自由液体薄膜的一个数学模型课件

圆柱（球）绕流的典型流动图案与Re的关系，失阻现象湍流的其他实例圆柱绕流Re=0.16圆柱绕流Re=9.6圆柱绕流Re=26圆柱绕流Re=105(卡门涡街)圆柱绕流Re=2000（层流边界层）层流边界层和湍流边界层层流边界层和湍流边界层的速度剖面层流边界层和湍流边界层的摩擦系数湍流的基本特性随机性——不规则的随机脉动扩散性——高效混合有涡性——不同尺度的三维涡旋耗散性——湍流消耗很多能量

2.湍流的统计平均方法时间平均，空间平均整体平均在各态遍历假设下，以上3种平均是等价的。各态遍历假设：一个随机变量在许多个相同的实验中或一个实验重复多次时出现的所有可能状态，能够在一次实验的相当长的时间或相当大的空间范围内，以相同的概率出现。平均化运算法则平均量+脉动量注意：脉动量未必小于平均量！关于统计平均方法的说明（是否可以对描述湍流运动的所有物理量均采用相同的平均化方法？）

3.Reynolds方程假设不可压缩流体（密度为常数）的湍流运动的瞬时流场和瞬时压强场满足连续性方程和NS方程（直角坐标系，对重复的下标求和）注意NS方程的成立是一假设，因为NS定律对于湍流的瞬时运动是否成立是值得讨论的。

对上述方程取平均值，得平均量满足的连续性方程和Reynolds方程：脉动量满足以下方程：

湍流应力张量（Reynolds应力张量）总平均应力张量在高Reynolds数下，Reynolds应力通常远大于分子粘性应力

4.湍流研究的难度控制方程是不封闭的：4个方程，10个未知数要想解决控制方程不封闭的问题，只能进一步假设（半经验理论，模式理论）直接用数值方法解封闭的NS方程组受到计算机速度的限制

（目前只能处理Re

~

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的情况）最大涡旋尺度/最小涡旋尺度~Re3/4

飞机（50米x5米）速度250米/秒，高度1万米——1016网格数——目前计算机能力1012~13

次/秒不存在统一的有效的湍流理论有许多半经验理论，但是其应用范围较窄湍流的机理尚不清楚H.Lamb（1932）：“我现在老了，当我死后去见上帝时，我希望有两件事他能替我指点迷津。

一件是量子电动力学，另一件是流体的湍流。对于前者，我持相当乐观的态度。”Prandtl混合长理论（简单湍流）G.I.Taylor：随机涡是湍流的载体N.Kolmogorov：湍流脉动是多变量随机过程周培源：近代湍流模式理论奠基人近代湍流的研究方向：从不规则的湍流脉动的物理性质中寻找规律大尺度拟序结构的发现在确定性非线性微分方程中可以获得渐近不规则解（混沌现象）超级计算机用于湍流的直接数值模拟20世纪湍流研究的3个突出进展

5.Prandtl混合长理论二维平行剪切湍流的总剪切应力Boussinesq假设(1877)：t称为湍流粘性系数或涡粘性系数。不过，湍流粘性系数t并非与流体宏观运动无关的物理参数

Prandtl假设(1925)Prandtl借鉴分子运动论中分子平均自由程的概念，认为湍流中的流体微团也具有一个“平均自由程”，称为混合长，流体微团只在移动了这个长度的距离后，才与其他流体微团发生碰撞和混合，从而失去其原有流动特性，但是在移动过程中流体微团的流动特性（动量）保持不变。

对于二维平行剪切湍流，可以从Prandtl假设得到Prandtl混合长公式：或公式中的lm

（量纲为长度）是待定参数，它与湍流结构有关，可以由实验确定。在边界层和管流的近壁面附近，可以取

6.普适流速分布率（管流，定常湍流）实验表明，固壁外的湍流流动可以分为3个区域：

1)粘性底层（近壁面），>>(t)2)湍流核心区（远离壁面），<<(t)3)过渡区（二者之间），~(t)一般粘性底层和过渡区都很薄。

无界静止平板附近定常湍流运动的速度分布设二维定常平行剪切湍流流动中，压强为常数，壁面剪切应力为w，求时均速度剖面的形状。Reynolds方程

在粘性底层，忽略湍流应力，应用NS定律，得这里已经考虑了壁面粘附条件。写为无量纲形式：其中

在湍流核心区，忽略粘性应力，应用Prandtl混合长公式，得假设lm=y（实验结果），积分后得忽略过渡区，使粘性底层和湍流核心区的解连续，得其中

为衔接处的无量纲速度。光滑圆管中的速度剖面光滑圆管中层流与湍流速度剖面Re=5104