高一年级下册数学向量的数乘运算的应用人教A版

高一年级数学向量的数乘运算的应用它的长度与方向规定如下：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，(1)|

λa

|

＝

|

λ

||

a

|；(2)当

λ>0时，λa

与

a的方向相同；当

λ<0时，λa与

a的方向相反.记作λa

，这种运算叫做向量的数乘，特别地，当

λ

＝

0

时，λa

＝

0.复习引入探究1若b

＝

λa，那么b与a有怎样的位置关系？探究1若b

＝

λa，那么b与a有怎样的位置关系？当

λ>0时，λa

与

a的方向相同；探究1若b

＝

λa，那么b与a有怎样的位置关系？当

λ>0时，λa

与

a的方向相同；当

λ<0时，λa与

a的方向相反；探究1若b

＝

λa，那么b与a有怎样的位置关系？当

λ>0时，λa

与

a的方向相同；当

λ<0时，λa与

a的方向相反；当

λ

＝

0

时，λa

＝

0.探究1若b

＝

λa，那么b与a有怎样的位置关系？当

λ>0时，λa

与

a的方向相同；当

λ<0时，λa与

a的方向相反；当

λ

＝

0

时，λa

＝

0.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.规定零向量与任意向量平行.平行向量也叫共线向量.若b

＝

λa，那么b与a有怎样的位置关系？当

λ>0时，λa

与

a的方向相同；当

λ<0时，λa与

a的方向相反；当

λ

＝

0

时，λa

＝

0.结论：

b=λab//a.探究1若b

＝

λa，那么b与a有怎样的位置关系？当

λ>0时，λa

与

a的方向相同；当

λ<0时，λa与

a的方向相反；当

λ

＝

0

时，λa

＝

0.结论：

b=λab//a.aλa探究1若b//a，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2若b//a，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2(1)当a≠0，b≠0时，若b//a，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2(1)当a≠0，b≠0时，若|

b|

＝

μ|

a

|，若b//a，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2(1)当a≠0，b≠0时，若|

b|

＝

μ|

a

|，当a与b同向时，b=μ

a，

若b//a，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2(1)当a≠0，b≠0时，若|

b|

＝

μ|

a

|，当a与b同向时，b=μ

a，

当a与b反向时，b=-μ

a，

若b//a，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2(1)当a≠0，b≠0时，若|

b|

＝

μ|

a

|，当a与b同向时，b=μ

a，

当a与b反向时，b=-μ

a，

存在唯一一个实数λ，使得b=λa.若b//a，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2(1)当a≠0，b≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(2)当a≠0，b=0时，若b//a，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2(1)当a≠0，b≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(2)当a≠0，b=0时，使得0=λa，若b//a，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2(1)当a≠0，b≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(2)当a≠0，b=0时，使得0=λa，取λ=0即可.若b//a，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2(1)当a≠0，b≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(2)当a≠0，b=0时，使得0=λa，取λ=0即可.存在唯一一个实数λ，使得b=λa.若b//a，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2(1)当a≠0，b≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(2)当a≠0，b=0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(3)当a=0，b≠0时，若b//a，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2(1)当a≠0，b≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(2)当a≠0，b=0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(3)当a=0，b≠0时，λa=0，若b//a，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2(1)当a≠0，b≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(2)当a≠0，b=0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(3)当a=0，b≠0时，λa=0，不存在这样的实数λ，使得b=λa.若b//a，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2(1)当a≠0，b≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(2)当a≠0，b=0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(3)当a=0，b≠0时，不存在这样的实数λ，使得b=λa.(4)当a=0，b=0时，若b//a，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2(1)当a≠0，b≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(2)当a≠0，b=0时，λa=0存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(3)当a=0，b≠0时，不存在这样的实数λ，使得b=λa.(4)当a=0，b=0时，若b//a，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2(1)当a≠0，b≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(2)当a≠0，b=0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(3)当a=0，b≠0时，不存在这样的实数λ，使得b=λa.(4)当a=0，b=0时，λ取任意实数，都使得b=λa.若b//a，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2当a≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.当a=0，b≠0时，不存在实数λ，使得b=λa.当a=0，b=0时，λ取任意实数，都使得b=λa.若b//a，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2当a≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.当a=0，b≠0时，不存在实数λ，使得b=λa.当a=0，b=0时，λ取任意实数，都使得b=λa.b//a(a≠0)

b//a(a≠0)

