《四边形面积二等分问题》课件

四边形面积二等分问题四边形面积二等分问题对于任意四边形ABCD，如图。MN

我们可以任作一条直线MN交四边形的两边于M、N两点，则直线MN把四边形ABCD分成两部分。现在把直线MN向右平移细心的你一定会发现：开始时是左边的面积较小，后来是右边的面积较小，在此过程中，必存在一个位置，直线MN移动到此位置时，把四边形ABCD分成面积相等的左、右两部分。如何找到这个位置?请往下看。对于任意四边形ABCD，如图。MN我们可以任作一条直线如图，已知任意四边形ABCD，求作一条直线把四边形分成面积相等的两部分。（1）连结AC;解：（3）取AC的中点E,（2）连结BD,（5）连结DF.则直线DF把四边形ABCD分成面积相等的两部分。BADCEF（4）作EF∥BD

交BC于点F；

●如图，已知任意四边形ABCD，求作一条直线把四边形分成面积相连结BE、DE,交点为G;证明：S△ABE

=S△ACE

∴E

为AC的中点,∵S△ADE

=S△DCE

∴S△ABE

+S△ADE

=S△ACE+S△DCE

EF∥BD∵∴S△BDF

=S△BDE

S△BGF=

S△DGE

∴∴S四边形BADG+S四边形BADG+S△BGF=

S△DGE

S五边形BADEF=S四边形DCFE=∴S四边形ABCD=S五边形BADEF=S四边形BADFS四边形ABCD∴∴直线DF把四边形ABCD分成面积相等的两部分。连结BE、DE,交点为G;证明：S△ABE=S△ACE

已知任意四边形ABCD，求作一条直线把四边形分成面积相等的两部分。

因为四边形是任意四边形，所以，我们不妨可以先考虑特殊四边形，分三种情况:（1）对角线互相平分的四边形，如图（1）：

此时，由于四边形是中心对称图形，所以，过对角线交点的任意一条直线都可以把四边形分成面积相等的两部分已知任意四边形ABCD，求作一条直线把四边形分成（2）一条对角线过另一条对角线的中点的四边形，

四边形ABCD中，P为AC的中点，Q为BD的中点，P、Q不重合。此时BD平分四边形ABCD。如图（2）：注意:左图BD>AC,右图BD<AC。（2）一条对角线过另一条对角线的中点的四边形，四边形AB在这两个图中，除了BD,CE、AF也都能平分四边形ABCD.

现在的问题是：能不能过四边形ABCD的边上的任意一点作直线，把四边形ABCD分成面积相等的两部分？在这两个图中，除了BD,CE、AF也都能平分四边形ABCD.

答案是肯定的。过A、B、C、D、E、F肯定能做自不必说了。A、B、C、D、E、F之外呢？

过四边形ABCD的边上的任意一点R求作直线RS，把四边形ABCD分成面积相等的两部分。答案是肯定的。过A、B、C、D、E、F肯定能做自不必（1）（2）连结RC，作ES∥RC交CD于S，连结RS，如图（1）。则RS即为所求。连结RD，作BS∥RD交CD于S，连结RS，如图（2）。则RS即为所求。此为R在E、B之间时，S必在C、D之间。（1）（2）连结RC，作ES∥RC交CD于S，连结RS，如图（1）（2）

此为R在F、B之间时，S必在A、D之间。连结RD，作BS∥RD交AD于S，连结RS，如图（1）。则RS即为所求。连结RD，作BS∥RD交AD于S，连结RS，如图（2）。则RS即为所求。（1）（2）此为R在F、B之间时，S必在A、D之间。（1）（2）

当R在F、C之间时，S必在A、E之间。连结RA，作FS∥RA交AB于S，连结RS，如图（1）。则RS即为所求。连结RE，作CS∥RE交AB于S，连结RS，如图（2）。则RS即为所求。（1）（2）当R在F、C之间时，S必在A、E之间。连

综上所述，一条对角线过另一条对角线的中点的四边形，过每一个顶点都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。这样的直线共三条，这三条直线把四边形的边分成六条线段。过这六条线段中每条线段上的每一点都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。所以，过这样的四边形的边上的任意一点都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。综上所述，一条对角线过另一条对角线的中点的四边形，过每

（3）对角线都不过另一条对角线的中点的四边形如图（3）：四边形ABCD中，P为BD的中点，Q为AC的中点。（3）对角线都不过另一条对角线的中点的四边形

由例题可知：过四边形的每个顶点都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分，这样的直线有四条。这四条直线把四边形的边分成八条线段，且每条直线都把原四边形分成一个三角形和一个小四边形。图（3）中的AE、BF、CG、DH都能把四边形ABCD分成面积相等的两部分

过四边形ABCD的边上的任意一点R求作直线RS，把四边形ABCD分成面积相等的两部分。由例题可知：过四边形的每个顶点都有一条直线把四边连结RD，作HS∥RD交CD于S，连结RS，如图（3）则RS即为所求。当点R在B、H之间时，点S必在F、D之间，R从B移动到H时，S从F移动到D。连结RD，作HS∥RD交CD于S，连结RS，如图（3）当点R连结RD，作HS∥RD交CD于S，连结RS，如图（3）则RS即为所求。当点R在H、E之间时，点S必在D、A之间，R从H移动到E时，S从D移动到A。连结RD，作HS∥RD交CD于S，连结RS，如图（3）当点R连结RA，作ES∥RA交AB于S，连结RS，如图（3）则RS即为所求。当点R在E、C之间时，点S必在A、G之间，R从E移动到C时，S从A移动到G。连结RA，作ES∥RA交AB于S，连结RS，如图（3）当点R连结RG，作CS∥RG交AB于S，连结RS，如图（3）则RS即为所求。当点R在C、F之间时，点S必在G、B之间，R从C移动到F时，S从G移动到B。连结RG，作CS∥RG交AB于S，连结RS，如图（3）当点R

此时我们会发现线段CF和线段GB长度不一定相等，但两条线段上的点却存在一一对应的关系，这属于数学中引进无限的概念以后引发的一个新的悖论。这个问题有待于人们进一步去研究，在这里就不讨论了。

综上所述没有一条对角线过另一条对角线的中点的四边形，过每一个顶点都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。这样的直线共四条，这四条直线把四边形的边分成八条线段。过这八条线段中每条线段上的每一点都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。所以，过这样的四边形的边上的任意一点都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。此时我们会发现线段CF和线段GB长度不一定相等，

我要说明的是：过四边形的边上的任意一点都能作一条直线把四边形分成面积相等的两部分。为了作出这样的直线，只要先作出过顶点且能把四边形面积二等分的四条直线及其与四边形的边的交点，弄明白这些交点把四边形的边分成了哪些线段，然后确定所给的任意点所在的线段，再就近构造梯形，（这个梯形一定要以四边形的一个顶点与过这个顶点且能把四边形面积二等分的直线与四边形的边的交点所连的线段为一条对角线，而所求作的直线就是过已知的任意点的梯形的另一条对角线所在的直线。）最后，画出梯形的另一条对角线就是所求我要说明的是：过四边形的边上的任意一点都能作一条直线现在做个练习：如图，已知任意五边形ABCDE，求作直线AF，把五边形ABCD分成面积相等的两部分。现在做个练习：如图，已知任意五边形ABCDE，求作直线AF，解：如图：取BE的中点O,连结AO;连结CE取CE的中点P，过点