特征值对应的B矩阵分块的最后一行线性无关1.易于分析状态空间中哪些变量(特征值/极点)能控。2.缺点为需变换成约当标准形PBH判据1.易于分析哪些特征值(极点)能控。2.缺点为需求系统的特征值4.2.4线性定常连续系统的输出能控性一、输出能控性定义设线性定常连续系统式中，x为n维状态向量，u为r维输入向量，y为m维输出向量。若存在一个无约束的容许控制，在有限的时间间隔内，能转移到任一指定的期望的最终输出，则称系统是输出完全能控的，简称输出能控。将任一初始输出线性定常连续系统二、输出能控性判据

其输出完全能控的充分必要条件是输出能控性判别矩阵的秩等于输出向量的维数m，即

【例4－8】

试判断如下系统的输出能控性解：由输出能控性的代数判据有故系统输出完全能控。

例判断系统是否具有状态能控性和输出能控性。

秩为1，等于输出变量的个数，因此系统是输出能控的。秩为1，所以系统是状态不能控的。线性时变系统在定义时间区间[t0,t1]内，状态完全能控的充要条件是Gram矩阵非奇异。式中

为时变系统状态转移矩阵。

4.2.5线性时变连续系统的状态能控性一、格拉姆矩阵判据

二、能控性判据若对初始时刻，在时间

()，使得线性时变连续系统的系统矩阵A(t)和输入矩阵B(t)中的各元素在内对时间t分别是(n-2)和(n-1)阶连续可导，

再定义如下线性时变系统的能控性矩阵若能控性矩阵满足则称时变系统在初始时刻上状态完全能控。时间区间定义例4.4.1

秩为3，所以系统是完全能控4.3线性连续系统的能观测性

本节主要讨论线性定常连续系统的状态能观测性问题。关键问题：基本概念：状态能观测性；基本方法:状态能观测性的判别方法；状态能观测性的物理意义和在状态空间中的几何意义。4.3.1能观测性的直观讨论

状态能观测性反映系统外部可直接或间接测量的输出和输入来确定或识别系统状态的能力。如果系统的任何内部运动状态变化都可由系统的外部输出和输入唯一地确定，那么称系统是能观测的，或者更确切地说，是状态能观测的。否则，就称系统为状态不完全能观测的。4.3.2状态能观测性的定义考虑零输入时的状态空间表达式

（4-15）如果每一个状态x(to)都可通过在有限时间间隔to≤t≤t1内，由y(t)观测值确定，则称系统为(完全)能观测的。不失一般性，设to=0。

式中，考虑式（4-15）所描述的零输入系统

1．状态能观测对于式（4-15）所示线性时变连续系统，如果取定初始时刻，存在一个有限时刻，对于所有的系统的输出能惟一确定一个非零的初始状态向量则称此非零状态在时刻是能观测的。2．系统能观测对于式（4-15）所示线性时变连续系统，如果指定初始时刻，存在一个有限时刻，，对于所有，系统的输出能惟一确定时刻的任意非零的，则称系统在时刻状态是完全能观测，简称均是能观测的（即系统的选取无关），则称系统是初始状态向量系统能观测。如果系统对于任意的能观测性与初始时刻一致完全能观测。

3．系统不能观测

对于式（4-15）所示线性时变连续系统，如果取定初始时刻，存在一个有限时刻，对于所有系统的输出不能惟一确定时刻的任意非零的初始状态向量（即至少有一个状态的初值不能被确定），则称系统在时刻是状态不完全能观测，简称系统不能观测。定义的几点解释：（1）对于线性定常系统，由于系统矩阵A(t)和输出矩阵C(t)都为常数矩阵，与时间无关，因此不必在定义中强调“在所有时刻状态完全能观”，而为“某一时刻状态完全能观，则系统状态完全能观”。（2）上述定义中的输出观测时间，并要求。这是因为，输出变量的维数m一般总是小于状态变量x(t)的维数n。否则，若m=n且输出矩阵C(t)可逆，则即状态变量x(t)可直接由输出y(t)确定。由于m<n，为了能唯一地求出状态变量的值，不得不依靠在一定区间内测量得的连续(或有限几组)输出值以确定系统状态。（3）在定义中把能观性定义为对初始状态的确定，这是因为，一旦确定初始状态，便可根据状态方程的解表达式，由初始状态和输入，计算出系统各时刻的状态值。4.3.3线性定常连续系统的状态能观测性判据一、格拉姆矩阵判据设定常连续系统在输入时的齐次状态方程

