数值计算方法地学

数值计算方法地学第1页，课件共69页，创作于2023年2月所谓函数逼近是求一个简单的函数,例如是一个低次多项式,不要求通过已知的这n＋1个点,而是要求在整体上“尽量好”的逼近原函数。这时,在每个已知点上就会有误差,函数逼近就是从整体上使误差尽量的小一些。2.数学描述“对函数类A中给定的函数，要求在另一类较简单的便于计算的函数类B中，求函数，使与之差在某种度量意义下最小。”第2页，课件共69页，创作于2023年2月第3页，课件共69页，创作于2023年2月函数类A通常是区间上的连续函数，记作；函数类B通常是代数多项式，分式有理函数或三角多项式。区间上的所有实连续函数组成一个空间，记作。的范数定义为:称其为—范数，它满足范数的三个性质：

I），当且仅当时才有；

II）对任意成立，为任意实数；

III）对任意，有

第4页，课件共69页，创作于2023年2月度量标准最常用的有两种，一种是在这种度量意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近；

另一种度量标准是

用这种度量的函数逼近称为均方逼近或平方逼近。这里符号及是范数。本章主要研究在这两种度量标准下用代数多项式逼近。第5页，课件共69页，创作于2023年2月3.维尔斯特拉斯定理用一致逼近,首先要解决存在性问题，即对上的连续函数,是否存在多项式一致收敛于？维尔斯特拉斯（Weierstrass）给出了下面定理：定理1设，则对任何,总存在一个代数多项式，使在上一致成立。

证明：略。（伯恩斯坦构造性证明）

第6页，课件共69页，创作于2023年2月假定函数的定义区间是[0,1],可通过线性代换:

把映射到。对给定的，构造伯恩斯坦多项式,此为n次多项式:其中，且

这不但证明了定理1，而且给出了的一个逼近多项式。多项式有良好的逼近性质，但它收敛太慢，比三次样条逼近效果差得多，实际中很少被使用。

第7页，课件共69页，创作于2023年2月§2最佳一致逼近多项式

2-1最佳一致逼近多项式的存在性切比雪夫从另一观点研究一致逼近问题，他不让多项式次数n趋于无穷，而是固定n，记次数小于等于n的多项式集合为,显然。记是上一组线性无关的函数组，是中的一组基。中的元素可表示为其中为任意实数。要在中求逼近，使其误差第8页，课件共69页，创作于2023年2月

这就是通常所谓最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题。

第9页，课件共69页，创作于2023年2月为了说明这一概念，先给出以下定义。定义1，称为在上的偏差。

显然的全体组成一个集合，记为,它有下界0。若记集合的下确界为则称之为在上最小偏差。第10页，课件共69页，创作于2023年2月定义2假定，若存在则称是在上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式，简称最佳逼近多项式。注意，定义并未说明最佳逼近多项式是否存在，但可证明下面的存在定理。

定理2若,则总存在，使.证明略。第11页，课件共69页，创作于2023年2月2-2切比雪夫定理为研究最佳逼近多项式的特性，先引进偏差点定义。

定义3设，若在上有则称是的偏差点。若，称为“正”偏差点。

若，称为“负”偏差点。由于函数在上连续，因此,至少存在一个点，使第12页，课件共69页，创作于2023年2月也就是说的偏差点总是存在的。下面讨论最佳逼近多项式的偏差点性质。第13页，课件共69页，创作于2023年2月定理3若是的最佳逼近多项式，则同时存在正负偏差点。证明:因是的最佳逼近多项式，故。由于在上总有偏差点存在,用反证法，无妨假定只有正偏差点，没有负偏差点，于是对一切都有因在上连续，故有最小值大于，用表示，其中。于是对一切都有第14页，课件共69页，创作于2023年2月故

，

即

.

