四川省成都市新都区2020-2021学年八年级(下)期末数学试卷及答案解析

2020-2021学年四川省成都市新都区八年级（下）期末数学试卷一、选择题：（每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的，将你所选答案的字母涂在答题卡上）1．（3分）已知：m＞n，下列不等式中正确的是（）A．m﹣2＜n﹣2B．﹣m＞﹣nC．2m＞2nD．＜2．（3分）已知一个等腰三角形的两边长分别为9和4，则第三边长是（）A．5B．9C．4D．63．（3分）下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（3分）下列命题是假命题的是（）A．两条直角边分别相等的两个直角三角形全等B．斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等C．两个锐角分别相等的两个直角三角形全等D．一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等5．（3分）下列各式不能用平方差公式法分解因式的是（）A．a2﹣4B．﹣x2+y2C．x2y2﹣1，a+，（m+n），D．﹣m﹣n226．（3分）下列各式中：，，，其中分式的个数有（）A．3B．4C．5D．67．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A．C．B．D．第1页（共6页）8．（3分）下列条件中能判断一个四边形是正方形的是（A．对角线互相垂直且相等）B．一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角为90度C．对角线平分每一组对角D．四边相等且有一个角是直角）D．△ABC三条高所在直线的交点处知△BCE的周长是10，AC﹣BC＝2，则底边BC长是（）k的取值范围．12．（4分）分解因式x2﹣12xy+36y＝213．（4分）若分式的值为0，则a＝．．14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BA，BC上分别截取BM＝BN；分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠CBA内部交于点E；作射线BE交AC于点F．若CF＝2，点H为线段AB上的一动点，则FH的最小值是．第2页（共6页）三、解答题：（本大题共6个小题，共54分．解答过程写在答题卡上．）15．（12分）（1）分解因式：（x2+y2）2﹣4x2y2；（2）解不等式组并在数轴上表示它的解集．16．（8分）先化简m﹣1+的值，代入求值．÷，再从﹣1，0，3中选一个你认为合适的数作为m17．（8分）新都区某中学八年级学生乘车到某实践基地参加社会实践活动，基地距学校60千米，一班学生乘慢车先行，出发15分钟后，二班学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地．已知快车的速度是慢车的1.2倍，求慢车的速度是每小时多少千米．18．（8分）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．C；（1）试在图中作出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB11（2）若点B的坐标为（﹣3，5），在试图中画出直角坐标系，并写出A点坐标C点坐标；；BC，并写出B2点坐（3）根据（2）的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A222；C2点坐标．标19．（8分）如图，在四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，BE＝DF，∠ADB＝∠CBD．第3页（共6页）（1）求证：△CBE≌△ADF；（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由．20．（10分）（1）如图1，△ABC与△DEC都是等边三角形，联结BE和AD．求证：BE＝AD．（2）如图2，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，连接AG和CE．探究线段AG和CE有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论．（3）如图3，在图2的基础上，连接AC，将正方形DEFG绕着点D旋转到某一位置时，恰好使得DE∥AC，CE＝AC．求出此时∠CAG的度数．一、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）21．（4分）已知x﹣2y＝3，x222﹣4y＝15，则代数式7xy+14y的值是．22．（4分）若关于x的一元一次不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是．23．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝3，CA＝6，M为斜边AB上的一个动点，过点M作MD⊥AC于点D，ME⊥BC于点E．则线段DE的最小值是．24．（4分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x﹣2的图象分别交x，y轴于点A，B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式第4页（共6页）是．25．（4分）如图，四边形ABCD是矩形，点F是AB边的三等分点，BF＝2AF，点E1是CBF，ED，得到△EFD；点E2是CE的中点，连接EF，ED，得到边的中点，连接E111122FD；点E3是CE的中点，连接EF，ED，得到△EFD；…按照此规律继续进行下△E22333FD的面积是去，若矩形ABCD的面积等于6，则△E2021．二、解答题：（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）26．（8分）“爱成都，迎大运”，为迎接即将在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会，倡导全民参与健身活动，新都某社区准备购置甲、乙两种健身器材．已知，若购买1台甲器材，2台乙器材共需资金12000元，且一台乙器材的价格是一台甲器材价格的1.5倍．（1）求甲、乙健身器材的单价各是多少元？（2）现社区准备购买两种型号的器材共8台，购买总资金不超过33000元，且并甲器材的数量数量的2倍．试问一共有几种购买方案？请写出所有购买方案．（3）若甲器材一年的维护费用是200元，乙器材一年的维护费用是300元．请问（2）小题中的所有购买方案中，哪种方案的一年两种器材总维护费用W最少，并算出最少维护费用W是多少元．