随机过程Ch2-随机过程的概念与基本类型课件

第二章

随机过程的

概念与基本类型

12.1随机过程的一般概念设(,F,P)为概率空间，T是参数集。若对任意tT

，有随机变量X(t,e)与之对应，则称随机变量族{X(t,e)，tT

}是(,F,P)上的随机过程，简记为

{X(t)，tT

}或{Xt，tT

}。X(t)的所有可能的取值的集合称为状态空间或相空间，记为I。25随机过程的例子以X(t)表示某电话交换台在时间段[0,t]内接到的呼叫次数，则{X(t)，t∈[0,∞)}是随机过程；以X(t)表示某地区第t天的最高气温，则{X(t)，t=0,1,…}是随机过程；以X(t)表示某固定点处在时刻t的海面相对于平均海平面的高度，则{X(t)，t∈[0,∞)}是随机过程；X(t)=acos(ωt+Θ)，t∈（-∞,∞)，其中a，ω是常数，Θ是随机变量。则{X(t)，t∈（-∞,∞)}是随机过程62.1随机过程的基本概念从数学上看，随机过程{X(t,e)，tT

}是定义在T上的二元函数。对固定的t，X(t,e)是(,F,P)上的随机变量；对固定的e，X(t,e)是定义在T上的普通函数，称为随机过程的一个样本函数或样本轨道。782.1随机过程的基本概念按参数T和状态空间I分类（1）T和I都是离散的（2）T是连续的，I是离散的（3）T是离散的，I是连续的（4）T和I都是连续的按Xt的概率特性分类正交增量过程独立增量过程马尔可夫过程平稳随机过程92.2

随机过程的分布和数字特征随机过程{X(t)，tT

}的有限维分布函数族其中是n维随机变量(X(t1),X(t2),,X(tn))的联合分布函数10例：X(t)=tV,-∞<t<∞,其中V为随机变量。P(V=1)=0.6,P(V=-1)=0.4,求F1.5(x),F2(x),F1.5,2(x1,x2),112.2随机过程的分布律和数字特征有限维分布函数族的性质

(1)对称性其中是的任意排列(2)相容性

m<n122.2随机过程的分布律和数字特征定理（柯尔莫哥洛夫，Kolmogorov)：设已给参数集T及满足对称、相容的有限维分布函数族F

则必存在概率空间(,F,P)及定义在其上的随机过程{X(t)，tT

}，它的有限维分布函数族就是F有限维特征函数族132.2随机过程的分布和数字特征定义2.3设{X(t)，tT

}是随机过程，定义均值函数若对,EX2(t)存在，则称该过程为二阶矩过程。方差函数协方差函数142.2随机过程的分布律和数字特征相关函数☆显然有关系式

15随机过程数字特征之间的关系均值函数自相关函数最主要的数字特征162.2随机过程的分布律和数字特征例设X(t)=Ycos(t)+Zsin(t),

t>0，Y,Z相互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=2。求{X(t),t>0}的均值函数和协方差函数。解172.2随机过程的分布律和数字特征

182.2随机过程的分布律和数字特征例设X(t)=Y+Zt,

t>0，Y,ZN(0,1)求{X(t),t>0}的一、二维概率密度族。解因Y,Z为正态随机变量，则其线性组合X(t)也是正态随机变量，X(t)～N(0,1+t2)192.2随机过程的分布律和数字特征

随机过程{X(t),t>0}的一维概率密度20212.2随机过程的分布律和数字特征

随机过程{X(t),t>0}的二维概率密度222.2随机过程的分布律和数字特征设{X(t)，tT

}，{Y(t)，tT

}是两个随机过程，二阶矩函数存在，定义二阶矩过程一、二阶矩函数存在定义2.4互协方差函数互相关函数

☆显然有关系式232.2随机过程的分布律和数字特征例设X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值函数和相关函数。解242.2随机过程的分布律和数字特征252.3复随机过程定义2.5设{Xt，tT

}，{Yt，tT

}是取实值的两个随机过程，对tT，Zt=Xt+iYt，则称{Zt，tT

}是复随机过程。均值函数方差函数262.3复随机过程相关函数协方差函数

☆显然有关系式272.3复随机过程设{Xt，tT

}，{Yt，tT

}是两个复随机过程，定义互相关函数互协方差函数

☆显然有关系式282.3复随机过程复随机过程的协方差函数具有性质(1)共轭对称性

(2)非负定性292.3复随机过程例设复随机过程X1,X2,,Xn独立，w1,w2,,wn为参数，求{Zt,t0}的均值函数m(t)和相关函数R(s,t)

