高考数学数列题型之等差数列与等比数列综合题

等差数列与等比数列综合题例已知等差数列满足：，，的前n项和为．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令bn=(nN*)，求数列的前n项和．【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d，因为，，所以有，解得，所以；==。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，所以==，即数列的前n项和=。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。例设为数列的前项和，，，其中是常数．（I）求及；（II）若对于任意的，，，成等比数列，求的值．解（Ⅰ）当，（）经验，（）式成立，（Ⅱ）成等比数列，，即，整理得：，对任意的成立，例等比数列{}的前n项和为，已知,,成等差数列（1）求{}的公比q；（2）求－＝3，求解：（Ⅰ）依题意有由于，故又，从而5分（Ⅱ）由已知可得故从而10分例已知数列满足，.令，证明：是等比数列；(Ⅱ)求的通项公式。（1）证当时，所以是以1为首项，为公比的等比数列。（2）解由（1）知当时，当时，。所以。例设数列的前项和为，已知（Ⅰ）证明：当时，是等比数列；（Ⅱ）求的通项公式解由题意知，且两式相减得即①（Ⅰ）当时，由①知于是又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，即当时，由由①得因此得例在数列中，,（I）设，求数列的通项公式;（II）求数列的前项和解：（I）由已知有利用累差迭加即可求出数列的通项公式:()（II）由（I）知,=而,又是一个典型的错位相减法模型，易得=例已知数列的前项和为，，且（为正整数）（Ⅰ）求出数列的通项公式；（Ⅱ）若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值.解：（Ⅰ），①当时，.②由①-②，得..又，，解得.数列是首项为1，公比为的等比数列.（为正整数）（Ⅱ）由（Ⅰ）知由题意可知，对于任意的正整数，恒有，.数列单调递增，当时，数列中的最小项为，必有，即实数的最大值为1例各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有；⑴求常数的值；⑵求数列的通项公式；⑶记，求数列的前项和。解：（1）由及，得：（2）由①得②由②—①，得即：由于数列各项均为正数，即数列是首项为，公差为的等差数列，数列的通项公式是（3）由，得：例在数列（1）（2）设（3）求数列解（1）（2）对于任意=，数列是首项为，公差为1的等差数列.（3）由（2）得，，即设则两式相减得，整理得，从而例已知数列的首项，前n项和.（Ⅰ）求证：;（Ⅱ）记，为的前n项和，求的值.解：（1）由①，得②，②-①得：. （2）由求得. ∴，∴.例等比数列{}的前n项和为，已知,,成等差数列（1）求{}的公比q；（2）求－＝3，求解：（Ⅰ）依题意有由于，故又，从而（Ⅱ）由已知可得故从而例已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.（1）求q的值；（2）设数列的前项和为，试判断是否成等差数列？说明理由.解：（1）依题意，得2am+2=am+1+am∴2a1qm+1=a1qm+a1qm–1在等比数列{an}中，a1≠0，q≠0，∴2q2=q+1，解得q=1或.（2）若q=1，Sm+Sm+1=ma1+(m+1)a1=(2m+1)a1，Sm+2=(m+2)a1∵a1≠0，∴2Sm+2≠Sm+Sm+1若q=，Sm+1=Sm+Sm+1==∴2Sm+2=Sm+Sm+1故当q=1时，Sm,Sm+2,Sm+1不成等差数列；当q=时，Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.例6已知数列中，，且对时有．（Ⅰ）设数列满足，证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前n项和（Ⅰ）证明：由条件，得，则．即，所以，．所以是首项为2，公比为2的等比数列．，所以．两边同除以，可得．于是为以首项，－为公差的等差数列．所以．（Ⅱ），令，则．而．∴．，∴．令Tn＝， ①则2Tn＝． ②①－②，得Tn＝，Tn＝．∴．例7已知数列满足，且当，时，有(1)求证：数列为等差数列；(2)试问是否为数列中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由.证明：（1）由得即上式两边同时除以得又，是首项为5，公差为4的等差数列（2）又（1）知，即，令，解得所以是数列的第11项例8设数列满足且（Ⅰ）求的值，使得数列为等比数列；（Ⅱ）求数列和的通项公式；（Ⅲ）令数列和的前项和分别为和，求极限的值．（Ⅰ）令，其中为常数，若为等比数列，则存在使得．又．所以．由此得由及已知递推式可求得，把它们代入上式后得方程组消去解得．下面验证当时，数列为等比数列．，，从而是公比为的等比数列．同理可知是公比为的等比数列，于是为所求．（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果得，，解得，．（Ⅲ）令数列的通项公式为，它是公比为的等比数列，令其前项和为；令数列的通项公式为，它是公比为的等比数列，令其前项和为．由第（Ⅱ）问得，．．由于数列的公比，则．，由于，则，于是，所以例9数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设数列的前项和为，且，求证:对任意实数（是常数，＝2.71828）和任意正整数，总有2；(Ⅲ)正数数列中，.求数列中的最大项.（Ⅰ）解：由已知：对于，总有①成立∴（n≥2）②①--②得∴∵均为正数，∴（n≥2）∴数列是公差为1的等差数列又n=1时，，解得=1∴.()（Ⅱ）证明：∵对任意实数和任意正整数n，总有≤.∴(Ⅲ)解：由已知，易得猜想n≥2时，是递减数列.令∵当∴在内为单调递减函数.由.∴n≥2时,是递减数列.即是递减数列.又,∴数列中的最大项为.例10设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。（1）求数列的通项公式及前项和；（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。解：（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,(2)（方法一）=,设，则=,所以为8的约数（方法二）因为为数列中的项，故为整数，又由（1）知：为奇数，所以经检验，符合题意的正整数只有。例12数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是常数，SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0成公比不为SKIPIF1<0的等比数列。（I）求SKIPIF1<0的值；（II）求SKIPIF1<0的通项公式。解：（=1\*ROMANI）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不符合题意舍去，故SKIPIF1<0．（=2\*ROMANII）当SKIPIF1<0时，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0。又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．当n=1时，上式也成立，所以SKIPIF1<0例13已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，对一切正整数SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0都在函数SKIPIF1<0的图像上，且过点SKIPIF1<0的切线的斜率为SKIPIF1<0．（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式．（2）若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．（3）设SKIPIF1<0，等差数列SKIPIF1<0的任一项SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中的最小数，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通项公式.解：（1）SKIPIF1<0点SKIPIF1<0都在函数SKIPIF1<0的图像上，SKIPIF1<0SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当ｎ＝1时，SKIPIF1<0满足上式，所以数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0（2）由SKIPIF1<0求导可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0的切线的斜率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.SKIPIF1<0①由①×4，得SKIPIF1<0②①-②得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中的最小数，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0是公差是4的倍数，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,解得ｍ＝27.所以SKIPIF1<0，设等差数列的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0例14已知SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0.解：①SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0\*MERGEFO