（4-16）

（4-17），常数阵。为非奇异。和输出方程分别为式中，x为n维状态向量，y为m维输出向量，A，C分别为则系统状态完全能观的充分必要条件是存在一个有限时刻t1使如下格拉姆矩阵代数判据：由式（4-16）和（4-17）所描述的线性定常系统，

（4-21）时，该系统才是能观测的。二、能观测性判据当且仅当n×nm维能观测性矩阵的秩为n，即【例4－19】

试判断如下系统的状态能观测性解：由状态能观测性的秩判据有而系统的状态变量的维数n=2，所以系统状态不完全能观测。例4－17电路如图4－8所示，u为输入，电阻R0上的电压y为输出，i1、i2为状态变量，分析系统的能观测性。解：令，可导出电路的状态空间表达式为能观测性判别矩阵

可见，故系统是不能观测的。三、约当标准形判据约当标准形判据－对为约当标准形的线性定常连续系统有：若A为每个特征值都只有一个约当块的约当矩阵，则系统能观测的充要条件为：对应A的每个约当块的C的分块的第一列都不全为零;2.若A为某个特征值有多于一个约当块的约当矩阵,则系统能观测的充要条件为：对应A的每个特征值的所有约当块的C的分块的第一列线性无关。两点说明：

状态能观测性判据讨论的是约当标准形。若系统的状态空间模型不为约当标准形，则可根据线性变换不改变状态能观测性的性质，先将状态空间模型变换成约当标准形，然后再利用约当标准形判据来判别状态能观测性；

约当标准形判据不仅可判别出状态能观测性，而且更进一步地指出是系统的哪一模态(特征值或极点)和哪一状态不能观。这对于进行系统分析、状态观测器和反馈校正是非常有帮助的。试判断如下系统的状态能观性。解：由约当标准形判据可知，A为特征值互异的对角线矩阵，但C中的第2列全为零，故该系统的状态x2不能观测，则系统状态不完全能观测。试判断如下系统的状态能观性。解：由于A为每个特征值都只有一个约当块，且对应于各约当块的C的分块的第一列都不全为零，故系统状态完全能观。四、PBH判据线性定常系统完全能观测的充要条件是，的所有特征值均成立

，（4-22）或等价地表为，（4-23）也即和是右互质的。表4-2能观测性判据对比表矩阵函数能控性矩阵对于所有特征值判据判定方法特点格拉姆矩阵判据

的各行函数线性独立需要求矩阵指数函数并判定函数相关，计算复杂秩判据

满秩1.计算简便可行。2.缺点为不知道状态空间中哪些变量(特征值/极点)能观测约当标准形判据约当标准形中同一特征值对应的C矩阵分块的第一列线性无关1.易于分析状态空间中哪些变量(特征值/极点)能观测。2.缺点为需变换成约当标准形PBH判据1.易于分析哪些特征值(极点)能观测。2.缺点为需求系统的特征值4.3.4线性时变连续系统的状态能观性1、格拉姆矩阵判据

设线性时变连续系统在输入时的齐次状态方程和输出方程分别为，，（4-24）（4-25）系统在时刻完全能观的充分必要条件是存在一个有限时刻，使如下定义的格拉姆矩阵

（4-26）为非奇异。，，2、能观测性判据

设线性时变连续系统在输入时的齐次状态方程和输出方程分别为式和若A(t)、C(t)阵均是(n-1)阶连续可导的函数矩阵，则系统在时刻状态完全能观的充分条件为存在一个有限时刻使

（4-27）式中4.4线性定常离散系统的能控性和能观测性

本节主要讲述线性离散系统的状态能控性、能观测性的定义和判据。由于线性连续系统只是线性离散系统当采样周期趋于无穷小时的无限近似，所以离散系统的状态能控性、能观测性的定义与线性连续系统的极其相似，能控性，能观测性判据则在形式上基本一致。

4.4.1线性定常离散系统的状态能控性与能达性

一、线性定常离散系统的能控性与能达性定义1．线性定常离散系统状态能控性定义

对线性定常离散系统（4-28）若对某个初始状态x(0)，存在控制作用序列{u(0)，u(1)，…，u(n-1)}，使系统在第n步上达到到原点，即x(n)=0，则称状态x(0)能控；若状态空间中的所有状态都能控，则称系统状态完全能控；若存在某个状态x(0)不满足上述条件，称此系统是状态不完全能控的，简称系统为状态不能控。2．线性定常离散系统状态能达性定义

