2022-2023学年广东省中山纪念中学数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．用反证法证明：“实数中至少有一个不大于0”时，反设正确的是（）A．中有一个大于0 B．都不大于0C．都大于0 D．中有一个不大于02．已知复数为虚数单位，是的共轭复数，则（）A． B． C． D．3．给出四个函数，分别满足①；②；③；④，又给出四个函数图象正确的匹配方案是（）A.①—丁②—乙③—丙④—甲B.①—乙②—丙③—甲④—丁C.①—丙②—甲③—乙④—丁D.①—丁②—甲③—乙④—丙4．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件{两个点数互不相同}，{出现一个5点}，则()A． B． C． D．5．若，则（）A．8 B．7 C．6 D．56．已知10件产品中，有7件合格品，3件次品，若从中任意抽取5件产品进行检查，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有()A．种 B．种 C．种 D．种7．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为，两个路口连续遇到红灯的概率为，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（）A． B． C． D．8．设，向量，若，则等于()A． B． C．－4 D．49．甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是1．8，乙解决这个问题的概率是1．6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是()A．1．48 B．1．52 C．1．8 D．1．9210．将3颗相同的红色小球和2颗相同的黑色小球装入四个不同盒子，每个盒子至少1颗，不同的分装方案种数为（）A．40 B．28 C．24 D．1611．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f(x)的图象恰好通过n（）个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．有下列函数:①②③④其中是一阶整点的是（）A．①②③④ B．①③④ C．④ D．①④12．乘积可表示为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．己知，，则______.14．已知，，，则向量与向量的夹角为_______________.15．已知为椭圆上的任意一点，则的最大值为________.16．已知球的体积为，则该球大圆的面积等于______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆，为右焦点，圆，为椭圆上一点，且位于第一象限，过点作与圆相切于点，使得点，在的两侧.（Ⅰ）求椭圆的焦距及离心率；（Ⅱ）求四边形面积的最大值.18．（12分）在中，角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，求的面积.19．（12分）若函数,当时,函数有极值为.(1)求函数的解析式；(2)若有个解,求实数的取值范围.20．（12分）已知．（1）证明：；（2）若，求实数的取值范围．21．（12分）设实部为正数的复数z，满足|z|=，且复数（1+3i）z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上.(I)求复数z(II)若复数+m2(1+i)-2i十2m-5为纯虚数，求实数m的值.22．（10分）已知过点A（0，2）的直线l与椭圆C：x2（1）若直线l的斜率为k，求k的取值范围；（2）若以PQ为直径的圆经过点E（1，0），求直线l的方程．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而要证明题的否定为：“都大于0”，从而得出结论．【详解】解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而命题：“实数中至少有一个不大于0”的否定为“都大于0”，故选：．【点睛】本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．2、C【解析】，选C.3、D【解析】四个函数图象，分别对应甲指数函数，乙对数函数，丙幂函数，丁正比例函数；而满足①是正比例函数；②是指数函数；③是对数函数；④是幂函数，所以匹配方案是①—丁②—甲③—乙④—丙，选D。4、A【解析】由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36−6=30，事件B:出现一个5点，有10种，∴，本题选择A选项.点睛：条件概率的计算方法：(1)利用定义，求P(A)和P(AB)，然后利用公式进行计算；(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，然后求概率值.5、D【解析】

由得，即，然后即可求出答案【详解】因为，所以所以即，即解得故选：D【点睛】本题考查的是排列数和组合数的计算，较简单.6、C【解析】

根据题意，分2步进行分析，第一步从3件次品中抽取2件次品，第二步从7件正品中抽取3件正品，根据乘法原理计算求得结果．【详解】根据题意，分2步进行分析：①.从3件次品中抽取2件次品，有种抽取方法，;②.从7件正品中抽取3件正品，有种抽取方法，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有种；故选：C．【点睛】本题考查排列组合的实际应用，注意是一次性抽取，抽出的5件产品步需要进行排列．7、C【解析】分析：由题意可知，利用条件概率公式可求得的值.详解：设第一个路口遇到红灯的事件为，第二个路口遇到红灯的事件为，则，则，故选C.点睛：本题考查条件概率公式，属于基础题.计算条件概率时一定要注意区分条件概率与独立事件同时发生的概率的区别与联系.8、D【解析】

直接利用向量垂直的充要条件列方程求解即可.【详解】因为，且，所以，化为，解得，故选D.【点睛】利用向量的位置关系求参数是命题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.9、D【解析】1－1．2×1．4＝1．92，选D项．10、B【解析】分析：分两类讨论，其中一类是两个黑球放在一个盒子中的，其中一类是两个黑球不在一个盒子中的，最后把两种情况的结果相加即得不同的分装方案种数.详解：分两种情况讨论，一类是两个黑球放在一个盒子中的有种，一类是两个黑球不放在一个盒子中的:如果一个黑球和一个白球在一起，则有种方法；如果两个黑球不在一个盒子里，两个白球在一个盒子里，则有种方法.故不同的分装方案种数为4+12+12=28.故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查排列组合综合应用题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题时，要注意审题，黑球是一样的，红球是一样的，否则容易出错.11、D【解析】

