2023年高考数学总复习第一章 集合与常用逻辑用语 第2节：命题及其关系 充分条件与必要条件（学生版）

2023年高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语

第2节命题及其关系、充分条件与必要条件

考试要求1.理解命题的概念，了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命

题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要

条件的含义.

I知识诊断•基础夯实

知识梳理

1.命题

可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题，其中判断为真的语句叫作真

命题，判断为假的语句叫作假命题.

2.四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.

②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.

3.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若pnq,则p是q的充分条件,q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件p=q且q今p

p是q的必要不充分条件q且qnp

p是q的充要条件pgq

p是q的既不充分也不必要条件pbq且q、p

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I常用结论

1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只

否定命题的结论.

2.区别/是8的充分不必要条件（〃O8且B令A）,与A的充分不必要条件是B（BnA

且工分8）两者的不同.

3.充要关系与集合的子集之间的关系，设〃="双》）｝,B=｛x\q（x）］,

（1）若/U8,则p是q的充分条件，q是p的必要条件.

（2）若/B,则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.

（3）若/=8,则p是q的充要条件.

4。是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件.

诊断自测

1.思考辨析（在括号内打“J”或“义”）

⑴“/+2%—3<0”是命题.（）

（2）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.（）

（3）“若p不成立，则q不成立”等价于“若g成立，则p成立”.（）

（4）若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为

真.（）

2.（2021・浙江卷）已知非零向量a,b,c,则“GC=>C"是"a=b"的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

3.（2021•全国甲卷）等比数列｛久｝的公比为q,前〃项和为S”.设甲：q>0,乙：｛工｝

是递增数列，贝女）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

4.（易错题）命题“若"十'=0,则0=0且6=0”的逆否命题是.

5.（易错题）若为2一》一6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则。的最小值为

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6.已知命题“若x20,y^O,则孙20"，则原命题、逆命题、否命题、逆否命

题这四个命题中，真命题的个数为.

考点突破•题型剖析

考点一命题及其关系

1.已知命题”若函数一在(0,+8)上是增函数，则〃W1”，则下列说

法正确的是()

A.否命题是“若函数4丫)=&。-mx在(0,+8)上是减函数，则加＞1"

B.逆命题是''若用W1,则函数/(x)=e'—在(0,+8)上是增函数”

C.逆否命题是“若加＞1,则函数/(x)=eY—加x在(0,+8)上是减函数”

D.逆否命题是''若mWl,则函数人》)=&〈一加x在(0,+8)上不是增函数”

2.给出以下命题：

①“若x+尸0,则x,y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③若仍是正整数，则a,b都是正整数；

④若外)单调递增，g(x)单调递减，则40—g(x)单调递减.

其中为真命题的是(写出所有真命题的序号).

3.能说明“若/(x)＞/(0)对任意的x6(0,2］都成立，则/(x)在［0,2］上是增函数”为

假命题的一个函数是.

考点二充分条件与必要条件的判定

例1(1)(2020•浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线I,m,m,〃共面”

是“I,m,〃两两相交”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

(2)(2020•北京卷)已知a,蚱R,则“存在ArEZ使得a=E+(-l)够”是"sina=

sin/T的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

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C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

训练1（1）（2022・长春质检）已知加，〃是平面a内两条不同的直线，则“直线机

且/"是“山"的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

（2）“a>2,b>2n是（（a+b>4,ab>4”成立的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

考点三充分、必要条件的应用

例2（经典母题）已知P={x|x2-8x-20^0},非空集合S={x|l—/wWxW1+加}.若

xGP是xGS的必要条件，求实数〃?的取值范围.

迁移设p：P={x|x2—8x—20^0},q：非空集合S={x|l—WxW1+加},且非p

是非夕的必要不充分条件，求实数机的取值范围.

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训练2(1)使2N1成立的一个充分不必要条件是()

X

A.l<x<3B.0<x<2

C.x<2D.0〈xW2

⑵若关于x的不等式成立的充分不必要条件是0<x<4,则实数a的取值

范围是.

|分层训练•巩固提升

1.设a£R,则“a>l”是的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.(2021•全国百校联考)已知命题p：“任意”>0,且aWl,函数y=1+log“(x—1)

的图像过点尸”的逆否命题为真，则尸点坐标为()

A.(2,1)B.(l,1)

C.(L2)D.(2,2)

3.已知命题p：若则/<1,下列说法正确的是()

A.命题p是真命题

B.命题p的逆命题是真命题

C.命题p的否命题是''若。<1,则层21"

D.命题p的逆否命题是“若序》1,则"1"

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4.王昌龄的《从军行》中的两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，从

中可知“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.命题若“》2+产=0,则x=y=O”的否命题为（）

A.若％2+产=0,则X,y中至少有一个不为0

B.若/+/W0,则x,y中至少有一个不为0

C.若/+产工0,则-y都不为0

D.若炉+产=0,则％,y都不为0

6.（2022・郑州质检）对任意实数a,b,c,给出下列命题：

①“a=b”是"ac=bc”的充要条件；

②“。+5是无理数”是是无理数”的充要条件；

③“a>b”是“层>庐，的充分条件；

④%<5"是七<3"的必要条件.

其中真命题的个数是（）

A.lB.2C.3D.4

7.（2021•贵阳模拟）设函数_/（x）=ex2-3x,则使人x）<l成立的一个充分不必要条件是

（）

A.0<x<lB.0<x<4

C.0<x<3D.3<x<4

8.已知命题p：x2+2x-3>0；命题q：x>a,且非q的一个充分不必要条件是

非p,则。的取值范围是（）

A.[l,+8）B.（-8,1]

C.[-l,+8)D.(—8,-3]

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9.设mb是两个平面向量,则％=6”是u\a\=\b\n的条件.

10.（2021•河南名校联考）设命题p：x>4；命题q：x2-5x+4>0,那么p是"的

条件（填"充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分

也不必要”）.

11.已知不等式|%一创<1成立的一个充分不必要条件是则m的取值范围是

12.（2022•西安调研）已知p（x）：x2+2x-m>0,若p⑴是假命题，p（2）是真命题，则

实数〃，的取值范围为.

|B级能力提升

13.（2021•景德镇模拟）对于任意实数x,G〉表示不小于x的最小整数，例如〈1.1〉

=2,（-1.1）=-1,那么“