2016版步步高高考数学大二轮总复习与增分策略专用理科配套课件审题解题回扣第一篇第四篇14份打包

2.函数与导数第四篇 回归教材，纠错例析，帮你减少高考失分点要点回扣易错警示查缺补漏栏目索引要点回扣1.求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏.对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同.问

题

1

函

数(－1,1)∪(1，＋∞)1－xf(x)＝

1

＋lg(1

＋x)的定义域是.2.用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题.问题2

已知f(cos

x)＝sin2x，则f(x)＝1－x2(x∈[－1,1])

.问题

3

已知函数

f(x)＝3x，x≤0，fx－1，x>0，5那么

f(6)的值为.3.分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数.－12问题

4lg1－x2f(x)＝|x－2|－2是函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”).4.判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响.解析由1－x2>0，|x－2|－2≠0得定义域为(－1,0)∪(0,1)，lg1－x2lg1－x2f(x)＝－x－2－2＝

－x.

∴f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数.奇问题5x函数

f(x)＝1的减区间为

(－∞，0)，(0，＋∞).5.求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连结，可用“及”连结，或用“，”隔开.单调区

间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.6.弄清函数奇偶性的性质奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调

性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|).若奇函数f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)＝0.“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件.问题

6

已知函数

y＝f(x)是

R

上的偶函数，对

x∈R

都有

f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立.当

x1

，x2∈[0,2]

，且

x1≠x2

时，都有fx1－fx2

x1－x2<0，给出下列命题：①f(2)＝0；②直线x＝－4是函数y＝f(x)图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[－4,4]上有4个零点；④f(2

022)＝0.其中所有正确命题的序号为

.解析

令x＝－2，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，解得f(－2)＝0，因为函数f(x)为偶函数，所以f(2)＝0，①正确；因为f(－4＋x)＝f(－4＋x＋4)＝f(x)，f(－4－x)＝f(－4－x＋4)＝f(－x)＝f(x)，所以f(－4＋x)＝f(－4－x)，即x＝－4是函数f(x)的一条对称轴，②正确；1

2

1当x

，x

∈[0,2]，且x

≠x2

时，都有x1－x2fx1－fx2<0，说明函数f(x)在[0,2]上是单调递减函数，又f(2)＝0，因此函数f(x)在[0,2]上只有一个零点，由偶函数知函数f(x)在[－2,0]上也只有一个零点，由f(x＋4)＝f(x)，知函数的周期为4，所以函数f(x)在(2,6]与[－6，－2)上也单调且有f(6)＝f(－6)＝0，因此，函数在[－4,4]上只有2个零点，③错；对于④，因为函数的周期为4，即有f(2)＝f(6)＝f(10)＝…＝f(2

022)＝0，④正确.答案

①②④7.求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数.(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数.(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数.(4)导数法：适合于可导函数.(5)换元法(特别注意新元的范围).(6)分离常数法：适合于一次分式.问题

7

函数

y＝2xx2

＋1(x≥0)的值域为.解析

方法一

∵x≥0，∴2x≥1，∴y1－y≥1，1解得

≤y<1.∴其值域为y∈

12，1.2方法二

y＝1－12x＋1，∵x≥0，∴0<12x＋12≤1，∴y∈1，1.2

12，18.函数图象的几种常见变换平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”.翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|).对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；②函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0

(y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称.问题

8

函数

f(x)＝2x＋1x＋1

的图象的对称中心是.(－1,2)9.有关函数周期的几种情况必须熟记：(1)f(x)＝f(x＋a)(a>0)，fx则f(x)的周期T＝a；(2)f(x＋a)＝

1

(f(x)≠0)或f(x＋a)＝－f(x)则f(x)的周期T＝2a.问题9

对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x＋2)＝－

1fx若当 时，

＝ ，则

＝

－22<x<3

f(x)

x f(2016.5)

5

.10.二次函数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合.二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系.(2)若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形.问题10

若关于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一个正根，则a的取值范围为

－∞，14

.a

Na

alog

M＝log

M－log

N，11.(1)对数运算性质已知a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0.则loga(MN)＝logaM＋logaN，logaMn＝nlogaM，a对数换底公式：log

N＝blog

Nlogba.推论：loga；log

b＝

1

logba.amnalog

NnmN

＝(2)指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y＝ax的图象恒过定点(0,1)，对数函数y＝logax的图象恒过定点(1,0).解析

∵y＝|log2x－1|x>1，2|log

1－x|x<1，问题11函数y＝|log2|x－1||的递增区间是[0,1)，[2，＋∞)

.作图可知正确答案为[0,1)，[2，＋∞).12.幂函数y＝xα(α∈R)