根据新定义的“一阶整点函数”的要求，对于四个函数一一加以分析，它们的图象是否通过一个整点，从而选出答案即可．【详解】对于函数，它只通过一个整点（1，2），故它是一阶整点函数；

对于函数，当x∈Z时，一定有g（x）=x3∈Z，即函数g（x）=x3通过无数个整点，它不是一阶整点函数；

对于函数，当x=0，-1，-2，时，h（x）都是整数，故函数h（x）通过无数个整点，它不是一阶整点函数；

对于函数，它只通过一个整点（1，0），故它是一阶整点函数．

故选D．【点睛】本题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题，解决本题的关键是对于新定义的概念的理解，即什么叫做：“一阶整点函数”．12、A【解析】

根据对排列公式的认识，进行分析，解答即可【详解】最大数为，共有个自然数连续相乘根据排列公式可得故选【点睛】本题是一道比较基础的题型，主要考查的是排列与组合的理解，掌握排列数的公式是解题的关键二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

利用公式，能求出向量与的夹角的余弦值．【详解】解：因为，，所以，，故答案为：【点睛】本题考查向量的夹角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于基础题．14、【解析】

由条件利用两个向量垂直的性质,两个向量的数量积的定义，求得向量与向量的夹角的余弦值,可得向量与向量的夹角的值.【详解】由题意可得，即,为向量与向量的夹角），求得，故答案为.【点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.15、9【解析】

设，代入并利用辅助角公式运算即可得到最值.【详解】由已知，设，则，故.当时，取得最大值9.故答案为：9【点睛】本题考查利用椭圆的参数方程求函数的最值问题，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.16、【解析】

由球的体积，得到球的半径，进而可得出大圆的面积.【详解】因为球的体积为，设球的半径为，则，解得：，因为球的大圆即是过球心的截面圆，因此大圆的面积为.故答案为：.【点睛】本题主要考查球的相关计算，熟记球的体积公式，以及圆的面积公式即可，属于基础题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）,；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何性质求椭圆的焦距及离心率.（Ⅱ）设（，），先求出四边形面积的表达式，再利用基本不等式求它的最大值.（Ⅰ）在椭圆：中，，，所以，故椭圆的焦距为，离心率．（Ⅱ）设（，），则，故．所以，所以，．又，，故．因此．由，得，即，所以，当且仅当，即，时等号成立.点睛：本题的关键在于求此的表达式和化简，由于四边形是不规则的图形，所以用割补法求其面积，其面积求出来之后，又要利用已知条件将其化简为，再利用基本不等式求其最小值.18、（1）（2）【解析】

（1）由正弦定理把已知角的关系转化为边的关系，再由余弦定理求得，从而求得；（2）由(1)及代入可解得，再由求得面积．【详解】解：（1）由及正弦定理得：，∴，由余弦定理得：，∵，∴（2）由，及，得，∴∴∴的面积为.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查三角形面积公式，解题关键是由正弦定理把已知角的关系转化为边的关系．19、（1）；（2）.【解析】

（1）求出函数的导数，利用函数在某个点取得极值的条件，得到方程组，求得的值，从而得到函数的解析式；（2）利用函数的单调性以及极值，通过有三个不等的实数解，求得的取值范围.【详解】（1）因为，所以，由时，函数有极值，得，即，解得所以；（2）由（1）知，所以，所以函数在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，当时，有极大值；当时，有极小值，因为关于的方程有三个不等实根，所以函数的图象与直线有三个交点，则的取值范围是.【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有函数在极值点处的导数为0，利用条件求函数解析式，利用导数研究函数的单调性与极值，将方程根的个数转化为图象交点的个数来解决，属于中档题目.20、（1）证明见解析；（2）．【解析】

(1)根据绝对值三角不等式得到;(2)，则，故，分情况去掉绝对值解出不等式即可.【详解】（1）证明：．（2）解：若，则，故∴或，解得：．∴实数的取值范围为．【点睛】这个题目考查了含有绝对值的不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，以及函数的最值问题；一般对于解含有多个绝对值的不等式，根据零点分区间，将绝对值去掉，分段解不等式即可.21、(1).(2)【解析】

分析：（1）设，先根据复数乘法得，再根据复数的模得解方程组可得，（2）先化成复数代数形式，再根据纯虚数概念列方程组，解得实数m的值.详解：(1)设，由，得又复数=在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上.则，即又，所以，则(2)=为纯虚数,所以可得点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为22、（1）(-∞,-1)∪(1,+∞)；（2）x=0或y=-7【解析】试题分析：（1）由题意设出直线l的方程，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程后由判别式大于求得的取值范围；（2）设出的坐标，利用根与系数的关系得到的横坐标的和与积，结合以为直径的圆经过点，由EP·EQ=0求得值，则直线l方程可求.试题解析：（1）依题意，直线l的方程为y=kx+2，由x23+y2=1y=kx+2,消去y得(3k2+1)x（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0,则P(0,1),Q(0,-1),此时以为直径的圆过点E(1,0)，满足题意.直