它表示多项式与的偏差小于

,与是最小偏差的定义矛盾。同样可证明只有负偏差点没有正偏差点也是不成立的。

定理得证。

第15页，课件共69页，创作于2023年2月下面给出反映最佳逼近多项式特征的切比雪夫定理。

定理4.是的最佳逼近多项式的充分必要条件是在上至少有n+2个轮流为“正”、“负”的偏差点，即有n+2个点，使，使

这样的点组称为切比雪夫交错点组。

证明:只证充分性。假定在上有n+2个点使上式成立。要证明是在上的最佳逼近多项式。用反证法，若存在

第16页，课件共69页，创作于2023年2月在点上的符号与一致，故也在n+2个点上轮流取“+”、“－”号。由连续函数性质，它在内有n+1个零点。但因是不超过n次的多项式，它的零点不超过n。这矛盾说明假设不对，故就是所求最佳逼近多项式。充分性得证。必要性证明较繁，思想类似定理3，此处略.

第17页，课件共69页，创作于2023年2月定理4说明用逼近的误差曲线是均匀分布的。由这定理可得以下重要推论。推论1若,则在中存在唯一的最佳逼近多项式。推论2若，则其最佳逼近多项式就是的一个拉格朗日插值多项式。证明

由定理4可知，在上要么恒为0，要么有n+2个轮流取“正”、“负”的偏差点，于是存在n+1个点，使。第18页，课件共69页，创作于2023年2月以为插值节点的拉格朗日插值多项式就是。第19页，课件共69页，创作于2023年2月2-3最佳一次逼近多项式定理4给出了最佳逼近多项式的特性，但要求出却相当困难。下面先讨论n=1的情形。假定，且在内不变号，求最佳一次逼近多项式。根据定理4可知至少有3个点，使第20页，课件共69页，创作于2023年2月第21页，课件共69页，创作于2023年2月代入方程2，得这就得到最佳一次逼近多项式。几何意义。第22页，课件共69页，创作于2023年2月第23页，课件共69页，创作于2023年2月第24页，课件共69页，创作于2023年2月最佳一致逼近多项式定理4.充分必要条件是至少有n+2个轮流为“正”、“负”的偏差点第25页，课件共69页，创作于2023年2月§3函数平方逼近用均方误差最小作为度量标准，研究函数的逼近多项式，就是最佳平方逼近问题。若存在，使

就是在上的最佳平方逼近多项式.第26页，课件共69页，创作于2023年2月第27页，课件共69页，创作于2023年2月由于是关于的二次函数，利用多元函数求极值的必要条件于是有

(内积定义)第28页，课件共69页，创作于2023年2月这是关于的线性方程组，称为法方程，由于线性无关，故系数行列式，于是此方程组有唯一解，从而得到第29页，课件共69页，创作于2023年2月定理5.在上线性无关的充分必要条件是它的克来姆（Gramer）行列式，其中证：在上线性无关，则由方程

知

第30页，课件共69页，创作于2023年2月将此方程两边分别乘以之后再积分，便得到下列方程组：即

此齐次方程组只有零解，故其系数行列式的值一定不为0，即。反之，若，同样对可经过适当变换得到在上线性无关。证毕第31页，课件共69页，创作于2023年2月证明为最佳平方逼近函数,即对任何，有

为此只考虑第32页，课件共69页，创作于2023年2月由于的系数是方程的解，故从而上式第二个积分为0，于是这就证明了是在中的最佳平方逼近函数。

第33页，课件共69页，创作于2023年2月若令，则平方误差为由于

所以第34页，课件共69页，创作于2023年2月若取，则要在中求n次最佳平方逼近多项式

若用H表示对应的矩阵，即第35页，课件共69页，创作于2023年2月此为希尔伯特（Hilbert）矩阵，记，则的解即为所求。

第36页，课件共69页，创作于2023年2月例:设，求[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。解:利用公式得