对线性定常离散系统，若对某个最终状态x1，存在控制作用序列{u(0)，u(1)，…，u(n-1)}，使得系统状态从零状态在第n步上到达最终状态x1，即x(n)=x1，则称此系统的状态x1是能达的。若系统对状态空间中所有状态都能达，则称系统状态完全能达，简称为系统能达。若系统存在某个状态x1不满足上述条件，则称此系统是状态不完全能达的，简称系统为状态不能达。二、线性定常离散系统的状态能控性判据1．线性定常离散系统能控性秩判据对线性定常离散系统，有如下状态能控性结论：（1）若系统矩阵G为非奇异矩阵，则状态完全能控的充要条件为如下定义的能控性矩阵：（4-29）满秩，即（4-30）（2）若系统矩阵G为非奇异矩阵，则为系统状态完全能控的充要条件为（4-31）三、线性定常离散系统的状态能达性判据由系统矩阵和输入矩阵组成的能控性矩阵的秩等于状态变量的个数，对于线性定常连续系统，这是状态完全能控的充分必要条件，而对于线性定常离散系统的状态能控性则仅是一个充分条件。1．线性定常离散系统能达性秩判据

对线性定常离散系统状态完全能达的充分必要条件为能控性矩阵（4-32）满秩，即（4-33）2．线性定常离散系统能达性约当标准形判据对约当标准形的线性定常离散系统，有：（1）若系统矩阵G为每个特征值都只有一个约当块的约当矩阵，则系统能达的充分必要条件为：对应G的每个约当块的H的分块的最后一行都不全为零。（2）若G为某个特征值有多于一个约当块的约当矩阵，则系统能达的充分必要条件为：对应于G的每个特征值的所有约当块的H的分块的最后一行线性无关。

3．线性定常离散系统能达性PHB秩判据

线性离散连续系统状态完全能控的充分必要条件为：对于所有的复数λ，下式成立

（4-34）

4.4.2线性定常离散系统的能观测性

一、线性定常离散系统的能观测性定义若线性定常离散系统（4-35）对初始状态x(0)，根据在n个采样周期内采样到的输出向量y(k)的序列{y(0)，y(1)，…，y(n-1)}能唯一地确定系统的初始状态x(0)，则称状态x(0)能观；若对状态空间中的所有状态都能观，则称系统状态完全能观，简称为系统能观。若存在某个状态x(0)不满足上述条件，称此系统是状态不完全能观的，简称系统为状态不能观。二、线性定常离散系统的能观测性判据1．线性定常离散系统能观测性的秩判据设线性定常离散系统在输入u=0时的齐次状态方程和输出方程分别（4-36）（4-37）式中，x为n维状态向量，y为m维输出，G为系统矩阵，C为输出矩阵。则系统状态完全能观测的充要条件是能观测性判别矩阵满秩,即

2．约当标准形判据约当标准形(对角线标准形为其特例)的线性定常连续系统,

有：1)若G为每个特征值都只有一个约当块的约当矩阵，则系统能观测的充要条件为对应G的每个约当块的C的分块的第一列都不全为零；2)若G为某特征值有多于一个约当块的约当矩阵，则系统能观测的充要条件为对应G的每个特征值的所有约当块的C的分块的第一列线性无关。3．PBH判据

线性定常离散系统状态完全能观测的充要必条件为：对于所有的复数，下式成立：（4-40）【例4－25】试判断如下系统的状态能观性解：由状态能观性的判据有故系统能观测。4.4.3离散化线性定常系统的状态能控性和能观测性

所要讨论的离散化线性定常系统的状态能控性、能观测性问题，是指：

1．线性定常连续系统经离散化后是否仍能保持其状态能控性、能观测性？

2．离散化系统能控性和能观测性与原连续系统的能控性、能观测性之间的关系？

设线性定常连续系统的状态空间模型为（4-41）系统的特征值为，，，。其中可为单特征值或重特征值。经精确离散化的状态空间模型为（4-42）其中，则连续系统和其离散化系统两者之间的状态能控性和能观测性关系为：1.如果连续系统状态不完全能控(不完全能观测)，则其离散化系统必是状态不完全能控(不完全能观测)的；2.如果连续系统状态完全能控(能观测)且其特征值全部为实数，则其离散化系统必是状态完全能控(能观测)的；3.如果连续系统状态完全能控(能观测)且存在共轭复数特征值，则其离散化系统状态完全能控(能观测)的充分条件为：对于所有满足的A的特征值和应满足（4-43）其中符号Re和Im分别表示复数的实数部分和虚数部分。4.5能控标准形和能观测标准形

