第八章第1节向量极其线性运算教学课件

第一节、向量及其线性运算第三节、曲面及其方程第8章本章内容：第二节、数量积向量积*混合积第八章空间解析几何与向量代数第四节、空间曲线及其方程第五节、平面及其方程第六节、空间直线及其方程1四、利用坐标作向量的线性运算第一节一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影向量及其线性运算第8章2表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1

M2,或a,如：力、力矩、位移、速度、加速度（简称向量）（几何上为有向线段的长度）其方向是任意的3规定:零向量与任何向量平行；若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,a∥b；与a的模相同,但方向相反的向量称为a的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.记作－a;4二、向量的线性运算1.向量的加法(2)三角形法则:(1)平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.562.向量的减法三角不等式两向量与的差为73.向量与数的乘法是一个数,规定:可见与

a

的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律分配律因此8定理1.

设a为非零向量,则(为唯一实数)a∥b例1.设M为解:ABCD对角线的交点,（证明略）94、数轴上的点、向量、实数之间的关系数轴:给定了原点方向和单位长度的直线。由于一个单位向量即确定了方向，又确定了单位长度因此，只要给定了原点和一个单位向量就确定了一个数轴。轴由原点和单位向量所确定在轴上任取一点对应有向量对应由实数（坐标）10ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.

坐标原点

坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点o,

坐标面

卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念Ⅰ11向径在直角坐标系下坐标轴上的点P,Q,R；坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标:有序数组(称为点M的坐标)原点O(0,0,0)；12坐标轴:坐标面:132.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点M

则沿三个坐标轴方向的分向量.的坐标为此式称为向量r的坐标分解式,任意向量r可用向径OM

表示.有序数称为向量的坐标，记为14四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:15五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得得两点间的距离公式对两点与16对上面两点记令称为向量在三个坐标轴上的分向量为向量在三个坐标轴上的投影。与则172.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)为向量

的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴正向的夹角,,为其方向角.方向角的余弦称为方向余弦.

记作18方向余弦的性质:19例2.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量203、向量在轴上的投影1）点

在轴上的投影过点作一平面垂直于轴,平面与轴的交点为则称为点在轴上的投影。2）向量在轴上的投影设点在轴上的投影分别是则在轴上的有向线段的值称为轴上的投影。在记为21

3)向量与轴的夹角设空间有一向量4)投影定理等于向量的模乘以向量与轴之间的夹角的余弦，即例如：22说明：投影为正；投影为负；投影为零；(4)相等向量在同一轴上投影相等；23解设向量的方向角为例3设向量已知它与轴和轴的夹角分别为如果点的坐标为求点的坐标。2425例4解:因1).设求向量在

轴上的投影及在

轴上的分向量.故在

轴上的投影为在

轴上的分向量为262).设求以向量行四边形的对角线的长度.该平行四边形的对角线的长度各为对角线的长为解：为边的平27例5：一向量与轴组成的角是它们的两倍,确定这向量的方向。解：先求方向余弦，再求方向角。又又或或28向量的概念向量的加减法向量与数的乘法（注意与标量的区别）（平行四边形法则）（注意数乘后的方向）四、小结向量在轴上的投影与投影定理