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文档简介
高一年级数学向量的数乘运算的应用它的长度与方向规定如下:一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,(1)|
λa
|
=
|
λ
||
a
|;(2)当
λ>0时,λa
与
a的方向相同;当
λ<0时,λa与
a的方向相反.记作λa
,这种运算叫做向量的数乘,特别地,当
λ
=
0
时,λa
=
0.复习引入探究1若b
=
λa,那么b与a有怎样的位置关系?探究1若b
=
λa,那么b与a有怎样的位置关系?当
λ>0时,λa
与
a的方向相同;探究1若b
=
λa,那么b与a有怎样的位置关系?当
λ>0时,λa
与
a的方向相同;当
λ<0时,λa与
a的方向相反;探究1若b
=
λa,那么b与a有怎样的位置关系?当
λ>0时,λa
与
a的方向相同;当
λ<0时,λa与
a的方向相反;当
λ
=
0
时,λa
=
0.探究1若b
=
λa,那么b与a有怎样的位置关系?当
λ>0时,λa
与
a的方向相同;当
λ<0时,λa与
a的方向相反;当
λ
=
0
时,λa
=
0.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.规定零向量与任意向量平行.平行向量也叫共线向量.若b
=
λa,那么b与a有怎样的位置关系?当
λ>0时,λa
与
a的方向相同;当
λ<0时,λa与
a的方向相反;当
λ
=
0
时,λa
=
0.结论:
b=λab//a.探究1若b
=
λa,那么b与a有怎样的位置关系?当
λ>0时,λa
与
a的方向相同;当
λ<0时,λa与
a的方向相反;当
λ
=
0
时,λa
=
0.结论:
b=λab//a.aλa探究1若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2(1)当a≠0,b≠0时,若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2(1)当a≠0,b≠0时,若|
b|
=
μ|
a
|,若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2(1)当a≠0,b≠0时,若|
b|
=
μ|
a
|,当a与b同向时,b=μ
a,
若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2(1)当a≠0,b≠0时,若|
b|
=
μ|
a
|,当a与b同向时,b=μ
a,
当a与b反向时,b=-μ
a,
若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2(1)当a≠0,b≠0时,若|
b|
=
μ|
a
|,当a与b同向时,b=μ
a,
当a与b反向时,b=-μ
a,
存在唯一一个实数λ,使得b=λa.若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2(1)当a≠0,b≠0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(2)当a≠0,b=0时,若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2(1)当a≠0,b≠0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(2)当a≠0,b=0时,使得0=λa,若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2(1)当a≠0,b≠0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(2)当a≠0,b=0时,使得0=λa,取λ=0即可.若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2(1)当a≠0,b≠0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(2)当a≠0,b=0时,使得0=λa,取λ=0即可.存在唯一一个实数λ,使得b=λa.若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2(1)当a≠0,b≠0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(2)当a≠0,b=0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(3)当a=0,b≠0时,若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2(1)当a≠0,b≠0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(2)当a≠0,b=0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(3)当a=0,b≠0时,λa=0,若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2(1)当a≠0,b≠0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(2)当a≠0,b=0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(3)当a=0,b≠0时,λa=0,不存在这样的实数λ,使得b=λa.若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2(1)当a≠0,b≠0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(2)当a≠0,b=0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(3)当a=0,b≠0时,不存在这样的实数λ,使得b=λa.(4)当a=0,b=0时,若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2(1)当a≠0,b≠0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(2)当a≠0,b=0时,λa=0存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(3)当a=0,b≠0时,不存在这样的实数λ,使得b=λa.(4)当a=0,b=0时,若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2(1)当a≠0,b≠0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(2)当a≠0,b=0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(3)当a=0,b≠0时,不存在这样的实数λ,使得b=λa.(4)当a=0,b=0时,λ取任意实数,都使得b=λa.若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2当a≠0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.当a=0,b≠0时,不存在实数λ,使得b=λa.当a=0,b=0时,λ取任意实数,都使得b=λa.若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2当a≠0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.当a=0,b≠0时,不存在实数λ,使得b=λa.当a=0,b=0时,λ取任意实数,都使得b=λa.b//a(a≠0)
b//a(a≠0)
存在唯一一个实数λ,使得b=λa
b//ab=λab//a(a≠0)
存在唯一一个实数λ,使得b=λa存在唯一一个实数λ,使得(a≠0)
?