标准型是系统的状态空间表达式在一组特定的状态空间基底下导出的规范型式，在有的文献中也称规范型。标准型可将系统的某些特性表现得更为充分与明显，从而可简化系统的分析与综合问题。在采用状态空间法分析与综合系统时，根据研究问题的需要，常常采用线性非奇异变换将状态空间表达式化为某种特定的标准型式。

系统经线性非奇异变换，系统的特征值、传递函数矩阵、能控性、能观测性等重要性质均保持不变，因此，只有状态完全能控的系统才能化为能控标准型；只有状态完全能观测的系统才能化为能观测标准型。4.5.1能控标准形

若SISO系统的状态空间模型为（4-44）且系统矩阵A和输入矩阵B分别为

（4-45）则称该状态空间模型为能控标准I形。

若系统矩阵A和输入矩阵B分别为（4-46）则称该状态空间模型为能控标准II形。上述能控标准I形和II型的系统矩阵A分别为前面讨论过的友矩阵的转置和友矩阵。

能控标准形一定是状态完全能控和一定存在线性变换将状态能控的状态空间模型变换成能控标准形。一、能控标准I形

对状态完全能控的线性定常连续系统引入变换矩阵如下

（4-49）是非奇异的。那么必存在一线性变换，能将上述状态方程变换成能控标准I形：（4-50）其中系统矩阵和输入矩阵如能控标准I形所定义的。证明若取变换矩阵，则由有因此，由系统线性变换和凯莱-哈密顿定理有

即证明了变换矩阵可将能控状态空间模型变换成能控标准I形。二、能控标准II形对状态完全能控的线性定常连续系统引入变换矩阵如下（4-51）式中，（4-52）那么必存在一线性变换，能将上述状态方程变换成如下能控标准II形：（4-53）其中系统矩阵和输入矩阵如能控标准II形所定义的。4.5.2能观测标准形对应于能控标准形，若SISO线性定常连续系统的系统矩阵A和输出矩阵C分别为（4-54）则称该状态空间模型为能观测标准I形；对应于能控标准形，若SISO线性定常连续系统的系统矩阵A和输出矩阵C分别为

（4-55）则称该状态空间模型为能观测标准II形。

能观测标准形与能控标准形是互为对偶的，即能观测标准I形与能控标准I形互为对偶，而能观测标准II形与能控标准II形互为对偶。由对偶性原理可知，能控标准形是状态完全能控的，则其对偶系统能观测标准形是状态完全能观测的。

由于线性变换不改变能观测性，而能观测标准形一定状态完全能观测，因此，只有状态完全能观测的系统才能变换成能观测标准范形。定理一、能观测标准I形对状态完全能观的线性定常连续系统引入变换矩阵满足（4-56）那么线性变换，必能将状态空间模型变换成能观测标准I形：（4-57）其中系统矩阵和输入矩阵如能观测标准I形所定义的。二、能观测标准II形

对状态完全能观测的线性定常连续系统引入变换矩阵如下（4-58）式中，（4-59）那么必存在一线性变换，能将状态空间模型变换成如下能观测标准II形：（4-60）其中系统矩阵和输入矩阵如能观测标准II形所定义的。4.6系统能控性和能观测性的对偶原理

本节主要讨论状态空间模型中存在的特殊结构性问题－－对偶性问题，以及对偶性原理在系统分析中的应用。表4－3系统状态能控性和能观测性形式和结构上相似性对比控制能控性能观测性意义输入状态状态输出秩判据约当标准形判据同一特征值的约当块对应B的分块的最后一行是否相关同一特征值的约当块对应C的分块的最后一行是否相关PBH判据对偶系统的定义

