数学文化及发展第三讲

数学文化及发展第三讲第1页，课件共33页，创作于2023年2月第三讲数学发展简史(二)三、近代数学时期四、现代数学时期2023/7/242第2页，课件共33页，创作于2023年2月

家庭手工业、作坊→工场手工业→机器大工业贸易及殖民地→航海业空前发展对运动和变化的研究成了自然科学的中心→变量、函数

在数学史上，引人注目的17世纪是一个开创性的世纪。这个世纪中发生了对于数学具有重大意义的三件大事。三、近代数学时期：变量数学

（公元17世纪—19世纪初）2023/7/243第3页，课件共33页，创作于2023年2月1.伽里略实验数学方法

(第一件)它表明了数学与自然科学的一种崭新的结合。其特点是在所研究的现象中，找出一些可以度量的因素，并把数学方法应用到这些量的变化规律中去。具体可归结为：(1)从所要研究的现象中，选择出若干个可以用数量表示出来的特点；(2)提出一个假设，它包含所观察各量之间的数学关系式；(3)从这个假设推导出某些能够实际验证的结果；(4)进行实验观测—改变条件—再观测，并把观察结果尽可能地用数值表示下来；(5)以实验结果来肯定或否定所提的假设；(6)以肯定的假设为起点，提出新假设，再度使新假设接受检验。2023/7/244第4页，课件共33页，创作于2023年2月2.笛卡尔的坐标系（1637年《几何学》）(第二件)恩格斯：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了……”笛卡尔(R.Descartes,1596-1650)2023/7/245第5页，课件共33页，创作于2023年2月解析几何是代数与几何相结合的产物在《几何学》里，笛卡尔给出了解析几何原理，这就是利用坐标方法把具有两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线。解析几何给出了回答如下问题的途径：（1）通过计算来解决曲线作图的几何问题；（2）求给定某种几何性质的曲线的方程；（3）利用代数方法证明新的几何定理；（4）反过来，从几何的观点来看代数方程。因此，解析几何是代数与几何相结合的产物，在采用坐标方法的同时，用代数方法研究几何对象。在笛卡尔之前，从古希腊起在数学中占优势地位的是几何学；解析几何则使代数获得更广的意义和更高的地位。2023/7/246第6页，课件共33页，创作于2023年2月3.牛顿和莱布尼兹的微积分（17世纪后半期）

(第三件)微积分的起源主要来自解决两个方面问题的需要：一是力学的一些新问题，已知路程对时间的关系求速度;已知速度对时间的关系求路程；二是几何学的一些老问题，作曲线在某点的切线问题，及求面积和体积的问题。2023/7/247第7页，课件共33页，创作于2023年2月牛顿：IsaacNewton(1642年12月25日~1727年3月31日)

1661入剑桥大学1667.10三一学院成员1669卢卡斯教授1696伦敦造币局1672皇家学会会员1703皇家学会会长1705封爵2023/7/248第8页，课件共33页，创作于2023年2月莱布尼茨(GottfriendWilhelmLeibniz，1646-1716)2023/7/249第9页，课件共33页，创作于2023年2月4．微分方程、变分法、微分几何、复变函数、概率论※微分方程：研究的是这样一种方程，方程中的未知项不是数，而是函数。※变分法：研究的是这样一种极值问题，所求的极值不是点或数，而是函数。※微分几何：是关于曲线和曲面的一般理论。※复变函数：研究的是复数函数的微积分。※概率论：研究随机现象的一门数学。2023/7/2410第10页，课件共33页，创作于2023年2月5．代数基本定理（1799年）※这一时期代数学的主题仍然是代数方程。※18世纪的最后一年，高斯的博士论文给出了具有重要意义的“代数基本定理”的第一个证明。※该定理断言，在复数范围里，n次多项式方程有n个根。

2023/7/2411第11页，课件共33页，创作于2023年2月高斯（C.F.Gauss,1777-1855）2023/7/2412第12页，课件共33页，创作于2023年2月“分析”、“代数”、“几何”三大分支在18世纪，由微积分、微分方程、变分法等构成的“分析”，已经成为与代数、几何并列的数学的三大学科，并且在这个世纪里，其繁荣程度远远超过了代数和几何。第三时期（近代数学时期）的基本结果，如解析几何、微积分、微分方程，高等代数、概率论等，已成为高等学校数学教育的主要内容。还有:偏微方程(数学物理方程)、保险统计科学、微分几何、数论等数学的发展。2023/7/2413第13页，课件共33页，创作于2023年2月

四、现代数学时期（19世纪20年代—

）进一步划分为三个阶段：现代数学酝酿阶段（1820——1870年）；现代数学形成阶段（1870——1950年）；现代数学繁荣阶段（1950——现在）。

这一时期虽然还不到二百年的时间，内容却非常丰富，远远超过了过去所有数学的总和。

鉴于本课程的性质，对于这一时期的数学内容，我们只作简略的介绍。2023/7/2414第14页，课件共33页，创作于2023年2月现代数学时期（19世纪20年代——