b//ab=λab//a(a≠0)
存在唯一一个实数λ,使得b=λa存在实数λ,使得
b//ab=λab//a(a≠0)
存在唯一一个实数λ,使得b=λa存在实数λ,使得若a=0,
b//ab=λab//a(a≠0)
存在唯一一个实数λ,使得b=λa存在实数λ,使得若a=0,则b=λa=0,
b//ab=λab//a(a≠0)
存在唯一一个实数λ,使得b=λa存在实数λ,使得若a=0,此时,λ可以取任意实数.则b=λa=0,
b//ab=λab//a(a≠0)
存在唯一一个实数λ,使得b=λa存在实数λ,使得若a=0,此时,λ可以取任意实数.则b=λa=0,λ不唯一
b//ab=λab//a(a≠0)
存在唯一一个实数λ,使得b=λa存在唯一一个实数λ,使得
b//ab=λab//a(a≠0)
存在唯一一个实数λ,使得b=λa存在唯一一个实数λ,使得(a≠0)
b//ab=λab//a(a≠0)
存在唯一一个实数λ,使得b=λa存在唯一一个实数λ,使得(a≠0)
b//a(a≠0)
存在唯一一个实数λ,使得b=λa定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.(1)向量a(a≠0)与b共线,则存在实数λ,使得a=λb;
()判断:(1)向量a(a≠0)与b共线,则存在实数λ,使得a=λb;
()判断:分析:(1)向量a(a≠0)与b共线,则存在实数λ,使得a=λb;
()判断:当b=0时,分析:(1)向量a(a≠0)与b共线,则存在实数λ,使得a=λb;
()判断:当b=0时,λb=0.分析:(1)向量a(a≠0)与b共线,则存在实数λ,使得a=λb;
()判断:当b=0时,λb=0.而a≠0,分析:(1)向量a(a≠0)与b共线,则存在实数λ,使得a=λb;
()判断:当b=0时,λb=0.而a≠0,故不存在这样的实数λ.分析:(1)向量a(a≠0)与b共线,则存在实数λ,使得a=λb;
()判断:当b=0时,λb=0.而a≠0,故不存在这样的实数λ.分析:(2)b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ,使得λa=μb;()判断:(2)b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ,使得λa=μb;
()判断:证明:先证必要性
(2)b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ,使得λa=μb;判断:证明:先证必要性
当a=b=0时,(2)b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ,使得λa=μb;判断:证明:先证必要性
当a=b=0时,取λ=μ=1,此时结论成立.
(2)b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ,使得λa=μb;判断:证明:先证必要性
当a=b=0时,取λ=μ=1,此时结论成立.
当a,b不全为0时,(2)b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ,使得λa=μb;判断:证明:先证必要性
当a=b=0时,取λ=μ=1,此时结论成立.
当a,b不全为0时,不妨设a≠0,
(2)b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ,使得λa=μb;判断:证明:先证必要性
当a=b=0时,取λ=μ=1,此时结论成立.
当a,b不全为0时,不妨设a≠0,所以,存在唯一实数k,使得b=ka,
(2)b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ,使得λa=μb;判断:证明:先证必要性
当a=b=0时,取λ=μ=1,此时结论成立.
当a,b不全为0时,不妨设a≠0,所以,存在唯一实数k,使得b=ka,
取λ=k,μ=1,此时结论成立.(2)b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ,使得λa=μb;判断:再证充分性再证充分性不妨设λ≠0,再证充分性则a=b,不妨设λ≠0,再证充分性则a=b,此时结论成立.不妨设λ≠0,所以a//b.再证充分性则a=b,此时结论成立.则原命题成立.不妨设λ≠0,所以a//b.(3)若向量a与b不共线,且λa=μb,则λ=μ=0.
()判断:(3)若向量a与b不共线,且λa=μb,则λ=μ=0.
()判断:(3)若向量a与b不共线,且λa=μb,则λ=μ=0.
()判断:分析1:因为λa与a共线,μb与b共线,(3)若向量a与b不共线,且λa=μb,则λ=μ=0.
()判断:分析1:因为λa与a共线,μb与b共线,而a与b不共线,且λa=μb,(3)若向量a与b不共线,且λa=μb,则λ=μ=0.
