2023年高考数学第18讲 方程求根

第18讲方程求根、韦达定理与待定系数法

一、知识聚焦

1零值定理

设函数/(X)在,，句上连续，且＜(),则在(。力)内至少存在一点C,使得

〃c)=0

2韦达定理

bc

(1)设一元二次方程G?+Z?x+C=O(aHO),不，W是其2个根，则有X]+x

2—,xix2=—

aa

(2)设一元三次方程以3+区2+B+2=0(a。0),百,£,七是其3个根，则有

b

X]+4+七=---

a

c

玉元2+尤2*3+X3X\=一

a

d

XxX2X3=——

a

2

(3)设一元〃次方程q)V+4/T+a2xn~++an=0(tz()^0),xpx2,，当是其〃个根，则

有

X+++元〃=---

%

尤1龙2+%七++玉玉+龙2%3+*2%4+…+*2居+-+龙

“(-1)"%

W2

ao

3整系数多项式方程的根

若既约分数"为整系数多项式方程/x"+qV'T+o2yL2++4尸+%=0(4,,

P

q,%,M“T，4,eZ)的根，则

推论1:首项系数为1的整系数多项式方程的有理根必为整数根.推论2:整系数多项式方程

的整数根必为常数项凡的约数.

4待定系数法

一般而言，待定系数法解题是依据已知,正确列出等式或方程，即引人一些待定的系数,转化为

方程组来解决，通常有两种方法:比较系数法和特殊值法特定系数法主要用来解决方程问

题、函数问题，多项式分解因式、拆分分式、数列求和、复数计算、解析几何中求曲线方

程、空间图形中求平面法向量、证明组合恒等式等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所

以都可以用待定系数法求解.

使用待定系数法解题的基本步骤如下.

第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；

第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；

第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.

二、精讲与训练

【核心例题1】(1)函数/(x)=e'+2x—3的零点所在的一个区间是().

、

A

-45°7

B.

;,1

C.

I2)

(2)若关于x的方程一LL-=履?有4个不同的实数解，则左的取值范围为()

x+4

A.(O,l)

C.(了+8

D.(1,+8)

【解题策略】第⑴问，用零值定理作判断，由于是选择题，可代入每个选项区间的端点验证

函数值是否异号.第(2)问,如能注音到对任意的ZeR,x=O必是原方程的一个根，则问题就可

得到简化，难度下降，可见在解题中若能抓住关键节点，便可顿时化繁为简.

解:(1)•/(X)为增函数,.••可用赋值法验证零值定理，即代入每个选项区间的端点值,判断函

数值是否异号.

=e^+2xf-l'-3+_4<0,/⑼=—2<0

27

f1^=Ve+2xl-3=Ve-2(0,/(l)=e+2-3=e-l

/出〃1)<0，；.存取e：,1，吏得/优)=0,故选。.

⑵=红2有4个实数解，显然X=0是方程的一个解.

x+4

下面只考虑xrO情形，即当XHO时有3个实数解即可.

若x>0,原方程等价于1=日(x+4)，显然上¥0,则，=+4).

k

要使该方程有解，必须上〉0,则一+4=(X+2)一，此时x〉0,方程有且必有一解;由此可知当

k

x<0时必须有两解.

19

当x<0时，原方程等价于一1=日(x+4)，即一一+4=(X+2)一.

k

画出函数图像(注意x<0且xHT)，要使该方程有两解，必须满足0〈一工+4<4,解得

k

ke,这也是上述几种情况的公共部分.故％e为所求，选C.

【变式训练1］已知二次函数,/■(力=52+乐+(;(000),设％,%2eR,%<%,且

/(%)//(/)，方程/(x)=g［/(3)+/(%)］有两个不等实根•证明:必有一个实根属于

区间(玉,々).

【变式训练2］若关于x的方程4'+。•2*+。+1=0有实数解，则a的取值范围是.

［核心例题2】⑴设左29,解关于x的方程x3+2kx?+k2x+9k+27=0.

(2)已知方程X2+办+〃=0,%2+3+4=0均无实根,判断2*+(［+‘)》+(。+4)=0是

否有实根.

【解题策略】第(1)问，所给方程是关于x的三次方程，无法直接求解.而参量Z的最高次帝

是二次，且k的取值蔻围给定，故应进行参量与自变量的角色转换,将原方程看成是关于k的

二次方程，就可得到x与k之间的数学关系，再利用给定的上的范围来反求出x及原方程的解.

第(2)问,由方程x2+ax+b^O,x2+cx+d0均无宋根，则为<0,4<0，判断方程

2/+(a+c)x+e+d)=0是否有实根，要看这个方程的判别式冬•若43»(),则此方程有

实根，若&<0，则此方程无安根，而判断'的情况必须合理应用4<0,&<0所得的结论.

