第十一章结构的极限荷载详解课件

§11-1概述材料力学内容回顾:弹性分析法（容许应力法）——结构内实际最大应力——材料容许应力——安全系数对塑性材料制成的结构不经济第十一章结构的极限荷载——极限应力强度极限（脆性）屈服极限（塑性）结构正常使用条件下弹性计算能给出足够准确的结果。利用弹性计算结果，以容许应力为依据确定截面的尺寸或进行强度验算，就是弹性分析法(弹性设计法)。弹性设计法有一定的缺陷：对塑性材料的结构，特别是超静定结构，当最大应力达到屈服极限时，甚至某些截面进入屈服时，并没有耗尽全部承载能力。弹性设计没有考虑材料超过屈服极限后结构的这部分承载力，因而弹性设计是不够经济合理的。第十一章结构的极限荷载第十一章结构的极限荷载为进一步挖掘结构的承载能力，给达到弹性极限的结构继续施加同样形式的荷载，使结构进入塑性阶段,直至丧失承载能力,结构破坏。此时结构所能承受的最大荷载叫作极限荷载，结构即将达到破坏时的状态称作极限状态，按极限状态进行结构设计的方法称塑性设计法(塑性分析法、极限应力法)。换句话说：塑性分析法（极限应力法）

极限荷载——结构在极限状态时所能承受的荷载。强度条件：—安全系数—实际荷载—极限荷载问题：按塑性分析设计与按弹性分析设计相比，在结构破坏时，何者的应力大？将结构进入塑性阶段并丧失承载能力时的状态，作为结构破坏的标志，称为极限状态。4材料的本构关系（应力—应变关系）塑性金属线性强化理想弹塑性刚线性强化刚塑性第十一章结构的极限荷载

塑性分析的基本假定:假定材料具有相同的拉、压力学性能以及理想弹塑性的本构关系（应力-应变关系）。假定结构上的荷载参数按同一比例单调增加，称比例加载。假定在弹塑性阶段各横截面变形始终保持为平截面。第十一章结构的极限荷载所谓理想弹塑性材料假设

在OA段线性，满足=E在AB段应力达到屈服，材料进入塑性流动；在C点卸载，满足=E可见，加载时是弹塑性，卸载时是弹性。经历塑性变形后，应力-应变关系不再是单值关系。OACBD第十一章结构的极限荷载§11-2基本概念（极限弯矩、塑性铰及破坏机构）对结构进行全面的塑性分析是比较复杂的在弹性阶段，材料服从虎克定律；在塑性阶段，尚须确定加载状态还是卸载状态。因为不同状态采用不同的应力-应变关系；弹塑性区域的分界线还随加载过程不断变化，结构的变形不仅与当前的应力状态有关，还与加载历史有关。本章仅限于计算极限荷载。第十一章结构的极限荷载以纯弯曲状态分析为例：随着弯矩的增大，梁会经历一个由弹性阶段到弹塑性阶段最后达到塑性流动阶段的过程。中性轴(形心轴)§11-2基本概念（极限弯矩、塑性铰及破坏机构）第十一章结构的极限荷载弹性阶段弹塑性阶段塑性流动阶段第十一章结构的极限荷载屈服弯矩：W

弯曲(弹性抗弯)截面系数

弹性阶段结束的标志是最外纤维某处应力达到屈服极限s，此时的弯矩称屈服弯矩。第十一章结构的极限荷载弹塑性阶段，截面上既有塑性区又有弹性区（弹性核y0）。随弯矩增大，弹性核逐渐减小。第十一章结构的极限荷载塑性流动阶段，弹性核趋于零时，整个截面都屈服，此时截面所能承受的最大弯矩称极限弯矩：中性轴等分截面积

