上海市武宁中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析

上海市武宁中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数为上的增函数，则实数的取值范围为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B2.已知等差数列中，，则首项和公差的值分别为（

）

A．１，３B．－３，４C．１，４D．１，２参考答案：C3.已知函数，则（

）

参考答案：D4.已知双曲线H：﹣=1，斜率为2的动直线l交H于A，B两点，则线段AB的中点在一条定直线上，这条定直线的方程为（）A．x+y=0 B．x﹣y=0 C．x+2y=0 D．x﹣2y=0参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为M（x0，y0）．利用中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”即可得出．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为M（x0，y0）．则，=1，相减可得=，即=2?又=2，y1+y2=2y0，x1+x2=2x0，则2?=2，即x0=y0，即x0﹣y0=0．故线段AB的中点在直线x﹣y=0上．故选：B5.已知圆M：（x﹣1）2+y2=，椭圆C：+y2=1，若直线l与椭圆交于A，B两点，与圆M相切于点P，且P为AB的中点，则这样的直线l有（）A．2条 B．3条 C．4条 D．6条参考答案：C【分析】讨论直线AB的斜率不存在和存在，利用点差法求得直线AB的斜率，根据kMP?kAB=﹣1，求得P点横坐标，确定在椭圆内，即可得到所求直线的条数．【解答】解：当直线AB斜率不存在时且与圆M相切时，P在x轴上，故满足条件的直线有两条；当直线AB斜率存在时，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），由+y12=1，+y22=1，两式相减，整理得：=﹣?，则kAB=﹣，kMP=，kMP?kAB=﹣1，则kMP?kAB=﹣?=﹣1，解得：x0=，由＜，可得P在椭圆内部，则这样的P点有两个，即直线AB斜率存在时，也有两条．综上可得，所求直线l有4条．故选：C．6.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有1个白球；都是白球B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰有1个白球；恰有2个白球D．至少有一个白球；都是红球参考答案：C【考点】互斥事件与对立事件．【分析】由题意知所有的实验结果为：“都是白球”，“1个白球，1个红球”，“都是红球”，再根据互斥事件的定义判断．【解答】解：A、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，故A不对；B、“至少有1个红球”包含“1个白球，1个红球”和“都是红球”，故B不对；C、“恰有1个白球”发生时，“恰有2个白球”不会发生，且在一次实验中不可能必有一个发生，故C对；D、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，与都是红球，是对立事件，故D不对；故选C．7.已知函数，其导函数的图象如图所示，则(

)A．在(－∞,0)上为减函数

B．在x=1处取极小值

C．在x=2处取极大值

D．在(4,+∞)上为减函数参考答案：D8.椭圆上有两点P、Q,O为原点,若OP、OQ斜率之积为,

为

(

)A.

4

B.

64

C.

20

D.

不确定

参考答案：C略9.等差数列的前n项和记为，若为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是

（

）A． B． C． D．参考答案：B10.已知全集U={－1，0，1，2}，集合A={1，2}，B={0，2}，则（CUA）∩B=（

）A．φ

B．{0} C．{2}

D．{0，1，2}参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC=2AD=2AB=4，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为

．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】作图题；运动思想；等体积法；空间位置关系与距离．【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可得到答案．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为2，高为4的圆柱，挖去一个相同底面高为2的倒圆锥，几何体的体积为：=．故答案为：．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．画出几何体的直观图是解题的关键，是中档题．12.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2000，3000）（元）月收入段应抽出_____人．

参考答案：5013.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是_________（写出所有正确结论的编号）．①；②；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中哪一个发生有关．参考答案：略14.已知x、y的取值如表所示：x0134y2.24.34.86.7从散点图分析，y与x线性相关，且=0.95x+a，则a=．参考答案：2.6【考点】线性回归方程．【分析】根据表中的数据可以分别求出变量x，y的算术平均值，而根据回归方程知道直线的斜率为0.95，然后带入求截距的公式即可求出a．【解答】解：根据表中数据得：；又由回归方程知回归方程的斜率为0.95；∴．故答案为：2.6．【点评】考查线性相关的概念，回归方程中直线的斜率和截距的计算公式，以及变量的算术平均值的计算．15.长方体一个顶点上三条棱的长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是

参考答案：略16.如右图，矩形长为5，宽为3，在矩形内随机撒100颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为80颗，以此实验数据为依据可以估算椭圆的面积约为

．参考答案：12

17.复数的共轭复数是

。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某校从名男教师和名女教师中任选人参加全县教育系统举行的“我的教育故事”演讲比赛．如果设随机变量表示所选人中女教师的人数．求：(1)的分布列；(2)的数学期望；(3)“所选3人中女教师的人数≥”的概率．参考答案：解：(1)易知可能的取值为0,1,2.．……………2分所以得分布列为011

…6分(2)的数学期望为：；…10分(3)“所选3人中女教师的人数≥”的概率为：+．…………14分19.(本小题满分13分)某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元．(Ⅰ)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(Ⅱ)若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以46万元出售该楼；②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼，问哪种方案盈利更多？参考答案：解：(Ⅰ)设第n年获取利润为y万元，n年共收入租金30n万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，共，因此利润y=30n－(81+n2)，令y>0，解得：3<n<27，所以从第4年开始获取纯利润.(Ⅱ)年平均利润，(当且仅当，即n=9时取等号)所以9年后共获利润：12=154(万元)，利润y=30n－(81+n2)=－(n－15)2+144，所以15年后共获利润：144+10=154(万元).两种方案获利一样多，而方案①时间比较短，所以选择方案①.

20.设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表达式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由已知，，…可得用数学归纳法加以证明；（Ⅱ）由已知得到ln（1+x）≥恒成立构造函数φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），利用导数求出函数的最小值即可；（Ⅲ）在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则，n依次取1，2，3…，然后各式相加即得到不等式．【解答】解：由题设得，（Ⅰ）由已知，，…可得下面用数学归纳法证明．①当n=1时，，结论成立．②假设n=k时结论成立，即，那么n=k+1时，=即结论成立．由①②可知，结论对n∈N+成立．（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥恒成立．设φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），则φ′（x）=，当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0，a=1时取等号成立），∴φ（x）在[0，+∞）上单调递增，又φ（0）=0，∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．∴当a≤1时，ln（1+x）≥恒成立，（仅当x=0时等号成立）当a＞1时，对x∈（0，a﹣1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1]上单调递减，∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0即当a＞1时存在x＞0使φ（x）＜0，故知ln（1+x）≥不恒成立，综上可知，实数a的取值范围是（﹣∞，1]．（Ⅲ）由题设知，g（1）+g（2）+…+g（n）=，n﹣f（n）=n﹣ln（n+1），比较结果为g（1）+g（2）+…+g（n）＞n﹣ln（n+1）证明如下：上述不等式等价于，在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则故有，ln3﹣ln2，…，上述各式相加可得结论得证．21.在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）利用cos2α+sin2α=1消参数得到C1的普通方程，将极坐标方程左侧展开即可得