2022-2023学年上海洪庙中学高三数学文上学期期末试题含解析

2022-2023学年上海洪庙中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值是(

)A． B．﹣ C．﹣2 D．4参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】由题意可得2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆心，可得a+b=1，则=+=2++，再利用基本不等式求得它的最小值．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y+1=0，即（x+1）2+（y﹣2）2=4，表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆心，故有﹣2a﹣2b+2=0，求得a+b=1，则=+=2++≥4，当且仅当a=b=时，取等号，故则的最小值为4，故选：D．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．2.设是双曲线的右焦点，双曲线两条渐近线分别为，过作直线的垂线，分别交于、两点，且向量与同向．若成等差数列，则双曲线离心率的大小为A．2

B．

C．

D．参考答案：D3.已知函数f（x）=klnx+1（k∈R），函数g（x）=f（x2﹣4x+5），若存在实数k使得关于x的方程g（x）+sinx=0有且只有6个实数根，则这6个根的和为（）A．3π B．6 C．12 D．12π参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据条件，先判断g（x）关于x=2对称，然后利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题进行求解即可．【解答】解：∵y=x2﹣4x+5的对称轴为x=2，∴由g（x）=f（x2﹣4x+5），得g（x）关于x=2对称，由g（x）+sinx=0得g（x）=﹣sinx，作出函数y=﹣sinx的图象，若程g（x）+sinx=0只有6个根，则六个根两两关于x=2对称，则关于对称的根分别为x1和x2，x3和x4，x5和x6，则=2，=2，=2则x1+x2=4，x3+x4=4，x5+x6=4则这6个根之和为4+4+4=12，故选：C．4.抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在准线上的射影为的最大值为A． B． C． D．参考答案：B5.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，则公差d等于（）A．5 B．4 C．3 D．2参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列前n项和公式、通项公式列出方程组，由此能求出公差．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，∴，解得a3=﹣2，d=4．故选：B．6.已知函数f（x）=ex﹣（x+1）2（e为自然对数的底数），则f（x）的大致图象是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的图象．【分析】求出导函数，利用导函数判断函数的单调性．根据数形结合，画出函数的图象，得出交点的横坐标的范围，根据范围判断函数的单调性得出选项．【解答】解：f'（x）=ex﹣2（x+1）=0，相当于函数y=ex和函数y=2（x+1）交点的横坐标，画出函数图象如图由图可知﹣1＜x1＜0，x2＞1，且x＞x2时，f'（x）＞0，递增，故选C【点评】考查了导函数的应用和利用数形结合的方法判断极值点位置．7.右图中阴影部分表示的集合是（

）A．

B．

C．（）

D．（）参考答案：答案：A

8.如果执行右边的程序框图，输入x＝－12，那么其输出的结果是（

）A．9

B．3

C．

D．参考答案：C略9.已知a＝0.7－，b＝0.6－，c＝log2.11.5，则a，b，c的大小关系是()A．c＜a＜b

B．c＜b＜a

C．a＜b＜c

D．b＜a＜c参考答案：A略10.设,,,则（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据与特殊点的比较可得因为,,,从而得到,得出答案.【详解】解:因为,,,所以.故选:B【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数的单调性与特殊点的问题,要熟记一些特殊点,如,,.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）若P（x，y）在圆（x﹣3）2+（y﹣）2=3上运动，则的最大值为

．参考答案：考点： 圆的标准方程．专题： 直线与圆．分析： 设=k，利用点到直线的距离公式以及直线和圆的位置关系进行求解．解答： 解：设=k，即kx﹣y=0，∵P（x，y）在圆（x﹣3）2+（y﹣）2=3上运动，∴圆心（3，）到直线kx﹣y=0的距离d=，平方得（3k﹣）2≤3（1+k2）即k2﹣k≤0，解得0≤k≤．故的最大值为．故答案为：点评： 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据点到直线的距离公式和半径之间的关系是解决本题的关键12.设全集U=R，集合A={x|x2﹣4x﹣5=0}，B={x|x2=1}，则A∩B=

