数值计算方法讲稿

数值计算方法讲稿第1页，课件共63页，创作于2023年2月求解的思想：

这里给出了2n+2个条件，可唯一确定一个次数不超过2n+1的多项式，其形式为

如根据上面的条件来确定2n+2个系数，显然非常复杂，因此，我们仍采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法。

先求插值基函数及，共有个2n+2，每一个基函数都是2n+1次多项式，且满足条件

第2页，课件共63页，创作于2023年2月于是满足Hermite插值条件的插值多项式可写成用插值基函数表示的形式

由所要构造的基函数满足的条件，显然有。下面的问题就是求满足条件的基函数及。第3页，课件共63页，创作于2023年2月确定基函数：可利用拉格朗日插值基函数。

令其中是拉格朗日插值基函数。由要构造的Hermite插值基函数条件有整理得

第4页，课件共63页，创作于2023年2月由于利用两端取对数再求导，得

于是

第5页，课件共63页，创作于2023年2月同理，由于在处函数值与导数值均为0，而，故可设又由于，有即，故有第6页，课件共63页，创作于2023年2月Hermite插值多项式是唯一的用反证法，假设及均满足Hermite插值条件，于是由有

在每个节点上均有二重根，即有2n+2重根。但是不高于2n+1次的多项式，故。

唯一性得证。第7页，课件共63页，创作于2023年2月Hermite插值多项式余项：仿照拉格朗日插值余项的证明方法，若在内的2n+2阶导数存在，则其插值余项其中且与有关。三次Hermite插值：作为Hermite插值多项式的重要特例是n=1的情形。这时可取节点及，插值多项式为，满足条件

第8页，课件共63页，创作于2023年2月相应的插值基函数为，它们满足条件根据Hermite插值的一般基函数表达式，可得到

第9页，课件共63页，创作于2023年2月第10页，课件共63页，创作于2023年2月于是三次Hermite插值多项式是其余项

由Hermite插值多项式余项公式得

第11页，课件共63页，创作于2023年2月例:求满足及的插值多项式及其余项表达式。解:由给定条件，可确定次数不超过3的插值多项式。由于此多项式通过点及，故其形式为其中A为待定常数，可由条件确定，通过计算可得

第12页，课件共63页，创作于2023年2月为了求出余项的表达式，可设其中为待定函数。构造显然。且，故

在内有5个零点（重根算两个）。反复应用罗尔定理，得在内至少有一个零点，第13页，课件共63页，创作于2023年2月故于是余项表达式为式中位于和所界定的范围内。

第14页，课件共63页，创作于2023年2月Hermite插值的一般形式:

设在节点上，已知在节点上的

,及某些节点上的导数值，要求一个至多n+m+1次的插值多项式，使满足条件与前面讨论类似，可证明满足条件的Hermite插值多项式是存在唯一的，其余项为

第15页，课件共63页，创作于2023年2月例：按下表求Hermite插值多项式解：解法一：由于插值条件有5个，故所求插值多项式的次数不超过4。构造插值基函数及，使它们满足：（1）及都是4次多项式；

01201101第16页，课件共63页，创作于2023年2月（2）因为，故无需求出。又因为，因而可设代入可得，所以第17页，课件共63页，创作于2023年2月类似可求出因此所求Hermite插值多项式为第18页，课件共63页，创作于2023年2月解法二：因为为二阶零点，故可直接设插值多项式为

代入插值条件，得方程组其解为所求插值多项式为第19页，课件共63页，创作于2023年2月用推广的牛顿插值法确定Hermite插值函数例：解：

第20页，课件共63页，创作于2023年2月例：解：1212326412673226741－1第21页，课件共63页，创作于2023年2月例：-0.5-0.750.5-0.7500.5-0.7511232.510第22页，课件共63页，创作于2023年2月第23页，课件共63页，创作于2023年2月第24页，课件共63页，创作于2023年2月第25页，课件共63页，创作于2023年2月§5分段低次插值

5-1多项式插值的问题前面根据区间上给出的节点做插值多项式近似，一般总认为的次数n越高逼近的精度越好，但实际上并非如此。这是因为对任意的插值节点，当时,

不一定收敛到，本世纪初龙格（Runge）就给出了一个等距节点插值多项式不收敛的例子。他给出的函数为。它在上各阶导数均存在，但在上取n+1个等距节点所构造的拉格朗日插值多项式第26页，课件共63页，创作于2023年2月当时，只在内收敛，而在这区间外是发散的。第27页，课件共63页，创作于2023年2月

因此随着插值结点数增加，插值多项式的次数也相应增加，而对于高次插值容易带来剧烈振荡，带来数值不稳定。为了既要增加插值结点，减小插值区间，以便更好的逼近被插值函数，又要不增加插值多项式的次数以减少误差，可以采用分段插值的办法。第28页，课件共63页，创作于2023年2月5-2分段线性插值所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近。设已知节点上的函数值，记,求一折线函数满足：1°

