数学北师大版九年级上册 《6.3 反比例函数的应用》教案

第第页数学北师大版九年级上册《6.3反比例函数的应用》教案第六章反比例函数

6.3反比例函数的应用

一、教学目标

1．经历分析实际问题中两个变量之间的关系、建立反比例函数模型，进而解决问题的过程，进一步体会模型思想，发展应用意识．

2．能用反比例函数解决简单问题，进一步体会数形结合的思想，发展几何直观．

二、教学重点及难点

重点：用反比例函数的知识解决实际问题．

难点：如何从实际问题中抽象出数学问题、建立函数模型．

三、教学用具

多媒体课件、直尺或三角板．

四、相关资源

微课，教学图片.

教学过程

【情境引入】

某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化呢？这节课我们就来探讨如何利用反比例函数解决实际问题．

师生活动：教师播放视频、出示问题，学生思考，初步感受本节课所学内容．

设计意图：通过问题情境引出本节课要研究的内容．

【探究新知】

想一想在上述问题中，如果人和木板对湿地地面的压力合计600N，那么

（1）用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？

（2）当木板面积为0.2m2时，压强是多少？

（3）如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？

（4）在平面直角坐标系中，画出相应的函数图象．

（5）请利用图象对（2）和（3）作出直观解释，并与同伴交流．

师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导．对于问题（4）提醒学生只需在第一象限画函数的图象即可，此外，还要注意单位长度所表示的数值．

解：（1），p是S的反比例函数，因为符合反比例函数的概念．

（2）p=3000Pa．

（3）至少0.1m2．

（4）如下图所示．

（5）问题（2）是已知图象上某点的横坐标是0.2，求该点的纵坐标；问题（3）是已知图象上点的纵坐标不大于6000，求这些点横坐标的取值范围．

设计意图：培养学生数形结合的思想及运用反比例函数解决实际问题的能力．

做一做蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图所示．

（1）蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？

（2）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？

师生活动：教师出示问题，学生思考，教师引导，师生共同完成本题．

解：（1）蓄电池的电压是36V；函数表达式为．

（2）当I≤10时，有．解得R≥3.6．

设计意图：运用反比例函数的概念、性质分析和解决实际问题，进一步增强学生应用数学知识解决问题的意识，感受数学的应用价值．

【典例精析】

例1码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．

（1）轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v（单位：吨／天）与卸货天数t之间有怎样的函数关系？

（2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？

师生活动：教师出示问题，学生思考讨论，教师深入到学生当中，给予帮助和指导，分析讨论后师生共同完成．

分析：根据“平均装货速度×装货天数=货物的总量”，可以求出轮船装载货物的总量；再根据“平均卸货速度=货物的总量÷卸货天数”，得到v关于t的函数解析式．

解：（1）设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得k=30×8=240，所以v关于t的函数解析式为．

（2）把t=5代入，得v==48（吨）．从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸完，那么平均每天卸载48吨．对于函数，当t＞0时，t越小，v越大．这样若货物不超过5天卸载完，则平均每天至少要卸载48吨．

学生在思考讨论的过程中，教师要注意：（1）学生思考讨论问题是否积极参与；（2）是否能够从实际问题中抽象出反比例函数的模型；（3）是否看出本题中的k需要求出来；（4）注意问题（2）中的不等关系如何用等式处理的．

设计意图：探究实际运输中存在的反比例函数问题，进一步培养学生建立反比例函数模型的能力．

例2小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m．

（1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力？

（2）若想使动力F不超过（1）中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？

师生活动：教师出示例题，学生探究并展开讨论，在这个过程中教师要注意：（1）学生是否理解了“杠杆原理”，能否利用“阻力×阻力臂=动力×动力臂”分析问题；（2）是否能够从实际问题中抽象出反比例函数模型；（3）关于反比例函数中的常数k的确定方法；（4）是否处理好了问题（2）中的“至少”这一不等关系．

解：（1）根据“杠杆原理”，得

Fl=1200×0.5，

所以F关于l的函数解析式为

．

当l=1.5m时，．

对于函数，当l=1.5m时，F=400N，此时杠杆平衡．因此，撬动石头至少需要400N的力．

（2）对于函数，F随l的增大而减小．因此，只要求出F=200N时对应的l的值，就能确定动力臂l至少应加长的量．

当时，由，得

，

3-1.5=1.5(m)．

对于函数，当l＞0时，l越大，F越小．因此，若想用力不超过400N的一半，则动力臂至少要加长1.5m．

设计意图：运用反比例函数的性质，解决问题中的不等关系，进而解决问题．

【课堂练习】

1．已知圆柱的体积V(m3)一定，则它的底面积y(m2)与高x(m)之间的函数图象大致为（）．

2．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也随之改变．密度ρ（单位：kg/m3）与体积V（单位：m3）满足函数解析式（k为常数，k≠0），其图象如图所示，则k的值为（）．

A．9B．-9C．4D．-4

3．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P在BC边上运动，连接DP，过点A作AE⊥DP，垂足为E，设DP=x，AE=y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（）．

4．在对物体做功一定的情况下，力F（牛）与此物体在力的方向上移动的距离s（米）成反比例函数，其图象如图所示，当力为10牛时，物体在力的方向上移动的距离是____米．

5．某蓄水池的排水管道每小时排水8m3，6h可以将满池的水全部排空．

（1）蓄水池的容积是多少？

（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Qm3，将满池的水全部排空所需的时间为t（h），求Q与t之间的函数关系式．

（3）如果准备在5h内将满池的水全部排空，那么每小时排水量至少是多少？

（4）已知排水管的最大排水量为12m3/h，那么最少多长时间能把满池的水全部排空？

师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题．

6．在某一电路中，保持电压不变，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例．当电阻R=5Ω时，电流I=2A．

（1）写出I与R之间的函数解析式；

（2）当电流I=0.5A时，求电阻R的值．

参考答案

1．D．2．A．3．C．4．0.5．

5．（1）48m3；（2）Q=(t＞0)；（3）当t=5时，Q==9.6m3；

（4）当Q=12时，t=4h．

6．解：（1）由题意，得．

因为当电阻R=5Ω时，电流I=2A，所以U=5×2=10(V)．

所以I与R之间的函数解析式为．

（2）当电流I=0.5A时，，所以R=20(Ω)，即电阻R的值为20Ω．

设计意图：进一步巩固所学知识，加深对所学知识的理解．

六、课堂小结

1．一般地，建立反比例函数的解析式有以下两种方法：

（1）待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设反比例函数的解析式为，然后求出k的值即可．

（2）列方程法：若题目所给信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于函数（y）和自变量（x）的方程，进而解出方程，便得到函数解析式．

2．常见的典型数量关系：

（1）当路程s一定时，时间t与速度v成反比例，即；

（2）当三角形的面积S一定时，三角形的底边a与高h成反比例，即；

（3）在物理知识中：①当功W一定时，力F与物体在力F的作用下移