(1)①若α＝1，则y＝x，图象是直线.②当α＝0时，y＝x0＝1(x≠0)图象是除点(0,1)外的直线.③当0<α<1时，图象过(0,0)与(1,1)两点，在第一象限内是上凸的.④当α>1时，在第一象限内，图象是下凸的.(2)增减性：①当α>0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是增函数；②当α<0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是减函数.问题12121函数f(x)＝

x

2

－x

的零点个数为

1

.13.函数与方程对于函数y＝f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.事实上，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根.如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点，即

存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时这个c就是方程f(x)＝0的

根.反之不成立.问题

13若函数

y＝f(x)(x∈R)满足

f(x＋1)＝－f(x)，且x∈[－1,1]时

f(x)＝1－x2.函数

g(x)＝1lg

xx>0，－xx<0，则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,4]内的零点的个数为

.解析

由f(x＋1)＝－f(x)，可得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2，求h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,4]内的零点，即求f(x)＝g(x)在区间[－5,4]上图象交点的个数．画出函数f(x)与g(x)的图象，如图，由图可知两图象在[－5,4]之间有7个交点，所以所求函数有7个零点．答案

7(1)基本导数公式：c′＝0(c

为常数)；(xm)′＝mxm－1

(m∈Q)；(sin

x)′＝cos

x；(cosx)′＝－sin

x；(ex)′＝ex；(ax)′＝axln

a；a(ln

x)′＝1；(log

x)′＝1x xln

a(a>0

且a≠1).14.求导数的方法(2)导数的四则运算：(u±v)′＝u′±v′；

uv(uv)′＝u′v＋uv′；

′＝u′v－uv′v2(v≠0).(3)复合函数的导数：yx′＝yu′·ux′.如求f(ax＋b)的导数，令u＝ax＋b，则

(f(ax＋b))′＝f′(u)·a.问题14

f(x)＝e－2x，则f′(x)＝－2e－2x

.15.利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f′(x)<0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常函数.注意：如果已知f(x)为减函数求字母取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0.增函数亦如此.由f′(x)≥0，得a>0，Δ＝4－12a≤0，解得a≥13.问题15

函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函数，则a的取值范围是解析

f(x)＝ax3－x2＋x－5的导数f′(x)＝3ax2－2x＋1.a＝1时，f′(x)＝(x－1)2≥0，3且只有x＝1

时，f′(x)＝0，3∴a＝1符合题意.1a≥

3

.问题

16

函数

f(x)＝14x4－13x3

的极值点是

.16.导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点.x＝1易错警示易错点1

忽视函数定义域例1

函数

y＝log1

(x

－5x＋6)

的单调递增区间为

.22错因分析

忽视对函数定义域的要求，漏掉条件x2－5x＋6>0.解析

由x2－5x＋6＞0知{x|x＞3或x＜2}.令u＝x2－5x＋6，则u＝x2－5x＋6在(－∞，2)上是减函数，2∴y＝log

1

(x

－5x＋6)

的单调增区间为(－∞，2).2答案

(－∞，2)例

2

定

义

在

R

上

的

函

数f(x)

满

足f(x)

＝log21－x，x≤0，fx－1－fx－2，x>0，则

f(2

016)的值为

.易错点2

分段函数意义理解不准确错因分析

不理解分段函数的意义，误认为应将x＝2

016，代入log2(1－x)，或者认为得不到f(2

016)的值.解析

f(2

016)＝f(2

015)－f(2

014)＝f(2

014)－f(2

013)－f(2

014)＝－f(2

013)＝f(2

010)＝f(0)＝0.答案

0例

3

函数

f(x)＝ax2＋1，x≥0，2

axa

－1e

，x＜0在(－∞，＋∞)上单调，则

a

的取值范围是

.错因分析

只考虑分段函数各段上函数值变化情况，忽视对定义域的临界点处函数值的要求.解析

若函数在

R

上单调递减，则有a＜0，2a

－1＞0，20a

－1e

≥1，解之得

a≤－

2；a＞0，2若函数在R

上单调递增，则有a

－1＞0，2

0a

－1e

≤1，2]∪(1，

2].解得1＜a≤2，故a

的取值范围是(－∞，－答案

(－∞，－

2]∪(1，

2]易错点3

函数零点求解讨论不全面例4

函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m的取值范围是

.错因分析解本题易出现的错误有分类讨论不全面、函数零点定理使用不当，如忽视对m＝0的讨论，就会产生漏解.2解析

当

m＝0

时，x＝1为函数的零点；当m≠0时，若Δ＝0，即m＝1时，x＝1是函数唯一的零点，若Δ≠0，显然x＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f(x)＝mx2－2x＋1＝0有一个正根一个负根，即mf(0)＜0，即m＜0.答案

