高考数学一轮复习-第九章-平面解析几何-92-两条直线的位置关系课件-理

第九章平面解析几何§9.2两条直线的位置关系内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析思想与方法系列思想方法感悟提高练出高分基础知识

自主学习1.两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔

(k1，k2均存在).(ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.k1＝k2知识梳理1答案②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔__________(k1，k2均存在).(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.(2)两条直线的交点直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组

的解.k1·k2＝－1答案2.几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝

.(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝

.(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝

.答案1.一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.2.过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.3.点到直线与两平行线间的距离的使用条件：(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.知识拓展判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(

)(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(

)(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(

)××√答案思考辨析(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(

)(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(

)(6)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－

，且线段AB的中点在直线l上.(

)×√√答案1.设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的__________条件.解析

(1)充分性：当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行；(2)必要性：当直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行时有a＝－2或1.所以“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的充分不必要条件.充分不必要考点自测2解析答案123452.(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝

.解析答案123453.已知直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8平行，则实数m的值为________.得m＝－1或－7.解析答案12345－74.(2014·福建改编)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是___________.解析圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.x－y＋3＝0解析答案123455.(教材改编)若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________.解析由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.0或1解析答案12345返回题型分类

深度剖析例1

(1)已知两条直线l1：(a－1)·x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a＝________.解析若a＝0，两直线方程为－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0.解得a＝－1或a＝2.－1或2题型一两条直线的平行与垂直解析答案(2)已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，则a＝________.解析方法一∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，解得a＝－2.方法二∵l1⊥l2，∴a＋2＝0，a＝－2.－2解析答案思维升华思维升华(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.已知两直线l1：x＋ysinα－1＝0和l2：2x·sinα＋y＋1＝0，求α的值，使得：(1)l1∥l2；跟踪训练1解析答案解方法一当sinα＝0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.解析答案方法二由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0，又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sinα≠0，即sinα≠－1.(2)l1⊥l2.解因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，所以2sinα＋sinα＝0，即sinα＝0，所以α＝kπ，k∈Z.故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.解析答案

题型二两条直线的交点与距离问题解析答案又∵交点位于第一象限，解析答案方法二如图，已知直线解析答案而直线方程y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2,1)，斜率为k的动直线.∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，∴动直线的斜率k需满足kPA＜k＜kPB.(2)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为__________________________.解析答案解析方法一当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.即|3k－1|＝|－3k－3|，解析答案思维升华即x＋3y－5＝0.当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4).∴直线l的方程为x＝－1.故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.答案x＋3y－5＝0或x＝－1即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意.思维升华思维升华(1)求过两直线交点的直线方程的方法：求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.(1)如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程.解与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0.设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过(－1,1)，∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0.跟踪训练2解析答案(2)正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程.解析答案设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，解得m＝－5(舍去)或m＝7，所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0.解析答案设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，解得n＝－3或n＝9，所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.命题点1点关于点中心对称例3

过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________.解析设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.x＋4y－4＝0题型三对称问题解析答案命题点2点关于直线对称例4

已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为____________.解析答案命题点3直线关于直线的对称问题例5

已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程.解析答案思维升华解在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上.解析答案思维升华设直线m与直线l的交点为N，又∵m′经过点N(4,3).∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.思维升华解决对称问题的方法(1)中心对称②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.思维升华(2)轴对称②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心，则AP＝________.跟踪训练3解析答案返回解析建立如图所示的坐标系：可得B(4,0)，C(0,4)，故直线BC的方程为x＋y＝4，设P(a,0)，其中0<a<4，解析答案解析答案代入化简可得3a2－4a＝0，返回思想与方法系列一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系.典例求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程.思维点拨因为所求直线与3x＋4y＋1＝0平行，因此，可设该直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1).18.妙用直线系求直线方程思想与方法系列解析答案思维点拨温馨提醒规范解答解依题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.温馨提醒温馨提醒与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由其他条件求C1.二、垂直直线系由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系，可以考虑用直线系方程求解.典例求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程.思维点拨依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解.解析答案思维点拨温馨提醒规范解答解因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C1＝0，又直线过点(2,1)，所以有2－2×1＋C1＝0，解得C1＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.温馨提醒温馨提醒与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0，再由其他条件求出C1.三、过直线交点的直线系典例求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.思维点拨可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解.解析答案思维点拨温馨提醒返回规范解答即4x＋3y－6＝0.方法二设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.温馨提醒返回温馨提醒本题方法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直关系求出斜率，由于交点在y轴上，故采用斜截式求解；方法二则采用了过两直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，直接设出过两直线交点的方程，再根据垂直条件用待定系数法求解.思想方法

感悟提高1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意.2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法.方法与技巧1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑.2.在运用两平行直线间的距离公式d＝

时，一定要注意将两方程中x，y的系数化为相同的形式.失误与防范返回练出高分123456789101112131415

3解析答案1234567891011121314152.设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线sinA·x－ay－c＝0与bx＋sinB·y＋sinC＝0的位置关系是________.解析答案123456789101112131415解析答案123456789101112131415即直线sinA·x－ay－c＝0与bx＋sinB·y＋sinC＝0垂直.方法二由正弦定理有a＝2RsinA，b＝2RsinB(其中R为△ABC外接圆的半径)，所以bsinA－asinB＝2RsinBsinA－2RsinAsinB＝0，所以直线sinA·x－ay－c＝0与bx＋sinB·y＋sinC＝0垂直.答案垂直123456789101112131415

二解析答案4.若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点________.解析直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2).123456789101112131415(0,2)解析答案1234567891011121314155.从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为____________.其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式得直线方程为x＋2y－4＝0.x＋2y－4＝0解析答案123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析由题可知，集合M表示过点(2,3)且斜率为3的直线，但除去(2,3)点，而集合N表示一条直线，

7.已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，若l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a＋b＝________.123456789101112131415解析答案123456789101112131415

－11

解析答案9.已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程.123456789101112131415解析答案解依题意知：kAC＝－2，A(5,1)，∴lAC为2x＋y－11＝0，123456789101112131415代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，解析答案123456789101112131415即6x－5y－9＝0.12345678910111213141510.已知直线l经过直线l1：2x＋y－5＝0与l2：x－2y＝0的交点.(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；解析答案123456789101112131415解易知l不可能为l2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∵点A(5,0)到l的距离为3，∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.123456789101112131415(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤PA(当l⊥PA时等号成立).解析答案12345678910111213141511.若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是________.解析因为点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，所以4m＋3n－10＝0.解析答案表示4m＋3n－10＝0上的点(m，n)到原点的距离，如图.当过原点的直线与直线4m＋3n－10＝0垂直时，原点到点(m，n)的距离最小为2.所以m2＋n2的最小值为4.412.如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为________.123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，设B(a，－2)，C(b,3)，且a<0，b<0.∵AC⊥AB，解析答案1