湖北省荆门市栗溪职业高级中学高三数学理月考试题含解析

湖北省荆门市栗溪职业高级中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】二面角的平面角及求法．【分析】AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角．【解答】解：如图所示：由已知得球的半径为2，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，在△ABC△中，PO=2，OD=BC=，∴，sinθ=．故选：C2.若函数的图象向右平移个单位后与原函数的图象关于x轴对称，则的最小正值是

A．

B．1

C．2

D．3参考答案：D若函数向右平移个单位后与原函数的图象关于x轴对称，则平移的大小为,所以,所以，即，所以选D.3.曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A．9 B． C． D．参考答案：B由，得，∴，∴，∴曲线在点处的切线方程为．令，得；令得．∴切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为．选B．

4.在等差数列{an}中，前n项和为Sn，若a7=5，S7=21，那么S10等于（）A．55 B．40 C．35 D．70参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】根据a7=5，S7=21，利用等差数列的通项公式得到关于首项和公差的两个方程，联立求出首项和公差，根据求出的首项与公差，利用等差数列的前n项和的公式求出S10即可．【解答】解：根据a7=5，S7=21得：，由②化简得a1+3d=3③，①﹣③得3d=2，解得d=，把d=代入①即可解得a1=1，所以，则S10=10a1+d=10+30=40故选B【点评】此题要求学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道中档题．5.设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为

（

）A.6

B.7

C.8

D.23参考答案：D略6.已知,函数在上单调递减.则的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：A略7.已知是平面区域内的动点，向量=（1,3），则的最小值为（

）A.-1

B．

-12

C.

-6

D．-18参考答案：D8.已知圆的极坐标方程是，那么该圆的直角坐标方程是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A9.过双曲线的左焦点F（-c，0）(c＞0),作圆的切线，切点为E，延长FE交曲线右支于点P，若

,则双曲线的离心率为A．B．

C．D．参考答案：C因为，所以为的中点，令右焦点为，则为的中点，则，因为为切点，所以，，因为，所以，在中，，即，所以.10.“”是“”的A.充分非必要条件

B.

必要非充分条件C.充分必要条件

D.非充分非必要条件参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为___________.参考答案：略12.（12）若2、、、、9成等差数列，则

．参考答案：．13.如题15图所示，过抛物线的焦点F作直线交C于A、B两点，过A、B分别向C的准线作垂线，垂足为，已知四边形的面积分别为15和7，则的面积为

。参考答案：提示：首先证，然后有题意有两式作积得解这个方程得

14.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，a2=2且Sn+2﹣3Sn+1+2Sn+an=0，（n∈N*），记Tn=，若（n+6）λ≥Tn对n∈N*恒成立，则λ的最小值为．参考答案：【考点】8K：数列与不等式的综合．【分析】推导出Sn+2﹣3Sn+1+2Sn+an=an+2﹣2an+1+an=0，从an+2﹣an+1=an+1﹣an，进而{an}是首项为1，公差为2﹣1=1的等差数列，由此得到==2（），由此利用裂项求和法能求出λ的最小值．【解答】解：∵数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，a2=2且Sn+2﹣3Sn+1+2Sn+an=0，（n∈N*），∴Sn+2﹣3Sn+1+2Sn+an=Sn+2﹣Sn+1﹣2（Sn+1﹣Sn）+an=an+2﹣2an+1+an=0，∴an+2﹣an+1=an+1﹣an，∴{an}是首项为1，公差为2﹣1=1的等差数列，∴an=1+（n﹣1）×1=n，，∴==2（），∴Tn=2（）=，∵（n+6）λ≥Tn对n∈N*恒成立，∴，∵n=2或n=3时，有最大值，∴，∴λ的最小值为．故答案为：．15.若的展开式中的系数为20，则

．参考答案：

16.已知等差数列的公差和首项都不等于0，且，，成等比数列，则

参考答案：217.若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为________________。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知：数列的前项和为，且满足，．（Ⅰ）求：数列的通项公式；（Ⅱ）若数列的前项和为，且满足，求数列的前项和．参考答案：略19.（2017?贵州模拟）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，将△ABC沿中位线DE翻折得到如图2所示的空间图形，使二面角A﹣DE﹣C的大小为θ（0＜θ＜）．（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；（2）若θ=，求直线AE与平面ABC所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）证明：DE⊥平面ADB，DE∥BC，可证BC⊥平面ABD，即可证明平面ABD⊥平面ABC．（2）取DB中点O，AO⊥DB，由（1）得平面ABD⊥平面EDBC，AO⊥面EDBC，所以以O为原点，建立如图坐标系，则A（0，0，），B（1，0，0），C（1，4，0），E（﹣1，2，0），利用平面ABC的法向量求解．【解答】（1）证明：由题意，DE∥BC，∵DE⊥AD，DE⊥BD，AD∩BD=D，∴DE⊥平面ADB，∴BC⊥平面ABD；∵面ABC，∴平面ABD⊥平面ABC；（2）由已知可得二面角A﹣DE﹣C的平面角就是∠ADB设等腰直角三角形ABC的直角边AB=4，则在△ADB中，AD=DB=AB=2，取DB中点O，AO⊥DB，由（1）得平面ABD⊥平面EDBC，∴AO⊥面EDBC，所以以O为原点，建立如图坐标系，则A（0，0，），B（1，0，0），C（1，4，0），E（﹣1，2，0）设平面ABC的法向量为，，．由，取，}，∴直线AE与平面ABC所成角的θ，sinθ=|cos＜＞|=||=．即直线AE与平面ABC所成角的正弦值为：【点评】本题考查线面垂直，考查向量法求二面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.如图是某小区2017年1月至2018年1月当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码1—13分别对应2017年1月—2018年1月）根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值：