若给定的两个线性定常连续系统

（4-61）满足下列关系：（4-62）则称系统和互为对偶。

对偶系统和的结构图根据状态空间模型的对偶关系可以导出下述结论：1互为对偶系统的传递函数阵是互为转置的且其特征方程相同。2互为对偶系统的特征方程和特征值相同。互为对偶系统之间的状态能控性和能观测性的关系定理：设线性定常连续系统和是互为对偶，则系统状态能控(能观测)性等价于系统的状态能观测(能控)性。4.7线性系统的结构性分解

4.7.1能控性分解

对状态不完全能控的线性定常连续系统，存在如下能控性结构分解定理。若线性定常连续系统：（4-64）状态不完全能控，其能控性矩阵的秩为（4-65）则存在非奇异线性变换，使得状态空间模型可变换成（4-66）其中维子系统（4-67）是状态完全能控的。而维子系统（4-68）是状态完全不能控的。能控性结构分解图若线性定常连续系统（4-69）状态不完全能观测，其能观测性矩阵的秩为

（4-70）则存在非奇异线性变换，使得状态空间模型可变换为

（4-71）其中维子系统是状态完全能观测的。而维子系统是状态完全不能观测的。4.7.2能观测性分解

对状态不完全能观测的线性定常连续系统，有如下能观测性结构分解定理。能观测性结构分解图由于线性变换不改变系统传递函数阵，所以结论：状态不完全能观测系统的传递函数阵等于其能观测性分解后能观测子系统的传递函数阵。由于状态不完全能观测系统的传递函数阵等于其能观测子系统的传递函数阵，则其极点必少于n个，即系统存在零极点相消现象。4.7.3能控能观测分解

对状态不完全能控又不完全能观测的线性定常连续系统，类似于能控性分解和能观测性分解过程构造变换矩阵的方法，可构造系统的能控又能观测子空间、能控但不能观测子空间、不能控但能观测子空间以及不能控又不能观测子空间等4个子空间的基底，组成变换矩阵对系统作线性变换，将系统分解为4个子系统：能控又能观测子系统、能控但不能观测子系统、不能控但能观测子系统以及不能控又不能观测子系统。能控能观测分解过程4.不能控但能观测子系统3.不能控又不能观测子系统即系统可分解成如下四个子系统：1.能控但不能观测子系统定理若线性定常连续系统状态不完全能控又不完全能观，则一定存在一个线性变换，使得变换后的状态空间模型为：

2.能控又能观测子系统（4-76）（4-77）直接确定能控能观测分解的变换阵比较困难，一般情况下，可采取逐次能控、能观测分解过程中的变换阵确定。能控能观测分解的变换阵为式中，为先进行的能控分解的变换阵；和分别为对能控分解所得的能控与不能控子系统进行的能观分解的变换阵。能控能观分解的变换阵可为式中，为先进行的能观分解的变换阵；和分别为对能观分解所得的能观子系统和不能观子系统进行的能控分解的变换阵。对于n维单输入单输出线性定常系统（4-84）其状态完全能控且能观测的充分必要条件是系统输入－输出传递函数（4-85）没有零、极点对消，即式（4-85）传递函数的分子和分母无公因式相消。4.8能控性和能观测性与传递函数（阵）的关系

由上节所述系统的三种结构分解可知，对状态不完全能控或不完全能观的系统，其传递函数阵等于分解后能控能观子系统的传递函数阵，其极点数少于原系统状态变量的个数n，即系统的传递函数阵中存在零极点相消现象。4.8.1单输入单输出系统

利用以上结论，对于单输入单输出线性定常系统，可以根据其传递函数是否出现零、极点对消，判别相应的实现是否能控且能观测。但是，若单输入单输出线性定常系统的传递函数出现零极点对消现象(即传递函数分子和分母有相消的公因式)，则根据状态变量的选择不同，系统的状态空间实现或者是不能控的，或者是不能观测的，或者是既不能控又不能观测的。设多输入多输出系统

（4-87）它的传递函数矩阵为（4-88）如果在传递矩阵G(s)中，与之间没有非常数公因，则该系统是能控且能观测的。4.8.2多输入多输出系统这里特别需要指出的是，对于多输入多输出系统，状态空间模型是状态完全能控又能观测的，只是相应的传递函数中无零极点相消现象的一个必要条件，而不是充分条件。也就是说，若系统状态不完全能控或不完全能观测，则相应的传递函数中一定存在零极点相消现象。4.9系统的实现问题4.9.1定义和基本特性

对给定的真有理实矩阵函数G(s)，如果能找到相应的线性定常连续系统的如下状态空间模型：

（4－