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文档简介
上海启秀实验中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知,分别是椭圆的左、右焦点,现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点,,若过的直线是圆的切线,则椭圆的离心率为(
)A.
B.
C.
D.参考答案:A试题分析:由题意,,则,所以,解得.故选A.考点:椭圆的几何性质.2.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别是am(0<a<12)、4m,不考虑树的粗细.现在想用16m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的最大面积为S,若将这棵树围在花圃内,则函数S=f(a)(单位m2)的图象大致是(
)A. B. C. D.参考答案:C【考点】函数的图象与图象变化.【专题】压轴题;分类讨论.【分析】为求矩形ABCD面积的最大值S,可先将其面积表达出来,又要注意P点在长方形ABCD内,所以要注意分析自变量的取值范围,并以自变量的限制条件为分类标准进行分类讨论.【解答】解:设AD长为x,则CD长为16﹣x又因为要将P点围在矩形ABCD内,∴a≤x≤12则矩形ABCD的面积为x(16﹣x),当0<a≤8时,当且仅当x=8时,S=64当8<a<12时,S=a(16﹣a)S=分段画出函数图形可得其形状与C接近故选C.【点评】解决本题的关键是将S的表达式求出来,结合自变量的取值范围,分类讨论后求出S的解析式.3.下列函数中,在区间上为增函数的是(A)
(B)
(C)
(D)参考答案:A考点:函数的单调性与最值因为(A)在区间上为增函数,(B)
,(C)
,
(D)
在区间上均为减函数
故答案为:A4.将函数的图像向右平移个单位,再向上平移个单位后得到的函数对应的表达式为,则函数的表达式可以是………(
).
.
.
.参考答案:C略5.
把边长为的正方形沿对角线折起,使得平面平面,形成三棱锥的正视图与俯视图如下图所示,则侧视图的面积为(
)A.
B.
C.
D.
参考答案:D6.在△ABC中,=,=.若点D满足=()A.+B.C.D.参考答案:A【分析】由向量的运算法则,结合题意可得═=,代入已知化简可得.【解答】解:由题意可得=====故选A【点评】本题考查向量加减的混合运算,属基础题.7.设复数z满足,则复数在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案:B解:设复数,,;,;复数,,复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选:.8.函数y=f(x)是偶函数,则函数g(x)=f[f(x)]的图象
(
)A.关于y轴对称B.关于x轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线y=x对称参考答案:A略9.在内,使的的取值范围是A.
B.C.
D.参考答案:答案:A10.对数函数的图象过点M(16,4),则此对数函数的解析式为()A.y=log4x
B.y=logxC.y=logx
D.y=log2x参考答案:D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设满足约束条件,记的最大值为,则
参考答案:12.方程的两根为,且,则
。参考答案:略13.若函数在其定义域上只有一个零点,则实数a的取值范围是.参考答案:
,因为递增,且,,,故在(-1,0)有唯一零点。所以无零点。因为,,,所以极小值,14.已知平面向量,满足:,则的夹角为
参考答案:因为,所以,所以的夹角为。15.在等比数列中,,,则
▲
.参考答案:16.已知函数在上单调递减,且,若,则的取值范围 .参考答案:略17.已知函数y=3?2x+3的定义域为[﹣1,2],则值域为
.参考答案:[,15]【考点】函数的值域.【分析】根据函数的单调性直接求出即可.【解答】解:函数y=3?2x+3为增函数,∵x∈[﹣1,2],当x=﹣1时,y=+3=,当x=2时,y=12+3=15,故函数的值域为[,15],故答案为:[,15]【点评】本题考查了函数的值域,属于基础题.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(为参数),以点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C的极坐标方程;(2)过极点O作直线与圆C交于点A,求OA的中点所在曲线的极坐标方程.参考答案:(1);(2)【分析】(1)直接利用转换关系,把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换;(2)设的中点坐标为,所以,代入(1)中的结论即可得结果.【详解】(1)圆的参数方程为(为参数),转换为直角坐标方程为:,转换为极坐标方程为:.(2)过极点作直线与圆C交于点A,设的中点坐标为,所以,所以,即,所以中点所在的曲线的极坐标方程为.【点睛】本题考查的知识要点:参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,两点间的距离公式的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.已知函数,函数是函数的反函数.(1)求函数的解析式,并写出定义域;(2)(理科)设,若函数在区间内的图像是不间断的光滑曲线,求证:函数在区间内必有唯一的零点(假设为),且.(文科)(2)设函数,试判断函数在区间上的单调性,并说明你的理由.参考答案:(1),.又,.
.
由,可解得.
,.
(理)证明
(2)由(1)可知,.
可求得函数的定义域为.
对任意,有,
所以,函数是奇函数.
当时,在上单调递减,在上单调递减,
于是,在上单调递减.
因此,函数在上单调递减.
依据奇函数的性质,可知,函数在上单调递减,且在上的图像也是不间断的光滑曲线.
又,
所以,函数在区间上有且仅有唯一零点,且.
(文)(2)答:函数在区间上单调递减.理由:由(1)可知,.
可求得函数的定义域为.
对任意,有,
所以,函数是奇函数.
当时,在上单调递减,在上单调递减,
于是,在上单调递减.
因此,函数在上单调递减.
依据奇函数的性质,可知,函数在上单调递减.
20.已知f(x)=是定义在[-1,1]上的奇函数,试判断它的单调性,并证明你的结论.参考答案:解:∵f(x)=是定义在[-1,1]上的奇函数,∴f(0)=0,即a=0.∴f(x)=.函数f(x)在[-1,1]上为增函数.证明如下:任取<≤1,∴<0,-1<<1,∴>0.∴-===<0,∴∴f(x)在[-1,1]上为增函数.
略21.已知的角所对的边分别是,设向量,,.(1)若//,求证:为等腰三角形;(2)若⊥,边长,,求的面积.参考答案:解:(1)即,其中R是三角形ABC外接圆半径,…………5分为等腰三角形
……………6分(2)由题意可知,……8分由余弦定理可知,
…………10分………12分
略22.(本小题满分14分)(文科)已知函数(,为自然对数的底数).(1)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;(2)求函数的极值;(3)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.参考答案:(Ⅰ)由,得
.又曲线在点处的切线平行于轴,得,即,解得.(Ⅱ),①当时,,为上的增函数,所以函数无极值.②当时,令,得,.,;,.所以在上单调递减,在上单调递增,故在处取得极小值,且极小值为,无极大值.综上,当时,函数无极小值;当,在处取得极小值,无极大值.(Ⅲ)当时,令,则直线:与曲线没有公共点,等价于方程在上没有实数解.假设,此时,,又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故
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