(－∞，0]∪{1}易错点4

混淆“过点”和“切点”例5

求过曲线y＝3x－x3上的点(2，－2)的切线方程.错因分析

混淆过一点的切线和在一点处切线，错误认为(2，－2)一定是切点.解

设切点为P(x0，y0)，则点P处的切线方程是0y－y0＝(3－3x2)(x－x0).∵点A在切线上，0∴－2－y0＝(3－3x2)(2－x0).①又∵点P在曲线C上，0∴y0＝3x0－x3.②由①②，解得x0＝2或x0＝－1.当x0＝2时，P点的坐标为(2，－2)，切线方程是9x＋y－16＝0.当x0＝－1时，P点的坐标为(－1，－2)，切线方程是y＋2＝0.综上，过点A的曲线C的切线方程是：9x＋y－16＝0或y＋2＝0.易错点5

极值点条件不清例6

已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则a＋b＝

.错因分析

把f′(x0)＝0作为x0为极值点的充要条件，没有对a，b值进行验证，导致增解.2f1＝1＋a＋b＋a

＝10，f′1＝3＋2a＋b＝0，

①②解析

f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由x＝1时，函数取得极值10，得联立①②得a＝4，或a＝－3，b＝－11，

b＝3.当a＝4，b＝－11时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1).在x＝1两侧的符号相反，符合题意.当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3(x－1)2在x＝1两侧的符号相同，所以a＝－3，b＝3不符合题意，舍去.综上可知a＝4，b＝－11，∴a＋b＝－7.答案

－7查缺补漏1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12x，x≥0，1.设函数

f(x)＝

－x，x<0，

若

f(a)＋f(－1)＝2，则

a＝

±1

.解析

依题意，得f(a)＝2－f(－1)＝2－

－－1＝1.当

a≥0

时，有

a＝1，则a＝1；当

a<0

时，有

－a＝1，a＝－1.综上所述，a＝±1.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

122.(2014·山东改编)函数f(x)＝1log2x2－1的定义域为_.解析

由题意知x>0，22log

x

>1，12解得

x>2

或

0<x<

.

120，

∪(2，＋∞)1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12①0.83>0.73;③0.75－0.1<0.750.1;②log0.50.4>log0.50.6；④lg

1.6>lg

1.4.解析

构造相应函数，再利用函数的性质解决，对于①，构造幂函数y＝x3，为增函数，故①对；对于②、④，构造对数函数y＝log0.5x为减函数，y＝lg

x为增函数，②、④都正确；对于③，构造指数函数y＝0.75x，为减函数，故③错.3.下列各式中正确的是

①②④

.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1224.a是

f

x＝2x－log

x

的零点，若0＜x

＜a，则f(x

)的值满足1

0

0f(x0)

<

0(填“>”“<”或“＝”).解析在(0，＋∞)上是单调递增的，这个函数有零点，这个零点是唯一的，根据函数的单调性，知在(0，a)上，这个函数的函数值小于零，即f(x0)＜0.2函数

f

x＝2x－log

x＝2x＋log

x1

21

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

125.(2014·天津改编)函数

f

x＝log

1

(x

－4)

的单调递增区间是2(－∞，－2).2解析

因为

y

log1

t

在定义域上是减函数，2所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2).1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

126.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是

.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12解析

从导函数图象上可以看出函数f(x)的单调递增区间是(－2,0)，单调递减区间是(－∞，－2)，(0，＋∞)，故函数图象最有可能是图象①.答案

①1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

127.已知[x]表示不超过实数x

的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]x0

0

＝－2.若

x

是函数

f(x)＝ln

x－2的零点，则[x

]＝

2

.解析

∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，xx2∴函数f′(x)＝1＋2

>0，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.由

f(2)＝ln

2－2<0，f(e)＝ln

e－2

，知

x

∈(2，e)，e>0

0∴[x0]＝2.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

128.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是

(－2,2)

.解析

因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝f(|x|).因为f(x)<0，f(2)＝0.所以f(|x|)<f(2).又因为f(x)在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以|x|<2，所以－2<x<2.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

129.已知函数

f(x)＝log2x，

x>0，x3

，x≤0且关于

x

的方程

f(x)＋x－a＝0

有且只有一个实根，则实数a

的取值范围是

.解析

方程f(x)＋x－a＝0的实根也就是函数y＝f(x)与y＝a－x的图象交点的横坐标，如图所示，作出两个函数图象，显然当a≤1时，两个函数图象有两个交点，1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12当a>1时，两个函数图象的交点只有一个.所以实数a的取值范围是(1，＋∞).答案

(1，＋∞)1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1210.(2014·江苏)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，解析

作出二次函数f(x)的图象，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，则有fm＋1<0，即fm<0，

m2＋m2－1<0，2m＋1

＋mm＋1－1<0，2解得－2

<m<0.m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m