2021年安徽省滁州市官桥中学高三数学理上学期期末试题含解析

2021年安徽省滁州市官桥中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若＝在上恒正，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C2.直线x＋ay＋1＝0与直线(a＋1)x－2y＋3＝0互相垂直，则a的值为

()．A．－2

B．－1

C．1

D．2参考答案：A3.若函数f(x)=在区间上有极值点,则实数的取值范围是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C4.线段是圆的一条直径，离心率为的双曲线以为焦点．若是圆与双曲线的一个公共点，则A.

B.

C.

D.参考答案：D5.已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略6.等差数列的前项和为30,前项和为100,则它的前项和是(

)A、130

B、170

C、210

D、260参考答案：C7.将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为偶函数，则的值为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】利用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解，得到答案．【详解】将将函数的图象向左平移个单位长度，可得函数又由函数为偶函数，所以，解得，因为，当时，，故选D．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8.复数的虚部为（）A．2i

B．﹣2i

C．2

D．﹣2参考答案：C考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．3794729专题：计算题．分析：因为2﹣i与2﹣i互为共轭复数，所以直接通分即可．解答：解：∵复数====2i．故该复数的虚部为2．故选C．点评：本题考查了复数的运算和基本概念，其中分子、分母都乘以分母的共轭复数是解决问题的关键．9.表示不超过的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知，，则函数的零点个数是()A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：A10.已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量的方向相反的单位向量是（）A．（﹣，） B．（﹣，） C．（，﹣） D．（，﹣）参考答案：A考点：单位向量．专题：平面向量及应用．分析：利用与向量的方向相反的单位向量=即可得出．解答：解：=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），==5．∴与向量的方向相反的单位向量===．故选：A．点评：本题考查了与向量的方向相反的单位向量=，属于基础题二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．参考答案：16π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图可知几何体上部是一个高为3圆锥，下部是一个高为3圆柱，底面半径都是2，根据柱体的体积公式得到结果．解答：解：根据三视图可知几何体上部是一个高为3圆锥，下部是一个高为3圆柱，底面半径都是2，∴几何体的体积是

×22×π×3+22×π×3=16π．故答案为：16π．点评：本题考查由三视图求几何体的体积和由三视图还原三视图，本题解题的关键是看清各部分的数据，这样计算就不会出错．12.已知变量满足约束条件的最大值为5，且k为负整数，则k=____________.参考答案：利用线性规划的知识画出不等式组表示的可行域如下图所示:其中点根据线性规划知识可得，目标函数的最优解必在点处取得，由

所以.13.函数在区间上的最大值是

.参考答案：214.（5分）计算2lg﹣lg5=．参考答案：1【考点】：对数的运算性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：直接利用对数的运算法则化简求解即可．解：2lg﹣lg5=lg50﹣lg5=lg10=1．故答案为：1．【点评】：本题考查对数的运算法则，考查计算能力．15.在平面直角坐标系中，是坐标原点，若两定点满足，则点集所表示的区域的面积是

.参考答案：略16.已知函数满足对任意的都有成立，则＝

．参考答案：7略17.设为实数，若复数，则A.

B.

C.

D.参考答案：A略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线：上的点到其焦点的距离为.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）已知直线不过点且与相交于，两点，且直线与直线的斜率之积为，证明：过定点.参考答案：（Ⅰ）由题意，得，即.由抛物线的定义，得.由题意，.解得，或（舍去）.所以的方程为.（Ⅱ）证法一：设直线的斜率为（显然），则直线的方程为，则.由消去并整理得.设，由韦达定理，得，即..所以.由题意，直线的斜率为.同理可得，即.若直线的斜率不存在，则.解得，或.当时，直线与直线的斜率均为，，两点重合，与题意不符；当时，直线与直线的斜率均为，，两点重合，与题意不符.所以，直线的斜率必存在.直线的方程为，即.所以直线过定点.证法二：由（1），得.若的斜率不存在，则与轴垂直.设，则，.则.（，否则，，则，或，直线过点，与题设条件矛盾）由题意，，所以.这时，两点重合，与题意不符.所以的斜率必存在.设的斜率为，显然，设：，由直线不过点，所以.由消去并整理得.由判别式，得.设，，则①，②，则.由题意，.故③将①②代入③式并化简整理得，即.即，即.又，即，所以，即.所以：.显然过定点.证法三：由（1），得.设：，由直线不过点，所以.由消去并整理得.由题意，判别式.设，，则①，②则.由题意，，即③将①②代入③式得，即.所以：.显然过定点.19.（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C:上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足(1)求点P的轨迹方程；(2)设点在直线x=-3上，且.证明过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.参考答案：20.（14分）f(x)是定义在[0，1]上的增函数，满足f(x)=2f()且f(1)=1，在每个区间（i=1，2，…）上，y=f(x)的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分。（I）求f(0)及f()，f()的值，并归纳出f()（i=1，2，…）的表达式；（II）设直线x=，x=，x轴及y=f(x)的图象围成的梯形的面积为ai

(i=1，2，…)，记S(k)=(a1+a2+…+an)，求S(k)的表达式，并写出其定义域和最小值。参考答案：解析：（I）由f(0)=2f(0)，得f(0)=0.

由f(1)=2f()及f(1)=1，得f()=f(1)=.

同理，f()=f()=.

归纳得f()=(i=1，2，…).（II）当<x≤时，f(x)=+k(x-)，ai=[++k(－)](－)

=(1－)(i=1，2，…).所以{an}是首项为(1－)，公比为的等比数列，所以S(k)=(a1+a2+…+an)=(1－).S(k)的定义域为0<k≤1，当k=1时取得最小值.21.设函数f(x)=lnx-ax+1.(Ⅰ)若函数f(x)为单调函数,求实数a的取值范围;(Ⅱ)当a>0时,恒有f(x)￡0,求a的取值范围;(Ⅲ)证明:(n?N,n32).参考答案：解析：(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+￥),

f￠(x)=-a.若函数f(x)为单调递增函数,则f￠(x)=-a30(x>0)恒成立,

∴a￡0;若函数f(x)为单调递减函数,则f￠(x)=-a￡0(x>0)恒成立,

此时a不存在,因此,a的取值范围是(-￥,0].(Ⅱ)当a>0时，令f￠(x)=0,得x=?(0,+￥),f￠(x)、f(x)随x的变化情况如下表:x(0,)(,+￥)f￠(x)＋0－f(x)递增极大值递减所以,

f(x)在x=处取得极大值f()=ln,因为,当a>0时，f(x)有唯一的极大值点x=,所以,此极大值也是最大值.要使f(x)￡0恒成立,只需f()=ln￡0,解得a31,∴a的取值范围是[1,+￥).

(Ⅲ)证明:令a=1,由(Ⅱ)知lnx-x+1￡0,∴lnx￡x-1,当n?N,n32时,ln