极限弯矩：（Ws

塑性抗弯截面系数）

第十一章结构的极限荷载截面形状系数：矩形=1.5

圆形

=1.7

工字形

1.15

薄壁圆环形

1.3历程：加载初期→弹性极限荷载→塑性区扩大→形成塑性铰（机构）→极限荷载

下面介绍一下塑性铰的概念：第十一章结构的极限荷载当截面达到塑性流动阶段，在极限弯矩保持不变的情况下，两个无限靠近的相邻截面可以产生相对转角，类似带铰的截面，称此截面为塑性铰。在简化分析中认为塑性区仅集中在塑性铰截面，杆件的其它区段都是弹性的。塑性铰只能沿极限弯矩方向发生转动；由理想弹塑性假设知，一旦截面弯矩减小，截面立即恢复弹塑性或弹性状态，塑性铰即告消失，因此，塑性铰是单向铰。普通铰和塑性铰的异同：都可产生绕铰的相对转动；普通铰在转动过程中不能传递、承受弯矩，而塑性铰能承受对应截面的极限弯矩；普通铰为双向铰，塑性铰为单向铰。破坏机构：当结构出现若干塑性铰而成为几何可变或瞬变体系时，称为破坏机构（简称机构）。此时，结构已丧失了承载能力，即达到了极限状态。第十一章结构的极限荷载杆件平面弯曲的中性轴并非对称轴情况：形心轴等分面积轴在弹性阶段，应力直线分布，中性轴通过截面形心；在弹塑性阶段，随弯矩增大中性轴的位置发生变化；在塑性流动阶段，中性轴平分截面面积（受拉区面积等于受压区面积）。

纯弯梁由弹性到塑性的过程分析：等分面积轴形心轴---弹性弹塑性屈服弯矩Ms塑性极限弯矩Mu纯弯梁由弹性到塑性的过程分析：极限荷载Fu-弹性17非纯弯、双对称轴截面梁的情况:实验和理论分析结果都表明，对于细长梁，切向应力对极限承载力影响很小，可不予考虑。例如简支梁M截面出现塑性铰18破坏机构—结构由于出现塑性铰而变成瞬变或可变时的体系。静定梁，塑性铰出现在弯矩（绝对值）最大处。ABF1）普通铰不能承受弯矩，塑性铰能承受塑性铰——能承受弯矩并能单方向转动的铰。塑性铰与普通铰的区别：2）普通铰为双向铰，塑性铰为单向铰。强调：

？

若梁的左半部分截面高度增加一倍（变截面梁），塑性铰出现在何处？塑性铰位置19例题1静定梁的极限荷载

(P4-5)塑性铰将在弯矩最大的跨中截面形成，由极限静力平衡条件：ABFABFu静定梁只要出现一个塑性铰，结构就变为机构而丧失继续承载能力；§11-3单跨梁的极限荷载（极限平衡法）第十一章结构的极限荷载例题2集中力作用下单跨超静定梁的极限荷载

超静定梁由于有多余约束，必须出现足够多的塑性铰才能使结构变成机构而丧失继续承载能力。弹塑性阶段，A点形成塑性铰。随荷载继续加大弯矩图的变化不再与弹性弯矩图成比例。增量弯矩图类似简支梁弯矩图。ABFCFe<F<Fu弹性阶段，A点弯矩最大Fe为弹性阶段的外力F≤Fe第十一章结构的极限荷载根据极限状态的弯矩图，由静力平衡方程推算极限荷载：

亦可由虚功原理利用极限状态计算。

塑性阶段，A、C点形成塑性铰。梁形成机构，其承载能力达到极限。AC静力法机动法Fu第十一章结构的极限荷载例题3求均布荷载作用下超静定梁的极限荷载

(P7)ABCql当梁处于极限状态时，有一个塑性铰在固端A生成，另一个塑性铰C位置待定，可应用极小定理确定。ABCxABx解：由可得设另一塑性铰距B

为x，则根据微分关系再由解法一：静力法24第十一章结构的极限荷载ABCqulxABCql解法二：机动法ABCx第十一章结构的极限荷载由虚功方程得由几何关系得：令（舍去增根）ABCxABCql第十一章结构的极限荷载结构极限荷载计算特点：无须考虑结构弹塑性变形的发展过程，只需分析最后的破坏机构(Collapsemechanism);

无须考虑变形协调条件，只需考虑静力平衡条件；因此比弹性计算简单。

温度改变、支座移动等外因只影响结构弹塑性变形的过程，并不影响极限荷载值。书上P6例题12-1，自己做一下。§11-4

比例加载时的若干定理比例加载：是指作用于结构上的各个荷载增加时，始终保持它们之间原有的固定比例关系，且不出现卸载现象。此时，所有荷载都包含一个公共参数F，称为荷载参数，因此确定极限荷载实际上就是确定极限状态时的荷载参数的极限值Fu。例如：第十一章结构的极限荷载求极限荷载相当于求P的极限值Pu。§11-4

比例加载时的若干定理结构达极限状态时应该满足以下条件：平衡条件

结构整体或任何部分均应是平衡的。内力局限条件(屈服条件)

