积分变换的预备知识课件

第六章积分变换的预备知识

本章介绍几个以后经常要用到的典型的函数，以及函数的卷积和序列的卷积.

1单位阶跃函数2矩形脉冲函数§6.1几个典型函数

3d函数Otu(t).Otu(t)6.1.1单位阶跃函数函数)定义为显然,u(t)在t=0处从0跃变为1.延迟t0的阶跃函数为

单位阶跃函数(简称阶跃函数,又称Heaviside利用阶跃函数可以将分段函数用一个表达式表示.例如设于是可以用阶跃函数表示为6.1.2矩形脉冲函数宽度为t,幅度为的矩形脉冲函数为otE...6.1.3d函数

在物理学和工程技术中,除了连续分布量之外，还有集中作用在一点的量.例如，点电荷、点热源、质点、单位脉冲等.下面分析在原点处分布单位质量的情况.如果一单位质量的物质均匀分布在原点的闭邻域[-e,e]之内,这时[-e,e]内的每一点的密度很自然,原点处分布单位质量的质点情形可认为是上述情形当时的极限,并用d(x)表示密度分布的极限.在直观上可以看作根据密度的定义，密度函数在区间内的积分应该是在此区间上分布的总质量.因此，应有

针对这类问题,20世纪30年代,英国物理学家Dirac引进了满足以上性质的“函数”,称为“d函数”,并且要求对任何连续函数f(x),都有

但是,从古典意义下的函数积分概念来看,这些都是不合理的.因为不是确定的数,它表明变量

的变化趋势,所以,d(0)=+无意义.而积分值与函数在个别点的值无关,这样,除一点外,处处为零的函数积分也应为零.从而,d函数的上述性质在古典意义下都不可能成立,也是不合理的.因此,在很长一段时期,d函数没有被数学家们接受.但以Dirac为代表的物理学家们继续使用这个“怪”函数.因为

这个结论完全符合物理实验的结果,物理学家们觉得它是一个“很好用”的有力工具.直到20世纪50年代，法国数学家L.Shwartz建立了广义函数的理论.在他

的理论中，d函数已不是通常意义下的函数,而属于更广泛意义下的函数,从而为d函数建立了坚实的理论基础,并且也使得这一类函数在数学的其他分支、物理学及其他工程技术中得到了广泛应用.这些理论的建立是以泛函分析为基础的,下面仅作简单概括的介绍.d函数不是通常意义下的函数，而是满足一定条件下的函数在新的意义下的极限,这类极限称为弱极限.设是当时,在上可积的函数，并且对任何无穷可微的函数f(x),有特别地，当时，满足这些条件的函数称为d逼近函数.d函

数d(x)就是这类d逼近函数的弱极限.所谓弱极限,就是对任何无穷可微函数f(x),由极限式所确定的新的元素,把这样的新元素记为d(x),并且规定d(x)的积分(已不是通常意义下的积分)为

除了上面已提到过的函数外,还有很多不同的d逼近函数，例如

等都是d逼近函数，其弱极限都是d(x).d(x)是具有以下性质的广义函数(d函数又称为单位脉冲函数,或称为Dirac函数)：(1)即d函数是偶函数.(2)特别地，其中f(x)是任意连续函数.更一般地(3)d(x)是无穷可微函数,其导函数也是广义函数,使得对任意无穷可微函数f(x),有

(4)其中u(t)是单位

阶跃函数.§6.2卷积的概念与性质

1函数的卷积2序列的卷积6.2.1函数的卷积定义6.1设函数和都是上的绝对可积函数,积分称为函数和在区间上的卷积.记为或,即如果t<0时,则卷积变为这是上的卷积公式.例6.1求和在上的卷积.解由上的卷积公式卷积具有下面一些性质(这里假定所有的广义积分均收敛,并且允许积分交换次序):(1)交换律

证明由卷积的定义令则并且(2)分配律

证明由卷积的定义(3)结合律

证明由卷积的定义令则并且再交换积分次序可得(4)与单位脉冲函数的卷积设f(t)是上的连续函数,则证明由卷积的定义以及d函数的性质可得

6.2.2序列的卷积定义6.2设和是两个无限序列,并且和均绝对收敛.序列称为序列和的卷积.记为或即在工程中常用有限序列的卷积.设

是两个有限序列,记做这里正整数N1和N2分别叫做序列和的

序列长度,n1和n2是整数.在序列的卷积公式中,当或时,取得到有限序列和的卷积公式为其中当或时,取显然此时序列的长度为并且卷积序列可由下面阶的卷积矩阵

次对角线方向上的元素之和给出,即容易验证,序列的卷积同样满足交换律、分配律和结合律.例6.2设求卷积写出下面的43阶卷积矩阵

卷积的序列长度为4+3-1=6.所以本章主要内容函数卷积序列卷积单位阶跃函数矩形脉冲函数

d函数几个典型函数交换率分配率结合率本章的重点2.函数的卷积和序列的卷积1.

几个典型的函数第六章完PaulAdrienMauriceDirac

(1902.8.8–1984.10.20)英国数学家和理论物理学家.首先学习电力工程专业,后来学习数学,在剑桥大学获得博士学位.1932年至1969年任剑桥大学数学教授,英国皇家学会会员,1933年获Nobel物理学奖,1971年任美国佛罗里达州立大学教授.他是量子力学的创立者之一,建立Dirac方程,曾预言存在正电