27．（10分）如图1，在等边△ABC的AB边和AC边上分别取点D、E，使得AD＝AE，将△ADE绕点A顺时针旋转，得到图2所示的图形．（1）求证：△ADB≌△AEC；第5页（共6页）（2）如图3，若AD＝，AB＝+3，且旋转角为45°时，求∠ACE的度数；（3）如图4，连接BE，并延长CE交BD于点F，若△ADE旋转至某一位置时，恰有AD⊥BD，AD∥BE，求的值．28．（12分）折叠变换是特殊的轴对称变换，我们生活中常对矩形纸片进行折叠，这其中蕴含着丰富的数学知识和思想．（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E是DC的中点，将矩形ABCD沿BE折叠，点C落在点F的位置．①求证：DF∥BE；②求DF的长度．（2）如图2，在直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，AD与y轴交于点E，OA＝2，OC＝2，点G是直线AC上的一个动点，在坐标平面内存在点H，使得以点E，A，G，H为顶点的四边形是菱形，请直接写出点H坐标．第6页（共6页）2020-2021学年四川省成都市新都区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的，将你所选答案的字母涂在答题卡上）1．【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．【解答】解：∵m＞n，∴m﹣2＞n﹣2，故本选项不合题意；B．∵m＞n，∴﹣m＜﹣n，故本选项不合题意；C．∵m＞n，∴2m＞2n，故本选项符合题意；D．∵m＞n，∴，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．2．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：∵4+4＝8＜9，∴腰的长不能为4，只能为9，∴第三边长是9，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．第1页（共18页）3．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：第一个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第三个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；第四个图形是轴对称图形，也是中心对称图形．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．【分析】根据三角形全等的判定定理判断即可．【解答】解：A、两条直角边分别相等的两个直角三角形全等，本选项说法是真命题，不符合题意；B、斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等，本选项说法是真命题，不符合题意；C、两个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，故本选项说法是假命题，符合题意；D、一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等，本选项说法是真命题，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是命题和定理，掌握直角三角形的判定定理是解题的关键．5．【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．【解答】解：A、a2﹣4，两平方项符号相反，故A选项不符合题意；B、﹣x2+y2，两平方项符号相反，故B选项不符合题意；C、x2y2﹣1，两平方项符号相反，故C选项不符合题意；D、﹣m22﹣n，两平方项符号相同，故D选项符合题意．故选：D．【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．6．【分析】根据分式的定义（A与B为整式，B≠O，且B中含有字母，形如的式子称为分式），故分式有，共4个．【解答】解：∵A与B为整式、B≠0且B中含有字母，形如的式子叫作分式，第2页（共18页）∴是分式．故选：B．【点评】本题主要考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解决本题的关键．7．【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：由得：x≤2．由2﹣x＜3得：x＞﹣1．所以不等式组的解集为﹣1＜x≤2．故选C．【点评】此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．8．【分析】根据各个选项中的说法，可以判断能否构成正方形，不正确的说明理由或举出反例即可．【解答】解：对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，但是对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，如等腰梯形中的对角线就有可能垂直且相等，故选项A不符合题意；一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角为90度的四边形不一定是正方形，如直角梯形，故选项B不符合题意；平分每一组对角的四边形不一定是正方形，如菱形，故选项C不符合题意；四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定，解答本题的关键是明确正方形的判定方法．9．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得到正确选项．【解答】解：∵线段垂直平分线的点到线段两段点的距离相等，∴△ABC三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等．故选：B．【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶第3页（共18页）点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了线段垂直平分线的性质．10．【分析】根据题意可知AC+BC＝10，然后根据AC﹣BC＝2，即可得AC、BC的长度．【解答】解：∵△BCE的周长为10，∴BE+EC+BC＝10．∵AB的垂直平分线交AB于点D，∴AE＝BE，∴AE+EC+BC＝10，即AC+BC＝10，∵AC﹣BC＝2，∴BC＝4，故选：C．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关键在于根据题意推出AE＝BE．