）

1．罗巴切夫斯基、高斯、波约尔、黎曼的“非欧几何”2．希尔伯特的“公理化体系”

3.阿贝尔和伽罗华的“近世代数或抽象代数”

4．柯西、威尔斯特拉斯等人的“数学分析”

5.康托的“集合论”6．黎曼开创的“现代微分几何”

7．庞加莱创立的“拓扑学”

8.其它：数论、随机过程、数理逻辑、组合数学、计算数学、分形与混沌等等。

现代数学时期的结果，也成为高校数学、力学、物理学等学科数学教学的内容，并被科技工作者所使用。2023/7/2415第15页，课件共33页，创作于2023年2月1、集合论悖论与数学基础的研究

康托的集合论与数学的关系从来没有顺利过。1900年左右，正当康托的思想逐渐被人接受时，一系列完全没有想到的逻辑矛盾，在集合论里的边缘被发现了。开始，人们并不直接称之为矛盾，而是只把它们看成数学中的奇特现象。人们认为，集合的概念结构的组成还没有达到十分令人满意的程序，只需对基本定义修改，一切事情都会好起来。

函数定义：设X是一个非空集合，Y是非空数集，f是个对应法则，若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素x与之对应，就称对应法则f是X上的一个函数，记作y=f（x）2023/7/2416第16页，课件共33页，创作于2023年2月康托(1845～1918)

2023/7/2417第17页，课件共33页，创作于2023年2月2、纯数学的发展

20世纪初，除了围绕惊心动魄的关于数学基础所展开的争论之外，由19世纪70年代以来发展起来的数学的抽象化和公理化的趋势一直受人重视，人们已经意识到抽象理论几乎具有囊括一切的本领。建立起这样的抽象理论成为许多数学家的奋斗目标，在20世纪产生的众多的纯粹数学中，最具有代表性的应当属拓扑学、泛函分析和抽象代数学。这三门学科可以说是现代数学的三大理论支柱。时至今日，人们似乎形成了这样的一个观念，一个人不能阅读用抽象代数、拓扑和泛函分析的语言写成的书籍，就不能自认为真正掌握了现代数学知识。2023/7/2418第18页，课件共33页，创作于2023年2月（1）拓扑学

有关拓扑学的某些问题可以追溯到17世纪，1679年莱布尼兹发表《几何特性》一文，试图阐述几何图形的基本几何特点，采用特别的符号来表示它们，并对它们进行运算来产生新的性质。莱布尼兹把他的研究叫做位置分析或位置几何学，并另外宣称应建立一门能直接表示位置的真正几何的学问，这是拓扑学的先声。

另一个是1736年，欧拉解决了著名的哥尼斯堡七桥问题：2023/7/2419第19页，课件共33页，创作于2023年2月2023/7/2420第20页，课件共33页，创作于2023年2月

哥尼斯堡七桥问题

欧拉首先把岛和岸都抽象成“点”，把桥抽象成线。把哥尼斯堡七桥问题抽象成“一笔画问题”：笔尖不离开纸面，一笔画出给定图形，不允许重复任何一条线，这简称为“一笔画”。

“一笔画”的必要条件是“图形中的奇节点不多于两个。看哥尼斯堡七桥问题，图形中有四个奇节点，因此该图形不能一笔画。难怪对于“不重复地走过七座桥”的游戏，所有的尝试都失败了。

我们深刻地感到数学抽象的强大威力，它也开创了拓扑学的先河。

2023/7/2421第21页，课件共33页，创作于2023年2月伽罗华(1811-1832)

阿贝尔(1802-1829)（2）泛函分析（不多解释）（3）抽象代数学

2023/7/2422第22页，课件共33页，创作于2023年2月代数的质变：群、环、域等代数结构的研究伽罗华在19世纪，代数也出现质的变化．以往的代数是关于数字的算术运算学说，现在这种算术运算是脱离了具体数字在一般形态上形式地加以考察．现代代数理论是19世纪从许多数学家的研究中形成的，其中尤以法国数学家伽罗华著称．群论与线性代数是现代代数中内容丰富的两个分支．

2023/7/2423第23页，课件共33页，创作于2023年2月伽罗华（EacutevaristeGalois，公元1811年-公元1832年）是对函数论、方程式论和数论作出重要贡献的数学家，他的工作为群论（一个他引进的名词）奠定了基础；所有这些进展都源自他尚在校就读时欲证明五次多项式方程解（SolutionbyRadicals）的不可能性（其实当时已为阿贝尔（Abel）所证明，只不过伽罗华并不知道），和描述任意多项式方程可解性的一般条件的打算。虽然他己经发表了一些论文，但当他于1829年将论文送交法兰西科学院时，第一次所交论文却被柯西（Cauchy）遗失了，第二次则被傅立叶（Fourier）所遗失；他还因撰写反君主制的文章而被开除，且因信仰共和体制而两次下狱。他第三次送交科学院的论文亦为泊松（Poisson）所拒绝。伽罗华死于一次决斗，可能是被保皇派或警探所激怒而致，时年21岁。他被公认为数学界两个最具浪漫主义色彩的人物之一。