残差平方和0.0005910.000164总偏差平方和0.006050（1）请利用相关指数判断哪个模型的拟合效果更好；（2）某位购房者拟于2018年6月份购买这个小区平方米的二手房（欲购房为其家庭首套房）.若购房时该小区所有住房的房产证均已满2年但未满5年，请你利用（1）中拟合效果更好的模型解决以下问题：（i）估算该购房者应支付的购房金额.（购房金额=房款+税费；房屋均价精确到0.001万元/平方米）（ii）若该购房者拟用不超过100万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积.（精确到1平方米）附注：根据有关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按房屋的计税价格进行征收.（计税价格=房款）征收方式见下表：契税（买方缴纳）首套面积90平方米以内（含90平方米）为1%；首套面积90平方米以上且144平方米以内（含144平方米）为1.5%；面积144平方米以上或非首套为3%增值税（卖方缴纳）房产证未满2年或满2年且面积在144平方米以上（不含144平方米）为5.6%；其他情况免征个人所得税（卖方缴纳）首套面积144平方米以内（含144平方米）为1%；面积144平方米以上或非首套均为1.5%；房产证满5年且是家庭唯一住房的免征参考数据：，，，，，，，.参考公式：相关指数.参考答案：（1）【考查意图】本小题以购房问题为背景，以散点图、相关指数为载体，考查回归分析等基础知识，考查数据处理能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识，考查统计与概率思想等.【解法综述】只要理解相关指数的意义便可通过简单估算解决问题.【错因分析】考生可能存在的错误有：不懂相关指数的意义导致判断错误.【难度属性】易.（2）（i）【考查意图】本小题以估算购房金额为载体，考查回归分析、函数等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想、函数与方程思想等.考查学生在复杂的问题情境中获取有用信息分析问题和解决问题的能力.【解法综述】通过散点图确定2018年6月对应的的取值，代入（1）中拟合效果更好的模型，并利用参考数据即可求出二手房均价的预测值，通过阅读税收征收方式对应的图表信息，选择有用的信息，进行合理分类建立正确的函数模型，便能顺利求解.思路：由（1）的结论知，模型的拟合效果更好，通过散点图确定2018年6月对应的的取值为18，代入并利用参考数据即可求出二手房均价的预测值，通过阅读税收征收方式对应的图表信息，选择有用的信息，进行合理分类建立正确的函数模型，便能顺利求解.【错因分析】考生可能存在的错误有：不能根据散点图得到2018年6月对应的的取值为18，导致2018年6月当月在售二手房均价预测错误；不能从大量复杂的文字和图表中获取有用信息，混淆买方缴纳契税与卖方缴纳的相关税费；不能合理分类导致错误.【难度属性】中.（2）（ii）【考查意图】本小题以估算可购房屋最大面积问题为载体，考查函数与不等式等基础知识，考查运算求解能力及应用意识，考查函数与方程思想等.【解法综述】首先直观估算100万可购买的最大面积的大致范围，再利用（2）（i）中相应的结论求解.思路：首先通过估算得到，90平方米的购房金额小于100万而100平方米的房款大于100万，从而判断100万可购买的面积在90至100平方米之间，便可利用（2）（i）中相应的结论求解.【错因分析】考生可能存在的错误有：不会估算出100万可购买房屋的最大面积在90至100平方米之间，导致无从下手；未先估算100万可购买房屋的最大面积所在的范围，根据（2）（i）中的函数解析式逐一计算，使得解题过程繁杂导致计算出错.【难度属性】中.21.求下列各式的值．（1）（）+﹣（）+3?e0；

（2）；（3）lg25+lg2?lg50．参考答案：【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）利用有理指数幂的运算法则化简求解即可．（2）（3）利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】（本题满分12分）解：（1）（）+﹣（）+3?e0=+10+3=13．（2）==3．（3）lg25+lg2?lg50=lg25+lg?lg（10×5）=lg25+（1﹣lg5）?（1+lg5）=1．【点评】本题考查对数的运算法则的应用，有理指数幂的化简求值，考查计算能力．22.如图，在四棱锥中，是平行四边形，，,分别是的中点.(Ⅰ)证明：平面平面；(Ⅱ)求二面角的余弦值.参考答案：解法一：(Ⅰ)取中点，连,∵,∴,∵是平行四边形，,,∴,∴是等边三角