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上．）11．【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到1﹣2k＜0，然后求出不等式的解集即可．【解答】解：∵次函数y＝（1﹣2k）x﹣3的图象在直角坐标系中过二、三、四象限，∴1﹣2k＜0．∴k＞．故答案是：k＞．【点评】查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数y＝kx+b的性质．当k＞0，y随x的增大而增大，图象一定过第一、三象限；当k＜0，y随x的增大而减小，图象一定过第二、四象限；当b＞0，图象与y轴的交点在x轴上方；当b＝0，图象过原点；当b＜0，图象与y轴的交点在x轴下方．12．【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：原式＝（x﹣6y）2．故答案为：（x﹣6y）2．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．13．【分析】先根据分式的值为0的条件列出关于a的不等式组，求出a的值即可．第4页（共18页）【解答】解：∵分式的值为0，∴，解得a＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．14．【分析】如图，过点F作FG⊥AB于G．根据角平分线的性质定理证明GF＝FC＝2，利用垂线段最短即可解决问题．【解答】解：如图，过点F作FG⊥AB于G．由作图可知，FB平分∠ABC，∵GF⊥BA，FC⊥BC，∴GF＝FC＝2，根据垂线段最短可知，HF的最小值为2，故答案为：2．【点评】本题考查作图﹣基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．三、解答题：（本大题共6个小题，共54分．解答过程写在答题卡上．）15．【分析】（1）观察该式特点，先变形为（x2+y2）2﹣4x2y2＝（x2+y2）2﹣（2xy）2．再根据公式法a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），得（x2+y2）2﹣（2xy）2＝（x+y）2（x﹣y）2．（2）根据不等式的性质，解不等式①，解得：x＞0．解不等式②，解得：x≤2．那么，该不等式组的解集为0＜x≤2．【解答】解：（1）（x2+y2）2﹣4x2y2＝（x2+y2）2﹣（2xy）2＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）＝（x+y）2（x﹣y）2．（2）解不等式①，得3x＞2x．解得：x＞0．解不等式②，得：﹣4x≥﹣8．第5页（共18页）解得：x≤2．∴该不等式组的解集为0＜x≤2．该不等式组的解集在数轴上表示如下：【点评】本题主要考查运用公式法进行因式分解、解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握公式法进行因式分解以及解一元一次不等式组是解决本题的关键．16．【分析】应用分式的混合运算法则进行计算化为最简，当m+1≠0时，m≠﹣1分式有意义，选取m的值代入计算即可得出答案．【解答】解：原式＝m﹣1+＝m﹣1+＝+＝＝，把m＝0代入上式，原式＝0．【点评】本题主要考查了分式的化简求值，熟练应用分式的混合运算法则进行计算是解决本题的关键．17．【分析】设慢车的速是x千米/小时，则快车的速度是1.2x千米/小时，根据基地距学校60千米，他们同时到达基地列出分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设慢车与快车的速是xkm/h，则快车的速度是1.2xkm/h，根据题意得﹣＝，解得：x＝40，检验：经检验x＝40是原方程的根，答：慢车速度为40千米/小时．【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．第6页（共18页）18．【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点B、C1即可；1（2）利用B点坐标画出直角坐标系，从而得到A点和C点坐标；、B、C2的坐标，然后描点即可．（3）利用关于原点对称的点的坐标特征写出点A22C为所作；【解答】解：（1）如图，△AB11（2）如图，A（0，1），C（﹣3，1）；故答案为（0，1），（﹣3，1）；BC为所作，B2点坐标为（3，﹣5）；C2点坐标为（3，﹣1）．（3）如图，△A222故答案为（3，﹣5），（3，﹣1）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．19．【分析】（1）根据已知先证明△DFO≌△BEO（AAS）．用全等三角形的性质得∠FDO＝∠EBO，再利用（ASA）证明△DFA≌△BEC．（2）根据一组对边平行且相等证明四边形ABCD是平行四边形．【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠DFB＝∠BEF＝90°．∠DFA＝∠BEC＝90°在△DFO与△BEO中．∴△DFO≌△BEO（AAS）．∴∠FDO＝∠EBO．第7页（共18页）∴∠ADB﹣∠FDO＝∠CBD﹣∠EBO．∴∠ADF＝∠CBE．在△DFA与△BEC中．∴△DFA≌△BEC（ASA）．（2）答：四边形ABCD是平行四边形．∵△DFA≌△BEC，∴AD＝BC，∠DCA＝∠BCA，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．【点评】考查全等三角形的判定定理和性质及平行四边形的判定，证题的关键在第一问中直接证全等条件不具备，需要通过其他三角形全等来推具备的条件．20．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，则∠BCE＝∠ACD，再证∠BCE≌△ACD（SAS），即可得出结论；（2）证△ADG≌△CDE（SAS），得AG＝CE，∠DAG＝∠DCE，再由三角形的外角得∠DAG+∠ANM＝∠DCE+∠ADC，则∠ANM＝∠ADC＝90°，即可得出结论；（3）连接CG，证△CDE≌△CDG（SAS），得CE＝CG，则AG＝AC＝CG，△ACG是等边三角形，再由等边三角形的性质求解即可．