方程组为解出

第37页，课件共69页，创作于2023年2月平方误差最大误差

用做基，求最佳平方逼近多项式，当n较大时，系数矩阵是高度病态的，求法方程的解，舍入误差很大，这时要用正交多项式做基，才能求得最小平方逼近多项式。第38页，课件共69页，创作于2023年2月§4正交多项式若首项系数的n次多项式,满足就称多项式序列，在[a,b]上带权正交，并称是[a,b]上带权的n次正交多项式。

第39页，课件共69页，创作于2023年2月构造正交多项式的格拉姆－施密特（Gram-Schmidt）方法定理：按以下方式定义的多项式集合是区间[a,b]上关于权函数的正交函数族。

第40页，课件共69页，创作于2023年2月例：求在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式。解：

构造正交多项式

第41页，课件共69页，创作于2023年2月第42页，课件共69页，创作于2023年2月最佳一致逼近:最佳平方逼近第43页，课件共69页，创作于2023年2月4-1勒让德多项式当区间为［－1,1］，权函数时，由正交化得到的多项式就称为勒让德(Legendre)多项式，并用表示。是n次多项式，对其n次求导后得第44页，课件共69页，创作于2023年2月首项的系数

显然最高项系数为1的勒让德多项式为

第45页，课件共69页，创作于2023年2月勒让德(Legendre)多项式具体表达式为第46页，课件共69页，创作于2023年2月性质1正交性证明：反复用分部积分公式，略。

性质2奇偶性n为偶数时为偶函数，n为奇数时为奇函数。

性质3递推关系证明略。

第47页，课件共69页，创作于2023年2月性质4在所有最高项系数为1的n次多项式中，勒让德多项式在［－1，1］上与零的平方误差最小。证：设是任意一个最高项系数为1的多项式，可表示为于是

证毕。性质5在区间［－1，1］内有n个不同的实零点。

第48页，课件共69页，创作于2023年2月4-2第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式

当区间为[-1,1]，权函数时，由序列正交化得到的正交多项式就是第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式。它可表示为若令当在[-1,1]上变化时，对应的在［0，π］上变化，其可改写成第49页，课件共69页，创作于2023年2月具体表达式为是首项系数为的n次多项式。第50页，课件共69页，创作于2023年2月性质1递推关系这只要由三角恒等式

性质2最高项系数为1的对零的偏差最小。即在区间[-1,1]上所有最高项系数为1的一切n次多项式中，与零的偏差最小，偏差为其

第51页，课件共69页，创作于2023年2月第52页，课件共69页，创作于2023年2月例：求在[-1,1]上的最佳2次逼近多项式。解：最佳逼近多项式应满足由性质2知，当即时，与零偏差最小，故就是在［-1,1］上的最佳2次逼近多项式。第53页，课件共69页，创作于2023年2月性质3切比雪夫多项式在区间[-1,1]上带权正交，且第54页，课件共69页，创作于2023年2月性质4只含的偶次幂，只含的奇次幂.

性质5在区间［-1，1］上有个n零点第55页，课件共69页，创作于2023年2月可用的线性组合表示，其公式为具体表达式为

第56页，课件共69页，创作于2023年2月4-3其他常用的正交多项式

一般说，如果区间[-1,1]及权函数不同,则得到的正交多项式也不同。除上述两种最重要的正交多项式外，下面再给出三种较常用的正交多项式。1、第二类切比雪夫多项式在区间[-1,1]上带权的正交多项式称为第二类切比雪夫多项式，其表达式为第57页，课件共69页，创作于2023年2月由，可得即是[-1,1]上带权的正交多项式族，还可得到递推关系式第58页，课件共69页，创作于2023年2月2.拉盖尔多项式

在区间上带权的正交多项式称为拉盖尔（Laguerre）多项式，其表达式为

它也具有正交性质

和递推关系第59页，课件共69页，创作于2023年2月

3、埃尔米特多项式在区间上带权的正交多项式称为埃尔米特（Hermite）多项式，其表达式为它满足正交关系并有递推关系第60页，课件共69页，创作于2023年2月4-4函数按正交多项式展开设，用正交多项式作基，求最佳平方逼近多项式由