2021年湖南省娄底市桑梓乡桑梓中学高三数学文模拟试题含解析

2021年湖南省娄底市桑梓乡桑梓中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图,已知ABCDEF是边长为1的正六边形,则的值为（

）A．B．C．D．－参考答案：C2.球O的半径为1，该球的一小圆O1上两点A、B的球面距离为，则=

A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.若函数f（x）=loga（x+b）的图象如图，其中a，b为常数．则函数g（x）=ax+b的大致图象是（）A．B．C．D．

参考答案：D4.已知函数的图像向右平移个单位，得到的图像恰好关于直线对称，则的最小值为

（

）A.

B.

C.

D.以上都不对参考答案：A5.设U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则下列结论中正确的是(

)A．A?B B．A∩B={2}C．A∪B={1，2，3，4，5} D．A∩?UB={1}参考答案：D【考点】补集及其运算；交集及其运算．【专题】计算题．【分析】先求出集合的补集，看出两个集合的公共元素，做出两个集合的交集，得到结果．【解答】解：∵?UB={1，5}，A={1，2，3}，∴A∩?UB={1}故选D．【点评】本题考查两个集合之间的运算，是一个基础题，本题解题的关键是先写出集合的补集，在求两个集合的交集．6.在极坐标系中，直线l的方程为，则点到直线l的距离为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；点到直线的距离公式．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，直接使用点到直线的距离公式求出结果．【解答】解：点的直角坐标为（﹣，），直线：l：即ρsinθ+ρcosθ=1，化为直角坐标方程为x+y﹣1=0．由点到直线的距离公式得d==，故选B．7.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（

）A．

B．

C．D．

参考答案：D8.设不等式的解集为M，函数的定义域为N，则为（A）[0，1）

（B）（0，1）

（C）[0，1]

（D）（-1，0]参考答案：解析：不等式的解集是，而函数的定义域为，所以的交集是[0，1），故选择A9.从一个棱长为1的正方体中切去若干部分，得到一个几何体，其三视图如下图，则该几何体的体积为A.

B.

C.

D.参考答案：C10.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是(

)A．9

B．12

C．11

D．

参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）的定义域为R，其图象关于点（1，0）中心对称，其导函数为f′（x），当x＜1时，（x﹣1）[f（x）+（x﹣1）f′（x）]＞0，则不等式xf（x+1）＞f（2）的解集为．参考答案：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意设g（x）=（x﹣1）f（x），求出g′（x）后由条件判断出符号，由导数与函数单调性的关系判断出g（x）在（﹣∞，1）上递减，由条件和图象平移判断出：函数f（x+1）的图象关于点（0，0）中心对称，由奇函数的图象可得：函数f（x+1）是奇函数，令h（x）=g（x+1）=xf（x+1），判断出h（x）的奇偶性和单调性，再等价转化不等式，求出不等式的解集．【解答】解：由题意设g（x）=（x﹣1）f（x），则g′（x）=f（x）+（x﹣1）f′（x），∵当x＜1时，（x﹣1）[f（x）+（x﹣1）f′（x）]＞0，∴当x＜1时，f（x）+（x+1）f′（x）＜0，则g（x）在（﹣∞，1）上递增，∵函数f（x）的定义域为R，其图象关于点（1，0）中心对称，∴函数f（x+1）的图象关于点（0，0）中心对称，则函数f（x+1）是奇函数，令h（x）=g（x+1）=xf（x+1），∴h（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0）递减，由偶函数的性质得：函数h（x）在（0，+∞）上递增，∵h（1）=f（2），∴不等式xf（x+1）＞f（2）化为：h（x）＞h（1），即|x|＞1，解得：x＞1或x＜﹣1，∴不等式的解集是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【点评】本题考查导数与单调性的关系，偶函数的定义以及性质，函数图象的平移变换，以及函数单调性的应用，考查转化思想，构造法，化简、变形能力．12.渐近线为，且过点的双曲线方程是__________．参考答案：∵双曲线的一条渐近线为，∴设为双曲线方程，∵点在双曲线上，代入可得，∴标准方程为．13.在电视节目《爸爸去哪儿》中，五位爸爸个带一名子（女）体验乡村生活.一天，村长安排1名爸爸带3名小朋友去完成某项任务，至少要选1个女孩（5个小朋友中3男2女）,Kimi(男）说我爸爸去我就去，我爸爸不去我就不去；石头（男）生爸爸的气，说我爸爸去我就不去，我爸爸不去，我就去；其他人没意见，那么可选的方案有