后来的一些著名数学家们说，他的死使数学的发展被推迟了几十年。2023/7/2424第24页，课件共33页，创作于2023年2月年轻气盛的伽罗华为了一个舞女，卷入了一场他所谓的“爱情与荣誉”的决斗。伽罗华非常清楚对手的枪法很好，自己难以摆脱死亡的命运，所以连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿。

他不时的中断，在纸边空白处写上“我没有时间，我没有时间”，然后又接着写下一个极其潦草的大纲。他在天亮之前那最后几个小时写出的东西，为一个折磨了数学家们几个世纪的问题找到了真正的答案，并且开创了数学的一片新的天地。

伽罗华对自己的成果充满自信，他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论的；有些是关于整函数的……。公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性，而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将来有人发现，这些对于消除所有有关的混乱是有益的。”

在决斗场上，伽罗华被打穿了肠子。历史学家们曾争论过这场决斗是一个悲惨的爱情事件的结局，还是出于政治动机造成的，但无论是哪一种，一位世界上最杰出的数学家在他20岁时被杀死了，他研究数学才只有五年。2023/7/2425第25页，课件共33页，创作于2023年2月阿贝尔（Abel，NielsHenrik，1802～1829）

阿贝尔出生在挪威牧师家庭，1817年在他的教师霍姆伯厄的帮助下崭露头角。霍姆伯厄本身在数学上没有什么成就，是一个称职但决不是很有才气的数学家。他在科学上的贡献，就是发掘了阿贝尔的数学才能，而且成为他的忠诚朋友。阿贝尔死后，霍姆伯厄收集出版了他的研究成果。在中学的最后一年，阿贝尔开始试图解决困扰了数学界几百年的五次方程求根问题，不久便认为得到了答案。手稿寄给丹麦当时最著名的数学家达根。他只给了阿贝尔一些可贵的忠告，就在同时，阿贝尔也发现了自己推理中的缺陷。这次失败把他推上了正确的途径，使他怀疑一个代数解是否可能。后来他终于证明了五次方程不可解，而那已经是他19岁时的事情了。2023/7/2426第26页，课件共33页，创作于2023年2月被年迈的权威耽误1823年夏,一位教天文学的教授给阿贝尔一笔钱去哥本哈根见达根。从丹麦回来后阿贝尔重新开始，总算正确解决了这个几百年来的难题：即五次方程不存在代数解。后来数学上把这个结果称为阿贝尔-鲁芬尼定理。阿贝尔自掏腰包在当地的印刷馆印刷他的论文。因为贫穷，为了减少印刷费，他把结果紧缩成只有六页的小册子。他满怀信心地把这小册子寄给外国的数学家，包括高斯。可惜文章太简洁了，没有人能看懂。高斯收到这小册子时连拿起刀来裁开书页来看内容也懒得做，就把它扔在书堆里了。在政府资助下阿贝尔出国深造。他不再去找高斯，而是到了法国，当时的法国皇家科学院正被柯西、泊松、傅里叶、安培和勒让德等年迈的大家们把持，学术气氛非常保守，对年青人的工作并不重视。他曾寄过一份长篇论文《关于非常广泛的一类超越函数的一般性质的论文》给他们，论文交到了勒让德手上，勒让德看不大懂，就转给柯西。多产的柯西正忙着自己的工作，把论文随便翻翻丢在一个角落里去了。2023/7/2427第27页，课件共33页，创作于2023年2月阿贝尔失望地回到柏林。在那里他病倒了，更不幸的是他不知道自己已患上了肺结核病。当时他只剩下大约七元钱，只好掉头回国。没多久，阿贝尔很幸运地被推荐到军事学院教授力学和理论天文学，以便安心继续从事椭圆函数的研究。1828年夏天他一直生病发烧咳嗽，人也变的消沉，感到前途真是暗淡无光，而且无法摆脱靠他养活的家人的负担。他们直到最后一直缠着他，实际上弄得他自己一无所有，可是直到最后他也从没有说过一句不耐烦的话。那年的冬天很冷，他咳嗽、发抖，觉得胸部不适，但是在朋友面前他装作若无其事，而且常开玩笑，以掩饰他身体的不舒服。1829年14月6日，阿贝尔去世，在他死后两天，接到了柏林大学的数学教授的任命。阿贝尔生活的平淡无奇，而他在纯数学上贡献又只存在于极少的专业人士的心中。2023/7/2428第28页，课件共33页，创作于2023年2月3、应用数学的发展

20世纪现代数学变得抽象化的同时，数学应用的范围也变得更加广泛了。数学不仅仅应用于天文、物理、力学等传统的领域，而且涉及到了人们以往认为的与数学的相互关系不大的生物、地理、化学等领域。今天，可以说几乎所有的科学领域都渗入了数学的概念和方法，而数学本身由于在这些学科上的应