解302.3复随机过程

312.4几种重要的随机过程定义2.6设{X(t)，tT

}是随机过程，且EX(t)=0,EX2(t)<+，若对任意的t1<t2t3<t4T,有E[(X(t2)-X(t1))(X(t4)-X(t3))]=0，则称{X(t)，tT

}为正交增量过程。不相关

t1t2t3t4定理：设T=[a,b],规定X(a)=0,若{Xt，tT

}是正交增量过程，则322.4几种重要的随机过程证:对于a<s<t<b

同理对于a<t<s<b,有于是332.4几种重要的随机过程定义2.7设{X(t)，tT

}是随机过程，对任意正整数n和t1<t2<<tnT,随机变量X(t2)-X(t1)，X(t3)-X(t2),,X(tn)-X(tn-1)是相互独立的，则称{X(t)，tT

}是独立增量过程或可加过程。定理：若{Xt，tT

}是独立增量过程，且EX(t)=0，EX2(t)<+，则{Xt，tT

}是正交增量过程。

342.4几种重要的随机过程事实上，对t1<t2t3<t4T,由独立增量性，有E[(X(t2)-X(t1))(X(t4)-X(t3))]=E[X(t2)-X(t1)]E[X(t4)-X(t3)]=0352.4几种重要的随机过程定义2.8设{X(t),tT}是独立增量过程，若任意s<t,随机变量X(t)-X(s)的分布仅依赖于t-s，则称{X(t),tT}是平稳独立增量过程。

☆维纳过程和泊松过程是平稳独立增量过程36定义2.9

设{X(t)，tT

}为随机过程，若对任意正整数n及t1<t2<<tn，P{X(t1)=x1,,X(tn-1)=xn-1}>0，且条件分布P{X(tn)xn|X(t1)=x1,,X(tn-1)=xn-1}=P{X(tn)xn|X(tn-1)=xn-1}，则称{X(t)，tT

}为马尔可夫过程。☆若t1,t2,,tn-2表示过去，tn-1表示现在，tn表示将来，马尔可夫过程表明：在已知现在状态的条件下，将来所处的状态与过去状态无关。37定义2.12

设{X(t)，tT

}是随机过程，对任意常数和正整数n，t1,t2,,tnT,t1+,t2+,,tn+

T，若(X(t1),

X(t2),,

X(tn))与

(X(t1+),

X(t2+),,

X(tn+))有相同的联合分布，则称{X(t)，tT

}为严平稳过程，也称狭义平稳过程。386.1平稳随机过程的概念定义2.13

设{X(t)，tT

}是随机过程，并满足：(1){X(t)，tT

}是二阶矩过程；(2)对任意tT

，mX(t)=EX(t)=常数；(3)对任意s,tT

，RX(s,t)=E[X(s)X(t)]=RX(t-s)，则称{X(t)，tT

}为宽平稳过程，也称广义平稳过程，简称平稳过程。若T为离散集，称平稳过程{Xn，nT

}为平稳序列。392.4几种重要的随机过程定义2.10设{X(t)，tT

}是随机过程，对任意正整数n和t1<t2<<tnT,(X(t1),X(t2),,X(tn))是n维正态分布随机变量，则称{X(t)，tT

}是正态过程或高斯过程。402.4几种重要的随机过程定义2.11设{W(t),-<t<+}是随机过程，如果(1)W(0)=0(2)W(t)是平稳独立增量过程(3)对任意s,t,增量W(t)-W(s)~N(0,2|t-s|),2>0则称{W(t),-<t<+}为维纳过程，或布朗运动。412.4几种重要的随机过程定理：设{W(t),-<t<+}是参数为2的维纳过程，则(1)对任意t(-,+),W(t)~N(0,2|t|)(2)对任意-<a<s,t<+,E[(W(s)-W(a))(W(t)-W(a))]=2min(s-a,t-a)RW(s,t)=2min(s,t)证(1)由定义，显然成立。422.4几种重要的随机过程(2)不妨设st，则E[(W(s)-W(a))(W(t)-W(a))]=E[(W(s)-W(a))(W(t)-W(s)+W(s)-W(a))]=E[(W(s)-W(a))(W(t)-W(s))]+E[(W(s)-W(a))2]=E[W(s)-W(a)]E[W(t)-W(s)]+D[W(s)-W(a)]=2(s-a)432.4几种重要的随机过程若t

s

，则E[(W(s)-W(a))(W(t)-W(a))]=2(t-a)，所以E[(W(s)-W(a))(W(t)-W(a))]=2min(s-a,t-a)若取a=0，则RW