极限状态时结构中任一截面弯矩绝对值不可能超过其极限弯矩Mu，亦即|M|≤Mu

。单向机构条件

结构达极限状态时，对梁和刚架必定有若干（取决于具体问题）截面出现塑性铰，使结构变成沿荷载作正功方向能作单向运动的机构（也称破坏机构）。29第十一章结构的极限荷载定义满足单向机构条件和平衡条件的荷载称可破坏荷载，记作F+满足内力局限条件和平衡条件的荷载称可接受荷载，记作F－§11-4

比例加载时的若干定理由于极限状态同时须满足上述三条件，故可知，极限荷载既是可接受荷载，又是可破坏荷载。第十一章结构的极限荷载定理：基本定理可接受荷载恒小于可破坏荷载，F－F+（证明参见书P9，略）唯一性定理结构的极限荷载是唯一的（只有一个确定值）极小定理极限荷载是所有可破坏荷载中的最小者（即可破坏荷载是极限荷载的上限）：Fu=min{F

+}极大定理极限荷载是所有可接受荷载中的最大者（即可接受荷载是极限荷载的下限）：Fu=max{F

-}教材上有证明请大家自学！§11-5计算极限荷载的穷举法和试算法第十一章结构的极限荷载列出所有可能的破坏机构，用平衡条件或虚功原理求出这些破坏机构对应的可破坏荷载，其中最小者即是极限荷载。穷举法（机构或机动法）：每次任选一种破坏机构，由平衡条件或虚功原理求出相应的可破坏荷载，再检验是否满足内力局限性条件；若满足，该可破坏荷载即为极限荷载；若不满足，另选一个破坏机构继续试算，直至满足。试算法：极小定理的应用唯一性定理的应用例1：试求图示变截面单跨超静定梁的极限荷载。虚功法的虚功方程为:时，其可能的极限状态Ⅰ和虚位移图如下所示:当时，

33虚功法的虚功方程为：时，其可能的极限状态Ⅱ和虚位移图如下所示：当时，A、B、D都为塑性铰

自学P10例题12-334例2：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu

。Pl/3l/3Pl/3解：1.用穷举法求解共有三种可能的破坏机构：§11-5计算极限荷载的穷举法和试算法第十一章结构的极限荷载35Pl/3l/3Pl/3（1）A、B出现塑性铰（2）A、C出现塑性铰（3）B、C出现塑性铰第十一章结构的极限荷载36PP解：（1）选A、B出现塑性铰形成的破坏机构2.用试算法求解由作出的弯矩图可见，C截面不满足内力局限性条件。（2）选A、C出现塑性铰形成的破坏机构由作出的弯矩图可见，满足内力局限性条件。第十一章结构的极限荷载37§11-6连续梁的极限荷载当各跨分别为等截面梁，所有荷载方向均相同（通常向下）时，只可能出现某一跨单独破坏的机构，不可能跨跨联合破坏。因此，对于连续梁，只需将各跨单独破坏时的荷载分别求出，然后取其中最小者，便是连续梁的极限荷载。第十一章结构的极限荷载38第十一章结构的极限荷载例题有3跨连续梁，每跨内是等截面梁，但各跨的极限弯矩不同，所受荷载均指向下方。试证明此连续梁的极限荷载是每个单跨破坏机构中最小者。连续梁只可能在各跨独立形成破坏机构，而不能由相邻几跨联合形成一个破坏机构。弹性状态弯矩图ABCFP1FP2FP3ABCFP1FP2FP3第十一章结构的极限荷载关于连续梁极限荷载对应单跨破坏机构的解释不可能的破坏机构形式显然由于它们都不满足内力局限条件（塑性铰沿极限弯矩方向产生）。

ABCFP1FP2FP3ABCFP1FP2FP3第十一章结构的极限荷载关于连续梁极限荷载对应单跨破坏机构的解释可能的破坏机构形式ABCFP1FP2FP3ABCFP1FP2FP3ABCFP1FP2FP3第十一章结构的极限荷载FP1=1pFP2=2pFP3=3pp按比例单调增长有n种可能破坏机构形式，对应n种可破坏荷载p1+，p2+

pn+，用唯一性定理证明其中最小的一个pk+是极限荷载。显然pk+是可破坏荷载，在pk+的作用下有可能存在一个可接受的弯矩图，弯矩图上任意一个截面的绝对值均不超过本截面的极限弯矩。第十一章结构的极限荷载事实上，这样的弯矩图是存在的。例如，可设各支座弯矩等于极限弯矩（相邻跨极限弯矩中最小的一个），根据平衡条件绘制各跨弯矩图。由于pk+是所有可破坏荷载中最小的，所以任意截面