解：(l)d+262+&2》+94+27=叱/+(2/+9)左+%3+27=0,将其看成关于攵的二次

方程，则A,=(2f+9)2-4x(/+27)=9(2犬-3『,

—2犬2+6x—18

k——x—=

2x

・"=-3-攵或2/+(22-6)工+18=0.

对于方程2f+(2Z—6)x+18=0,其中

2XX2

A2=(2A:-6)-4218=4(A:-6A:-27)=4(A:-9)(A：4-3)-.A:>9,.-.A2>0

3-k+y/k2-6k-213-Z-J/—6k-27

/.X,=-3-k9x2=

22

⑵；f+ax+0=0无实根,，A[=4-48<0,即/<4Z?.

2无实根,；.12

,,,x+cx+d=0A2=c-4d<0..BPc<4d.

方程2x2+(a+c)x+0+d)=O的判别式为

-勖-

A3=(a+c)~-4x29+d)=(a+c18d

22

由a?<4)得-3b<-2a油c?<4Q得一<_2c,

Q=一矿+

A3=(a+c)~-8b-8d<(a+c)~-2~—2c22ac—c-=—(a—c)~

(〃一c)220,・・・43=-(々一c)2W0,而QWC,即A3<0，故方程

2x2+(Q+c)x+(Z?+d)=0无实根.

r4+2X2+1X2+1

【变式训练1]解方程W:+]+L1=2.

X"X

【变式训练2】已知方程d+（4a+l）x+4/_i=0恒有非负的解，求实数a的取值范围.

【变式训练3】设氏c为实数,a。0且awe,若方程

有实根.证明:方程加+fot+c=O(arO)有两个不相

等的实根.

【核心例题3】丁+62+尿+。=0的3个根分别为。、6c,并且a、b、。是不全为零

的有理数，求a、b、c的值.

【解题策略】本例需要用到三次方程的韦达定理以及整系数多项式有理根的相关定理及

推论,相关知识可参阅本讲“知伏聚焦''中的2和3,这里不再重复.

a——(a+b+c),

解:由三次方程的韦达定理知＜b=ab-^-hc+ca.(2)

c=-abc,⑶

由(3)式得c=0或。力=—1.

若=-1,代人(2),得b=be+ca—1.(4)

由(1)得。=一(%+〃)，代人(4)式，得方=(。+〃)(一2。一〃)一1=一2片一3。〃一/一1.将

4=一_1代人,得6=—2*二一k+2,整理得/+3—2〃+2=0

bb-

试根，发现一1是它的解，从而可得。+1乂〃一如+2)=0.

故匕=-1或63-26+2=0.

对于方程》3-2匕+2=0,由于左边是首项系数为1的整系数多项式,且易见±1,±2均不是它

的根,由整系数多项式方程根的定理及推论可知，此方程没有有理根.而匕=-1时，

a=l,c=-1.

a=l,a=1,

综上,原问题所求的a、氏。为,8=-1或＜h=-2,

c=-\c=0.

【变式训练1】求作一个一元三次方程，使它的三个根分别是方程/一7/+i4x-8=0三

个根的倒数.

【变式训练2】已知一元二次方程a?+法+。=0有两个大于0、小于1的相异实根，其中

a是正整数功,c是整数，求a的最小值.

【变式训练3】设/(£)=(1+。卜4+兀3_(34+2卜2一44,对任意实数4.

⑴证明:方程〃x)=O总有相同实根；

(2)证明:存在X。恒有/(小)H0・

【核心例题4】⑴分解因式/+/+》2+2

(2)若6龙2-5孙-4y2-15+22y+m可分解为两个一次式的积，求m的值并将多项式分解

因式.

【解题策略】运用待定系数法对多项式进行因式分解是把高次方程转化为低次方程，然后

再求解的途径，其步制如下.

第一步，设原多项式分解为含待定系数的因式之积.

第二步，采用系数比较法列出含待定系数的方程或方程组,解这个方程或方程组求出待定系数

的值，使问题获得解决.或者，采用数值代入法,列出含有待定系数的方程或方程组，解这个方程

或方程组，求出待定系数的值，使问题获得解决.

当然，如何设出原多项式分解为含待定系数的因式之积是有技巧的.如第(1)问,可把原式中常

数项2写成1x2,即设为#+如+1)卜2+研+2)；那么是否可以把2写成⑴x(—2)呢？

即设为(V+3一1)(X+%—2),关键看第二步中所得方程组是否有解第0)问,可先把

6x2-5xy-4/分解为(2x+y)(3x-4y)，把m写成kl，即设为(2x+y+k)(3x-4y+l]

的形式，再运用上面第二步的解法.

解:⑴设原式=(d+mx+\^x2+nx+2j，则

f+d+X2+2-x4+（加+〃+（/??"+3）£+（2m+〃）x+2

m+n=1,(2)

【解法一】比较对应项的系数，得{+3=1,(3)

2机+〃=0,(4)

由⑵(4)消去〃，得