记，2°，3°

在每个小区间上是线性函数，则称为分段线性插值函数。第29页，课件共63页，创作于2023年2月由定义可知在每个小区间上可表示为若用插值基函数表示，则在整个区间上为其中基函数满足条件

其形式是第30页，课件共63页，创作于2023年2月

分段线性插值基函数只在附近不为零，在其它地方均为零，这种性质称为局部非零性质。

第31页，课件共63页，创作于2023年2月例：已知函数，在［0,5］上取等距节点。求分段插值函数，及近似值。

解：分段线性插值基函数为：

0123451.000000.500000.200000.100000.058820.03846第32页，课件共63页，创作于2023年2月分段线性插值函数为：

精确值为。

第33页，课件共63页，创作于2023年2月收敛性证明：当时

,故

另一方面，这时现在证明。考虑这里是函数在区间上的连续模，即对任意两点,只要，就有第34页，课件共63页，创作于2023年2月称为在上的连续模，当时，就有。

由前式可知，当时有

因此，只要，就有在上一致成立，故在上一致收敛到。第35页，课件共63页，创作于2023年2月分段线性插值的误差估计：如果在上二阶连续可微，则分段线性插值函数的余项有以下估计

其中

。证：因在上，是的线性插值，有又因为

第36页，课件共63页，创作于2023年2月因而

于是

所以，对任意，都有

分段线性插值简便易行，节点加密误差变小，且插值函数只依赖于本段的节点值，计算误差基本不扩大、稳定。但在节点处插值函数不可微，光滑度不够。第37页，课件共63页，创作于2023年2月5-3分段三次埃尔米特插值分段线性插值函数的导数是间断的，若在节点上除已知函数值外还给出导数值，这样就可构造一个导数连续的分段插值函数，它满足条件:

代表区间上一阶导数连续的函数集合）。2.3.在每个小区间上是三次多项式。

第38页，课件共63页，创作于2023年2月由两点三次Hermite插值多项式。可知，在区间上的表达式为若在整个区间上定义一组分段三次插值基函数及,则可表示为第39页，课件共63页，创作于2023年2月其中分别表示为第40页，课件共63页，创作于2023年2月收敛性证明:

由于的局部非零性质，当时，只有不为零，于是可表为为了研究的收敛性，由直接得估计式第41页，课件共63页，创作于2023年2月当时

,于是有即

对成立，其中是在上的连续模。因此，当时，

第42页，课件共63页，创作于2023年2月这就证明了在上一致收敛到。

同样可导出分段三次Hermite插值的误差估计为：其中

。

分段三次Hermite插值函数是插值区间上的光滑函数，它与函数在节点处密合程度较好。

第43页，课件共63页，创作于2023年2月§6三次样条插值问题的提出:上面讨论的分段低次插值函数都有一致收敛性，但光滑性较差，对于像高速飞机的机翼形线，船体放样等型值线往往要求有二阶光滑度，即有二阶连续导数，早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条（所谓样条）用压铁固定在样点上，在其它地方让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，称为样条曲线。它实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。下面我们讨论最常用的三次样条函数。第44页，课件共63页，创作于2023年2月三次样条函数:定义:函数，且在每个小区间上是三次多项式，其中是给定节点，则称是节点上的三次样条函数。若在节点上给定函数值，并成立

则称为三次样条插值函数。第45页，课件共63页，创作于2023年2月从定义知要求出在每个小区间上要确定4个待定系数，共有n个小区间，故应确定4n个参数。根据在上二阶导数连续，在节点处应满足连续性条件共有3n-3个条件，再加上满足插值条件，共有4n-2个条件，因此还需要2个条件才能确定。第46页，课件共63页，创作于2023年2月通常可在区间端点上各加一个条件（称为边界条件），可根据实际问题的要求给定。常见的有以下三种：

1°

已知两端的一阶导数值，即2°

两端的二阶导数已知，即其特殊情况

，称为自然边界条件。

第47页，课件共63页，创作于2023年2月3°

当是以为周期的周期函数时，则要求也是周期函数。这时边界条件应满足而此时。这样确定的样条函数，称为周期样条函数。

第48页，课件共63页，创作于2023年2月三转角方程:

现在构造满足条件及加上相应边界条件的三次样条函数的表达式。若假定在节点处的值为，则由分段三次埃尔米特插值公式可得其中是插值基函数。

第49页，课件共63页，创作于2023年2月显然，表达式中及在整个区间上连续，且满足；现需确定，可利用及某一边界条件来确定。为了求出，我们考虑在上的表达式第50页，课件共63页，创作于2023年2月这里。对求二次导数得于是

同理，可得在区间上的表达式第51页，课件共63页，创作于2023年2月及

由条件，可得用除全式，并注意

，上面方程可简化为第52页，课件共63页，创作于2023年2月其中

此方程是关于未知数的n-1个方程，若加上边界条件：，则方程变为只含的n-1个方程，写成矩阵形式便是第53页，课件共63页，创作于2023年2月第54页，课件共63页，创作于2023年2月如果边界条件为，则得两个方程

若边界条件为