(通用版)2021高考数学二轮复习第二篇第12练数列的综合问题课件文

第二篇重点专题分层练，中高档题得高分第12练数列的综合问题[中档大题标准练]第二篇重点专题分层练，中高档题得高分第12练数列的综合问明晰考情1.命题角度：考察等差数列、等比数列的判定与证明；以an，Sn的关系为切入点，考察数列的通项、前n项和等；数列和函数、不等式的综合应用；一般位于解答题的17题位置.2.题目难度：中等偏下难度.明晰考情核心考点突破练栏目索引模板答题标准练核心考点突破练栏目索引模板答题标准练考点一等差数列、等比数列的判定与证明方法技巧判断等差(比)数列的常用方法核心考点突破练(2)中项公式法.(3)通项公式法.考点一等差数列、等比数列的判定与证明方法技巧判断等差(比1.数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数.(1)证明：an＋2－an＝λ；证明由题设知，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.证明1.数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，ana(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由.解由题设知，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得数列{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；数列{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列.解答(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由.解由2.数列{an}满足a1＝2，且an＋1＝2an＋2n＋1，n∈N*.解把an＝2nbn代入到an＋1＝2an＋2n＋1，得2n＋1bn＋1＝2n＋1bn＋2n＋1，两边同除以2n＋1，得bn＋1＝bn＋1，即bn＋1－bn＝1，∴bn＝n(n∈N*).解答2.数列{an}满足a1＝2，且an＋1＝2an＋2n＋1，(2)在(1)的条件下，求数列{an}的前n项和Sn.∴Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，∴2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，两式相减，得－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝(1－n)×2n＋1－2，∴Sn＝(n－1)×2n＋1＋2(n∈N*).解答(2)在(1)的条件下，求数列{an}的前n项和Sn.∴Sn3.设数列{an}的前n项和为Sn，且首项a1≠3，an＋1＝Sn＋3n(n∈N*).(1)求证：{Sn－3n}是等比数列；证明∵an＋1＝Sn＋3n，∴Sn＋1＝2Sn＋3n，∴Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n).∵a1≠3，∴数列{Sn－3n}是首项为a1－3，公比为2的等比数列.证明3.设数列{an}的前n项和为Sn，且首项a1≠3，an＋1解答(2)假设{an}为递增数列，求a1的取值范围.解由(1)得，Sn－3n＝(a1－3)×2n－1.∴Sn＝(a1－3)×2n－1＋3n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a1－3)×2n－2＋2×3n－1.∵{an}为递增数列，∴当n≥2时，(a1－3)×2n－1＋2×3n>(a1－3)×2n－2＋2×3n－1，∴a1>－9.∵a2＝a1＋3>a1，∴a1的取值范围是(－9，＋∞).解答(2)假设{an}为递增数列，求a1的取值范围.解由(考点二数列的通项与求和方法技巧

(1)根据数列的递推关系求通项的常用方法①累加(乘)法形如an＋1＝an＋f(n)的数列，可用累加法；考点二数列的通项与求和方法技巧(1)根据数列的递推关系求②构造数列法(2)数列求和的常用方法①倒序相加法；②分组求和法；③错位相减法；④裂项相消法.②构造数列法(2)数列求和的常用方法4.数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝2Sn＋1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；解当n＝1时，a1＝2S1＋1＝2a1＋1，解得a1＝－1.当n≥2时，由an＝2Sn＋1，得an－1＝2Sn－1＋1，两式相减得an－an－1＝2an，化简得an＝－an－1，所以数列{an}是首项为－1，公比为－1的等比数列，那么可得an＝(－1)n.解答4.数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝2Sn＋1(n(2)假设bn＝(2n－1)·an，求数列{bn}的前n项和Tn.解由(1)得bn＝(2n－1)·(－1)n，当n为偶数时，Tn＝－1＋3－5＋7－9＋11－…－(2n－3)＋(2n－1)＝2×＝n，当n为奇数时，n＋1为偶数，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝(n＋1)－(2n＋1)＝－n.所以数列{bn}的前n项和Tn＝(－1)n·n.解答(2)假设bn＝(2n－1)·an，求数列{bn}的前n项和(1)求数列{bn}的通项公式；解答(1)求数列{bn}的通项公式；解答(通用版)2021高考数学二轮复习第二篇第12练数列的综合问题课件文解答(2)设Sn＝a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan＋1，求Sn.所以Sn＝a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan＋1解答(2)设Sn＝a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan6.设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.(1)求数列{an}的通项公式；解由，当n≥2时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.所以an＝22n－1，而a1＝2，也满足上式，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.解答6.设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－解答(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.解由bn＝nan＝n·22n－1知，Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1，