【解答】（1）证明：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，∴BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ABC+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴∠BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD；（2）解：AG＝CE，AG⊥CE，证明如下：设AD与CE交于点M，AG与CE交于点N，如图2所示：第8页（共18页）∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠EDG＝90°，DG＝DE，∴∠EDG+∠ADE＝∠ADC+∠ADE，即∠ADG＝∠CDE，在△ADG和△CDE中，，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，∠DAG＝∠DCE，∵∠AMC＝∠DAG+∠ANM＝∠DCE+∠ADC，∴∠ANM＝∠ADC＝90°，∴AG⊥CE；（3）解：连接CG，如图3所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝45°，由（2）得：AG＝CE，∵CE＝AC，∴AG＝AC，∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠DAC＝45°，∴∠CDE＝90°+45°＝135°，∴∠CDG＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠CDG＝∠CDE，在△CDE和△CDG中，，∴△CDE≌△CDG（SAS），∴CE＝CG，∴AG＝AC＝CG，∴△ACG是等边三角形，第9页（共18页）∴∠CAG＝60°．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等边三角形的判定与性质，证明△ADG≌△CDE是解题的关键，属于中考常考题型．一、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）21．【分析】由x2﹣4y＝152，得（x+2y）（x﹣2y）＝15，故x+2y＝5．又因x﹣2y＝3，得x＝4，y＝．那么，7xy+14y2＝7y（x+2y）＝7××5＝．【解答】解：∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝15，x﹣2y＝3，∴（x+2y）•3＝15，x＝2y+3．∴x+2y＝5，∴（2y+3）+2y＝5．∴y＝．∴x＝2y+3＝2×+3＝4．∴7xy+14y2＝7y（x+2y）＝7××5＝．故答案为：．【点评】本题主要考查运用公式法和提公因式法进行因式分解、解二元一次方程以及代数式求值，熟练掌握因式分解以及解二元一次方程组是解题的关键．22．【分析】先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可．【解答】解：，解不等式①，得：x＞﹣1，解不等式②，得：x≤，∵不等式组有且只有3个整数解，∴2≤＜3，解得：6≤a＜9，故答案为：6≤a＜9．第10页（共18页）∴∠MDC＝∠MEC＝90°，∵∠C＝90°，＝＝，；．过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，∵∠ABC＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，第11页（共18页）∴AB＝AF，∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°，∴∠ABO＝∠EAF，在△ABO和△FAE中，∴△ABO≌△FAE（AAS），∴AE＝OB＝2，EF＝OA＝1，∴F（1，1），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，∴，解得，∴直线BC的函数表达式为：y＝3x﹣2，故答案为：y＝3x﹣2．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．25．【分析】由题意可得：AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝90°，，AB＝CD＝3AF，，而，整理可得：，再表示出＝，的面积，观察规律可得：，从而可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝90°，∵BF＝2AF，点E1是CB边的中点，∴∴，，AB＝CD＝3AF，，＝，第12页（共18页）＝＝＝＝＝，，，，，是CE的中点，∵E21∴，，∴，整理得：，同理可得：∴，＝，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查三角形的面积，规律型：图形的变化类．解答的关键是明确，通过整理归纳出其规律．二、解答题：（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）26．【分析】（1）设甲健身器材的单价是x元，乙健身器材的单价是y元，根据“购买1台甲器材，2台乙器材共需资金12000元，且一台乙器材的价格是一台甲器材价格的1.5倍”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买甲健身器材m台，则购买乙健身器材（8﹣m）台，根据“购买总资金不超过33000元，并且甲器材的数量不超过乙器材数量的2倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各购买方案；（3）利用总维护费用＝每台设备的维护费用×购买数量，即可得出W关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设甲健身器材的单价是x元，乙健身器材的单价是y元，第13页（共18页）依题意得：解得：，．答：甲健身器材的单价是3000元，乙健身器材的单价是4500元．（2）设购买甲健身器材m台，则购买乙健身器材（8﹣m）台，依题意得：，解得：2≤m≤∵m为整数，．∴m可以为2，3，4，5，∴一共有4种购买方案，方案1：购买甲健身器材2台，乙健身器材6台；方案2：购买甲健身器材3台，乙健身器材5台；方案3：购买甲健身器材4台，乙健身器材4台；方案4：购买甲健身器材5台，乙健身器材3台．（3）依题意得：W＝200m+300（8﹣m）＝﹣100m+2400．∵﹣100＜0，∴W随m的增大而减小，∴当m＝5时，W取得最小值，最小值＝﹣100×5+2400＝1900．答：方案4一年两种器材总维护费用W最少，最少维护费用是1900元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，找出W关于m的函数关系式．27．【分析】（1）先证△ADE是等边三角形，由“SAS”可证△ADB≌△AEC；（2）由等腰直角三角形的性质可求AF＝EF＝，在Rt△AEF中，由勾股定理可求EC的长，由直角三角形的性质可求EF＝EH＝FH，可证△EFH是等边三角形，即可求