北京市怀柔区2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含答案）

第第页北京市怀柔区2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含答案）北京市怀柔区2022-2023学年度第二学期期末试卷高二数学

第一部分（选择题共40分）

2023.7

第一部分（选择题共40分）

一选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.若成等差数列，则（）

A.B.C.D.

2.函数在处的切线斜率为（）

A.-3B.C.D.5

3.已知函数为的导函数，则（）

A.B.

C.D.

4.一个袋中装有大小相同的3个白球和2个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件，“第2次拿出的是白球”为事件，则（）

A.B.C.D.

5.已知函数的导函数的图象如图所示，则（）

A.有极小值，但无极大值B.既有极小值，也有极大值

C.有极大值，但无极小值D.既无极小值，也无极大值

6.将一枚均匀硬币随机抛掷4次，记“正面向上出现的次数”为，则随机变量的期望（）

A.1B.2C.3D.4

7.在数列中，若，则（）

A.-1B.1C.D.2

8.若是等差数列的前项和，，则（）

A.B.

C.D.

9.数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是（）

A.B.

C.D.

10.已知函数，则下面对函数的描述正确的是（）

A.

B.

C.

D.

第二部分（非选择题共110分）

二填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.设函数，则__________.

12.已知随机变量的分布列如下，且：

01

则__________；__________.

13.已知是公比为的等比数列，其前项和为.若，则__________.

14.若曲线在处的切线方程为，则__________；__________.

15.设随机变量的分布列如下：

12345678910

给出下列四个结论：

①当为等差数列时，；

②当为等差数列时，公差；

③当数列满足时，；

④当数列满足时，时，.

其中所有正确结论的序号是__________.

三解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.（本小题13分）

已知等差数列的的前项和为，从条件①条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答：

（1）求的通项公式；

（2）若是等比数列，，求数列的前项和.

①；②；③.

17.（本小题13分）

已知函数.

（1）求的极值；

（2）求在区间上的最大值和最小值.

18.（本小题14分）

为宣传交通安全知识，某地区中学联合开展了交通安全知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了20名学生，将他们的竞赛成绩（单位：分）用茎叶图记录如下：

（1）从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率；

（2）从图中90分以上的人中随机抽取4人，抽到男生的人数记为，求的分布列和期望；

（3）为便于普及交通安全知识，现从该地区某所中学参加知识竞赛活动的学生中随机选取5名男生5名女生作为宣传志愿者，记这5名男生竞赛成绩的平均数为，这5名女生竞赛成绩的平均数为，能否认为，说明理由.

19.（本小题15分）

已知某企业生产一种产品的固定成本为400万元，每生产万件，需另投入成本万元，假设该企业年内共生产该产品万件，并且全部销售完，每1件的销售收入为100元，且

（1）求出年利润（万元）关于年生产零件（万件）的函数关系式（注：年利润=年销售收入-年总成本）；

（2）将年产量定为多少万件时，企业所获年利润最大.

20.（本小题15分）

已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）若对任意恒成立，求a的取值范围.

21.（本小题15分）

定义：若对任意正整数，数列的前项和都是整数的完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.

（1）若数列满足，判断为是否为“完全平方数列”；

（2）若数列的前项和（是正整数），那么是否存在，使数列为“完全平方数列”？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由；

（3）试求出所有为“完全平方数列”的等差数列的通项公式.

北京市怀柔区2022-2023学年度第二学期期末试卷

高二数学答案及评分参考

2023.7

一选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

1.A2.B3.C4.D5.A

6.B7.A8.B9.D10.B

二填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11.012.，13.214.，15.①③④

注：1214.题第一空3分，第二空2分；15.题给543分，有错解不给分.

13.题写2的给5分，写2或1的给3分

三解答题（共6小题，共85分）

16.解：选①；②

（1）设等差数列的公差为.

由题设，得

解得.

所以.

（2）因为是等比数列，且由，得，

由，得

所以

所以.

所以

选其它，结论一样，按步给分.

17.（共13分）

解：（1）因为，所以.

令，得.

的变化情况如下：

-10

-0+0-

极大值极小值

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.从而的极大值为的极小值为.

（2）由（1）知在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以在区间上的最大值为，最小值为0.

18.（共14分）

解：（1）由茎叶图数据，随机抽取的20名学生中有男生10人，从男生中随机抽取1人，90分以上的有4人，

所以男生的竞赛成绩在90分以上的概率估计值为.

（2）抽取的样本学生中90分以上的有7人，其中有4名男生，3名女生.

从7人中随机抽取4人，抽到男生的人数记为的值可能为：

的分布列为：

1234

（3）不能确定是否有.

上述5名男生，5名女生竞赛成绩的数据是随机的，所以是随机的.

所以，不能确定是否有.

19.（共15分）

解：（1）售价固定为，

当产量不足60万箱时，

.

当产量不小于60万箱时，.

则.

（2）设

当时，.得在上单调递增，在上单调递减.

则.

当时，由基本不等式有

当且仅当时取等号.又，得当时，所获利润最大值为1300万元

20.（共15分）

解：（1）因为，

所以，所以.

当时，在单调递增；

当时，令，得

+0-

极大值

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.

（2）解法一：由（1）分类讨论

当时，在单调递增；

.

（或其它例子，或当时，.）

，不恒成立.

当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.

，

令，

得，

得，即.

解法二：构造新函数若对任意恒成立，

即恒成立，

则恒成立，

设，

则.

令，得.

当时，单调递减；

当时，单调递增.

所以.

所以.

21.（共15分）

解：（1）不是“完全平方数列”.

不是整数的完全平方数.

（2）存在，.

因为数列的前项和（是正整数），

那么

时，

时，

要使数列为“完全平方数列”，只需

只需时，，恒成立

只需，

，是正整数，.

（3）

因为数列等差数列，设

前项和

因为是完全平方数，则是完全平方数且

设，所以

备18（2）：从该地区参加该活动的全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取2人，估计这4人中男生竞赛成在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率.

解：随机抽取的20名学生中有女生10人，从女生中随机抽取1人，90分以上的有3人，

所以女生的竞赛成绩在90分以上的概率估计值为.

从该地区参加该活动的全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取2人，估计这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的情况有3种情况，

概率估计值；