①22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1，

②①－②，得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，解答(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.解考点三数列的综合问题方法技巧(1)以函数为背景的数列问题，一般要利用函数的性质或图象进展转化，得出数列的通项或递推关系.(2)数列是特殊的函数，解题时要充分利用函数的性质解决数列问题，如数列中的最值问题.(3)解决数列与不等式综合问题的常用方法有比较法(作差法、作商法)、放缩法等.考点三数列的综合问题方法技巧(1)以函数为背景的数列问题7.f(x)＝2sinx，集合M＝{x||f(x)|＝2，x＞0}，把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{an}，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；解答解

因为|f(x)|＝2，又因为x>0，所以an＝2n－1(n∈N*).7.f(x)＝2sinx，集合M＝{x||f(x)|＝证明证明由①得q2－3q＋2＝0，解得q＝1或q＝2.当q＝1时，不满足②式，舍去；当q＝2时，代入②得a1＝2，所以an＝2·2n－1＝2n.故所求数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*).8.等比数列{an}满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式；解设等比数列{an}的公比为q，依题意，解答由①得q2－3q＋2＝0，解得q＝1或q＝2.8.等比数列{即n2＋n－90>0，解得n>9或n<－10(舍).因为n∈N*，所以使Sn－2n＋1＋47<0成立的正整数n的最小值为10.解答(2)假设bn＝an＋log2，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn－2n＋1＋47<0成立的n的最小值.所以Sn＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n－n＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)即n2＋n－90>0，解得n>9或n<－10(舍).解答(29.数列{an}中，a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*).(1)写出a2，a3的值(只写出结果)，并求出数列{an}的通项公式；解a2＝6，a3＝12，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋2×2＋2×3＋…＋2n＝2(1＋2＋3＋…＋n)＝n(n＋1).因为当n＝1时，a1＝2也满足上式，所以an＝n(n＋1).解答9.数列{an}中，a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥解答解答所以bn＋1<bn，那么数列{bn}是递减数列，所以bn＋1<bn，那么数列{bn}是递减数列，解得t<0或t>2，所以实数t的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞).解得t<0或t>2，模板答题标准练模板体验典例(12分)单调递增的等比数列{an}满足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式；(2)假设bn＝，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n×2n＋1＞30成立的正整数n的最小值.模板答题标准练模板体验典例(12分)单调递增的等比数列{a审题路线图审题路线图标准解答·评分标准解(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.由题意知2(a3＋2)＝a2＋a4，代入a2＋a3＋a4＝28，可得a3＝8，所以a2＋a4＝20，又数列{an}单调递增，所以q＝2，a1＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.

5分标准解答·评分标准又数列{an}单调递增，所以q＝2，a1＝(2)因为bn＝

＝－n×2n，

6分所以Sn＝－(1×2＋2×22＋…＋n×2n)，2Sn＝－[1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1]，两式相减，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝2n＋1－2－n×2n＋1.

8分又Sn＋n×2n＋1＞30，可得2n＋1－2＞30，即2n＋1＞32＝25，

10分所以n＋1＞5，即n＞4.所以使Sn＋n×2n＋1＞30成立的正整数n的最小值为5. 12分(2)因为bn＝构建答题模板[第一步]

求通项：根据题目条件，列方程(组)求解，得到数列的通项公式.[第二步]

巧求和：根据数列的类型，选择适当方法求和或经适当放缩后求和.[第三步]

得结论：利用不等式或函数性质求证不等式或解决一些最值问题.构建答题模板1.(2021·全国Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式；标准演练解设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N*).解答1.(2021·全国Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝(2)记Sn为{an}的前n项和，假设Sm＝63，求m.解答由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解.假设an＝2n－1，那么Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.(2)记Sn为{an}的前n项和，假设Sm＝63，求m.解答∴b2＝2，∴d＝1，∴bn＝1＋(n－1)·1＝n.2.(2021·上饶模拟)数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝1－，数列{bn}为等差数列，且a2(b2＋2)＝1，a1b1＝(1)分别求数列{an}和{bn}的通项公式；解答∴b2＝2，∴d＝1，∴bn＝1＋(n－1)·1＝n.2.((2)求数列{anbn}的前n项和Tn.解答(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.解答3.等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项.(1)求数列{an}的通项公式；解答解由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，整理得2a1d＝d2.∵a1＝1，d>0，∴d＝2.∴an＝2n－1(n∈N*).3.等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第解答解答(通用版)2021高考数学二轮复习第二篇第12练数列的综合问题课件文