()判断:分析1:因为λa与a共线,μb与b共线,而a与b不共线,且λa=μb,所以λa=μb=0.(3)若向量a与b不共线,且λa=μb,则λ=μ=0.
()判断:分析1:因为λa与a共线,μb与b共线,而a与b不共线,且λa=μb,所以λa=μb=0.因为a与b不共线,所以a≠0且b≠0.(3)若向量a与b不共线,且λa=μb,则λ=μ=0.
()判断:分析1:因为λa与a共线,μb与b共线,而a与b不共线,且λa=μb,所以λa=μb=0.因为a与b不共线,所以a≠0且b≠0.所以λ=μ=0.分析2:假设λ和μ不全为0,不妨设λ≠0,分析2:假设λ和μ不全为0,则a=b,因为λa=μb,不妨设λ≠0,分析2:假设λ和μ不全为0,则a=b,所以a//b.因为λa=μb,不妨设λ≠0,分析2:假设λ和μ不全为0,则a=b,所以a//b.因为λa=μb,与已知条件矛盾,不妨设λ≠0,分析2:假设λ和μ不全为0,则a=b,所以a//b.因为λa=μb,与已知条件矛盾,所以λ=μ=0.不妨设λ≠0,分析2:假设λ和μ不全为0,应用1存在实数λ,使b=λa向量a与b共线证明向量共线应用11存在实数λ,使b=λa向量a与b共线证明向量共线例如:应用11存在实数λ,使b=λa向量a与b共线证明向量共线例如:应用11存在实数λ,使b=λa向量a与b共线证明向量共线例如:应用11存在实数λ,使b=λa向量a与b共线应用1存在实数λ,使b=λa向量a与b共线ABCD应用1存在实数λ,使b=λa向量a与b共线ABCDABCD应用1存在实数λ,使b=λa向量a与b共线存在实数λ,使b=λa向量a与b共线证明两直线平行ABCDABCD应用12存在实数λ,使b=λa向量a与b共线证明两直线平行证明三点共线ABCDABCD应用123证明两直线平行ABCD2证明两直线平行ABCD2证明两直线平行ABCD2证明两直线平行直线AB与CD不重合直线AB//CDABCD2证明三点共线ABC3证明三点共线ABC3证明三点共线ABC3证明三点共线ABC(有公共点)3证明三点共线ABC(有公共点)3A,B,C三点共线证明三点共线ABC(有公共点)3A,B,C三点共线或或……
例
已知任意两个非零向量a,b,试作,.猜想A,B,C三点之
间的位置关系,并证明你的猜想.例
已知任意两个非零向量a,b,试作,.猜想A,B,C三点之
间的位置关系,并证明你的猜想.例
已知任意两个非零向量a,b,试作,.猜想A,B,C三点之
间的位置关系,并证明你的猜想.O例
已知任意两个非零向量a,b,试作,.猜想A,B,C三点之
间的位置关系,并证明你的猜想.O例
已知任意两个非零向量a,b,试作,.猜想A,B,C三点之
间的位置关系,并证明你的猜想.AO例
已知任意两个非零向量a,b,试作,.猜想A,B,C三点之
间的位置关系,并证明你的猜想.ABO例
已知任意两个非零向量a,b,试作,.猜想A,B,C三点之
间的位置关系,并证明你的猜想.ABO例
已知任意两个非零向量a,b,试作,.猜想A,B,C三点之
间的位置关系,并证明你的猜想.ABCO例
已知任意两个非零向量a,b,试作,.猜想A,B,C三点之
间的位置关系,并证明你的猜想.ABCO猜想:A,B,C三点共线.ABCO分析:猜想:A,B,C三点共线.ABCO猜想:A,B,C三点共线.ABCO分析:只需证,分析:只需证,猜想:A,B,C三点共线.ABCO只需证:存在λ,使证明:猜想:A,B,C三点共线.ABCO只需证:存在λ,使分析:只需证,证明:猜想:A,B,C三点共线.ABCO只需证:存在λ,使分析:只需证,证明:猜想:A,B,C三点共线.ABCO只需证:存在λ,使分析:只需证,证明:猜想:A,B,C三点共线.只需证:存在λ,使分析:只需证,,ABCO证明:猜想:A,B,C三点共线.只需证:存在λ,使分析:只需证,,ABCO证明:猜想:A,B,C三点共线.只需证:存在λ,使分析:只需证,,ABCO证明:猜想:A,B,C三点共线.只需证:存在λ,使分析:只需证,,,ABCO证明:∴猜想:A,B,C三点共线.只需证:存在λ,使分析:只需证,,,证明:∴∴猜想:A,B,C三点共线.只需证:存在λ,使分析:只需证,,,证明:∴A,B,C三点共线.∴∴猜想:A,B,C三点共线.只需证:存在λ,使分析:只需证,,,证明:∴A,B,C三点共线.∴∴猜想:A,B,C三点共线.发展直观想象只需证:存在λ,使分析:只需证,,,证明:∴A,B,C三点共线.∴∴猜想:A,B,C三点共线.向量法发展直观想象只需证:存在λ,使分析:只需证,,,应用2向量a(a≠0)与b共线存在唯一一个实数λ,使b=λa.应用2与非零向量a同向的单位向量为_______.?向量a(a≠0)与b共线存在唯一一个实数λ,使b=λa.应用2与非零向量a同向的单位向量为_______.?分析:向量a(a≠0)与b共线存在唯一一个实数λ,使b=λa.应用2与非零向量a同向的单位向量为_______.?分析:向量a(a≠0)与b共线存在唯一一个实数λ,使b=λa.设为λa
