定积分的概念及性质-课件

定积分的概念及性质第一节一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的性质定积分的概念及性质

第五章教学目的与要求:理解定积分的概念了解定积分的几何意义重点:定积分的概念一、定积分问题举例1、曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A、矩形面积梯形面积abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积、(四个小矩形)(九个小矩形)观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系、播放曲边梯形如图所示,曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为解决步骤小结:1)

分割(大化小):在区间[a,b]中任意插入

n–1个分点用直线将曲边梯形分成n

个小曲边梯形;2)

以直代曲:(常代变)在第i

个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得3)求和(近似和):、4)取极限、令则曲边梯形面积元素法1分割(化整为零)2以直代曲

(以常代变)3求和(积零为整)yxoy=f(x)ab、、分法越细,越接近精确值

曲边梯形的面积f(i)、元素法4取极限yxoy=f(x)令分法无限变细、ab、、、分法越细,越接近精确值1分割(化整为零)2以直代曲

(以常代变)3求和(积零为整)

曲边梯形的面积、f(i)元素法4取极限yxoy=f(x)令分法无限变细、、分法越细,越接近精确值1分割(化整为零)2以直代曲

(以常代变)3求和(积零为整)

曲边梯形的面积f(i)Sab、、、S=、、2、变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s、已知速度思路:把整段时间分割成若干小段,每小段上速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值、解决步骤:1)分割(大化小)、将它分成在每个小段上物体经2)以直代曲(常代变)、得n

个小段过的路程为3)求和(近似和)、4)取极限、上述两个问题的共性:

解决问题的方法步骤相同:“分割(大化小),以直代曲(常代变),

求和(近似和),

取极限”

所求量极限结构式相同:特别乘积和式的极限二、定积分的定义1、定义被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和注意:定理1定理22、可积的充分条件:曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值3、定积分的几何意义各部分面积的代数和几何意义:例1利用定义计算定积分解[注]利用得两端分别相加,得即例2利用定义计算定积分解例3、用定积分表示下列极限:解:说明:依照定积分定义可得如下近似计算方法:将[a,b]分成n等份:(左矩形公式)(右矩形公式)(梯形公式)为了提高精度,还可建立更好的求积公式,例如辛普森公式,复化求积公式等,并有现成的数学软件可供调用、证明利用对数的性质得极限运算与对数运算换序得故对定积分的补充规定:说明

在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小、1、基本内容三、定积分的性质证(此性质能够推广到有限多个函数作和的情况)性质1证性质2补充：不论的相对位置如何,上式总成立.例若性质3(定积分关于积分区间具有可加性)则证性质4性质5解令因此性质5的推论:证(1)证说明：可积性是显然的.性质5的推论:(2)证(此性质可用于估计积分值的大致范围)性质6解解例4、

试证:证:

设则在上,有即故即证由闭区间上连续函数的介值定理知性质7(定积分中值定理)积分中值公式使即积分中值公式的几何解释:说明:

可把故它是有限个数的平均值概念的推广、

积分中值定理对因例5、

计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均速度、解:

已知自由落体速度为故所求平均速度解由积分中值定理知有使五、小结１、定积分的实质:特别和式的极限、２、定积分的思想和方法:分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直(不变)代曲(变)取极限3、定积分的性质(注意估值性质、积分中值定理的应用)4、典型问题(１)估计积分值;(２)不计算定积分比较积分大小、考虑题1将和式极限:表示成定积分、考虑题1解答原式考虑题2考虑题2解答例3、P233题34、P233题8(2),(4)题8(4)解:设则即练习题1练习题1答案练习题2练习题2答案观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系、观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系、观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系、观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系、观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系、观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系、观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系、观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系、观察下列演示