，A∪B=

，A∩（?UB）=

．参考答案：{﹣1}，{﹣1，1，5}，{5}。考点：交、并、补集的混合运算；并集及其运算；交集及其运算．专题：集合．分析：确定出A与B，找出A与B交集、并集及A与B的补集即可．解答： 解：∵集合A={x|x2﹣4x﹣5=0}={﹣1，5}，B={x|x2=1}={﹣1，1}，∴?UB=B={x|x≠±1}，∴A∩B={﹣1}，A∪B={﹣1，1，5}，A∩（?UB）={5}．故答案为：{﹣1}，{﹣1，1，5}，{5}．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．13.设函数的导函数为且，则下列三个数：从小到大依次排列为

（e为自然对数的底数）参考答案：略14.如图所示，平面四边形ABCD的对角线交点位于四边形的内部，，当变化时，对角线BD的最大值为

．参考答案：

15.已知复数z满足z（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z的实部为

．参考答案：1【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（1﹣i）=2，得，∴z的实部为1．故答案为：1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．16.设曲线处的切线与x轴的交点的横坐标为的值为_________.参考答案：略17.的展开式中有理项系数之和为

．参考答案：32三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）在中，，，分别是角，，的对边，若，，的面积为，求边的长.参考答案：（Ⅰ）所以的最小正周期令，解得所以的单调递减区间是（Ⅱ）∵，∴，又∵∴∵，的面积为∴∴19.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是D1C1的中点，.（Ⅰ）求证：平面平面DCC1D1；（Ⅱ）求二面角的余弦值.参考答案：（I）证明见解析；（II）.【分析】（Ⅰ）由长方体特点知平面，根据面面垂直判定定理证得结论；（Ⅱ）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法求得结果.【详解】（Ⅰ）∵是长方体

平面又平面

平面平面.（Ⅱ）以为坐标原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，

，.设平面的一个法向量为由得：，令，则，

又平面的一个法向量，二面角是钝二面角

二面角的余弦值为【点睛】本题考查立体几何中面面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题，涉及到面面垂直的判定定理的应用；关键是能够熟练掌握二面角的向量求法，易错点是忽略所求二面角的范围，造成求解错误.20.（本题满分12分）对于双曲线，定义为其伴随曲线，记双曲线的左、右顶点为、.（1）当时，记双曲线的半焦距为，其伴随椭圆的半焦距为，若，求双曲线的渐近线方程；（2）若双曲线的方程为，弦轴，记直线与直线的交点为，求动点的轨迹方程；（3）过双曲线的左焦点，且斜率为的直线与双曲线交于、两点，求证：对任意的，在伴随曲线上总存在点，使得.参考答案：（1）∵，由，得，即可得∴的渐近线方程为（2）设，，又、，∴直线的方程为…………①直线的方程为…………②由①②得∵在双曲线上∴，∴（3）证明：点的坐标为，直线的方程为，设、的坐标分别为、则由得，即，当时，∵∴，，由知，∴∵双曲线的伴随曲线是圆，圆上任意一点到的距离，∴∵∴对任意的，在伴随曲线上总存在点，使得21.在数列中，已知.（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等差数列；（3）设数列满足的前项和.参考答案：（1）；（2）因为，所以.因为，公差，所以数列是首项，公差的等差数列.（3）.试题分析：（1）直接由题意知数列是首项为，公比为的等比数列，由等比数列的通项公式知，即为所求；（2）将（1）中的结论代入中，化简得，由等差数列的定义知，数列是首项，公差的等差数列.即为所证.（3）由（1）和（2）知，数列是首项为，公比为的等比数列，数列是首项，公差的等差数列.所以数列的前项和可用分组求和进行计算得出结果.试题解析：（1）,∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴.（2）因为，所以.因为，公差，所以数列是首项，公差的等差数列.（3）由（1）知，,所以所以.考点：等差数列；等比数列；分组求和.22.（14分）

如图，直三棱柱ABC—A1B1C1的底面积是等腰直角三角形，∠A1B1C1=90°，A1C1=1，AA1=，M、N、D分别是线段AC1、B1B、A1B-1的中点。

（I）证明：MN//平面ABC；

（II）证明：，并求出二面角A1—AB1—C1的大小。参考答案：解析：