(λ>0),应用2与非零向量a同向的单位向量为_______.?分析:向量a(a≠0)与b共线存在唯一一个实数λ,使b=λa.其模为|λa|,即λ
|
a|.设为λa
(λ>0),应用2与非零向量a同向的单位向量为_______.?分析:令λ|
a|
=1,向量a(a≠0)与b共线存在唯一一个实数λ,使b=λa.其模为|λa|,即λ
|
a|.设为λa
(λ>0),应用2与非零向量a同向的单位向量为_______.?分析:令λ|
a|
=1,则.向量a(a≠0)与b共线存在唯一一个实数λ,使b=λa.其模为|λa|,即λ
|
a|.设为λa
(λ>0),应用2与非零向量a同向的单位向量为_______.?向量a(a≠0)与b共线存在唯一一个实数λ,使b=λa.应用2与非零向量a同向的单位向量为_______.?与非零向量a共线的单位向量为_____.向量a(a≠0)与b共线存在唯一一个实数λ,使b=λa.应用2与非零向量a同向的单位向量为_______.?与非零向量a共线的单位向量为_____.向量a(a≠0)与b共线存在唯一一个实数λ,使b=λa.例
已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,共线,求实数t的值.例
已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,共线,求实数t的值.由向量b-ta与共线,分析:例
已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,共线,求实数t的值.由向量b-ta与共线,b-ta=分析:可设例
已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,共线,求实数t的值.由向量b-ta与共线,b-ta=分析:可设?例
已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,共线,求实数t的值.由向量b-ta与共线,b-ta=分析:可设定理:b//a(a≠0)
存在唯一一个实数λ,使得b=λa?例
已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,共线,求实数t的值.由向量b-ta与共线,b-ta=由于
a,b不共线,分析:可设定理:b//a(a≠0)
存在唯一一个实数λ,使得b=λa?例
已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,共线,求实数t的值.0.由向量b-ta与共线,b-ta=由于
a,b不共线,分析:可设定理:b//a(a≠0)
存在唯一一个实数λ,使得b=λa所以?例
已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,共线,求实数t的值.解:例
已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,共线,求实数t的值.0.∴∵a,b不共线,解:例
已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,共线,求实数t的值.0.∵b-ta与共线,∴∵a,b不共线,解:例
已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,共线,求实数t的值.0.∵b-ta与共线,∴∴唯一,使得Rb-ta=∵a,b不共线,解:例
已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,共线,求实数t的值.0.∵b-ta与共线,∴∴唯一,使得Rb-ta=∵a,b不共线,∴解:例
已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,共线,求实数t的值.∵a,b不共线,0.∵b-ta与共线,∴∴唯一,使得Rb-ta=∵a,b不共线,∴解:例
已知a,b是两个不共线的向量,向量b-
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