种.参考答案：略14.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球体积为___________.参考答案：

【知识点】由三视图求面积、体积G2由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其四个顶点是以俯视图为底面，以2为高的三棱柱的四个顶点，故其外接球，即为以俯视图为底面，以2为高的三棱柱的外接球，由底面两直角边长分别为，，故相当于棱长分别为，，2的长方体的外接球，故满足，所以，几何体的外接球的体积为，故答案为：．【思路点拨】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，代入体积公式，可得答案．15.若对任意x∈R，不等式sin2x﹣2sin2x﹣m＜0恒成立，则m的取值范围是 ．参考答案：（﹣1，+∞）考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：问题转化为m＞sin2x﹣2sin2x对任意x∈R恒成立，只需由三角函数求出求t=sin2x﹣2sin2x的最大值即可．解答： 解：∵对任意x∈R，不等式sin2x﹣2sin2x﹣m＜0恒成立，∴m＞sin2x﹣2sin2x对任意x∈R恒成立，∴只需求t=sin2x﹣2sin2x的最大值，∵t=sin2x﹣2sin2x=sin2x﹣（1﹣cos2x）=sin2x+cos2x﹣1=sin（2x+）﹣1，∴当sin（2x+）=1时，t取最大值﹣1，∴m的取值范围为（﹣1，+∞）故答案为：（﹣1，+∞）点评：本题考查三角函数的最值，涉及恒成立问题和三角函数公式的应用，属基础题．16.△ABC的三个内角为A，B，C，若，则2cosB+sin2C的最大值为．参考答案：【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；HW：三角函数的最值．【分析】由已知利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用可得2cosB+sin2C=﹣2（cosB﹣）2+，进而利用余弦函数的值域，二次函数的性质求得2cosB+sin2C的最大值．【解答】解：∵，∴2cosB+sin2C=2cosB+sin2[π﹣（A+B）]=2cosB+sin2[π﹣（+B）]=2cosB+sin（﹣2B）=2cosB﹣cos2B=2cosB﹣（2cos2B﹣1）=﹣2cos2B+2cosB+1=﹣2（cosB﹣）2+，∵B∈（0，），cosB∈（﹣，1），∴当cosB=时，2cosB+sin2C取得最大为．故答案为：．17.解集为．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.本小题满分13分）已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且短轴长为4，离心率为。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的焦点在y轴上，斜率为1的直线l与C相交于A，B两点，且，求直线l的方程。

参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅰ）设椭圆C的长半轴长为a（a>0），短半轴长为b（b>0），则2b=4，。

2分解得a=4，b=2。

3分因为椭圆C的对称轴为坐标轴，所以椭圆C的方程为标准方程，且为。

5分（Ⅱ）设直线l的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2）,

6分由方程组，消去y，得，

7分由题意，得，8分且，

9分因为

，11分所以，解得m=±2,验证知△＞0成立，所以直线l的方程为。

13分略19.（本小题满分14分）设等差数列的前n项和为，且．数列的前n项和为，且，．（I）求数列,的通项公式；（II）设，求数列的前项和．参考答案：（Ⅰ）由题意，，得．

…………3分

，，，两式相减，得数列为等比数列，．

…………7分（Ⅱ）．当为偶数时，

=．

……………10分当为奇数时，（法一）为偶数，

……………13分（法二）

．

……………13分

……………14分20.设,若直线与轴相交于点A,与y轴相交于B，且l与圆相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则面积的最小值为

。参考答案：321.中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受．如图（1）为一花窗；图（2）所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30cm，宽26cm，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为xcm和ycm，窗芯所需条形木料的长度之和为L．（1）试用x，y表示L；（2）如果要求六根支条的长度均不小于2cm，每个菱形的面积为130cm2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？参考答案：【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】（1）分别求出水平方向每根支条长、竖直方向每根支条长、菱形的边长，即可用x，y表示L；（2）．换元，求导确定函数的单调性，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，水平方向每根支条长为cm，竖直方向每根支条长为cm，菱形的边长为cm．从而，所需木料的长度之和L==cm．（2）由题意，，即，又由可得．所以．令，其导函数在上恒成立，故在上单调递减