存在唯一一个实数λ，使得b=λa

b//ab=λab//a(a≠0)

存在唯一一个实数λ，使得b=λa存在唯一一个实数λ，使得(a≠0)

？

b//ab=λab//a(a≠0)

存在唯一一个实数λ，使得b=λa存在实数λ，使得

b//ab=λab//a(a≠0)

存在唯一一个实数λ，使得b=λa存在实数λ，使得若a=0，

b//ab=λab//a(a≠0)

存在唯一一个实数λ，使得b=λa存在实数λ，使得若a=0，则b=λa=0，

b//ab=λab//a(a≠0)

存在唯一一个实数λ，使得b=λa存在实数λ，使得若a=0，此时，λ可以取任意实数.则b=λa=0，

b//ab=λab//a(a≠0)

存在唯一一个实数λ，使得b=λa存在实数λ，使得若a=0，此时，λ可以取任意实数.则b=λa=0，λ不唯一

b//ab=λab//a(a≠0)

存在唯一一个实数λ，使得b=λa存在唯一一个实数λ，使得

b//ab=λab//a(a≠0)

存在唯一一个实数λ，使得b=λa存在唯一一个实数λ，使得(a≠0)

b//ab=λab//a(a≠0)

存在唯一一个实数λ，使得b=λa存在唯一一个实数λ，使得(a≠0)

b//a(a≠0)

存在唯一一个实数λ，使得b=λa定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa.定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa.定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa.定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa.(1)向量a(a≠0)与b共线，则存在实数λ，使得a=λb；

()判断：(1)向量a(a≠0)与b共线，则存在实数λ，使得a=λb；

()判断：分析：(1)向量a(a≠0)与b共线，则存在实数λ，使得a=λb；

()判断：当b=0时，分析：(1)向量a(a≠0)与b共线，则存在实数λ，使得a=λb；

()判断：当b=0时，λb=0.分析：(1)向量a(a≠0)与b共线，则存在实数λ，使得a=λb；

()判断：当b=0时，λb=0.而a≠0，分析：(1)向量a(a≠0)与b共线，则存在实数λ，使得a=λb；

()判断：当b=0时，λb=0.而a≠0，故不存在这样的实数λ.分析：(1)向量a(a≠0)与b共线，则存在实数λ，使得a=λb；

()判断：当b=0时，λb=0.而a≠0，故不存在这样的实数λ.分析：(2)b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ，使得λa=μb；()判断：(2)b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ，使得λa=μb；

()判断：证明：先证必要性

(2)b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ，使得λa=μb；判断：证明：先证必要性

当a=b=0时，(2)b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ，使得λa=μb；判断：证明：先证必要性

当a=b=0时，取λ=μ=1，此时结论成立.

(2)b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ，使得λa=μb；判断：证明：先证必要性

当a=b=0时，取λ=μ=1，此时结论成立.

当a，b不全为0时，(2)b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ，使得λa=μb；判断：证明：先证必要性

当a=b=0时，取λ=μ=1，此时结论成立.

当a，b不全为0时，不妨设a≠0，

(2)b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ，使得λa=μb；判断：证明：先证必要性

当a=b=0时，取λ=μ=1，此时结论成立.

当a，b不全为0时，不妨设a≠0，所以，存在唯一实数k，使得b=ka，

(2)b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ，使得λa=μb；判断：证明：先证必要性

当a=b=0时，取λ=μ=1，此时结论成立.

当a，b不全为0时，不妨设a≠0，所以，存在唯一实数k，使得b=ka，

取λ=k，μ=1，此时结论成立.(2)b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ，使得λa=μb；判断：再证充分性再证充分性不妨设λ≠0，再证充分性则a=b，不妨设λ≠0，再证充分性则a=b，此时结论成立.不妨设λ≠0，所以a//b.再证充分性则a=b，此时结论成立.则原命题成立.不妨设λ≠0，所以a//b.(3)若向量a与b不共线，且λa=μb，则λ=μ=0.

()判断：(3)若向量a与b不共线，且λa=μb，则λ=μ=0.

()判断：(3)若向量a与b不共线，且λa=μb，则λ=μ=0.

()判断：分析1:因为λa与a共线，μb与b共线，(3)若向量a与b不共线，且λa=μb，则λ=μ=0.

()判断：分析1:因为λa与a共线，μb与b共线，而a与b不共线，且λa=μb，(3)若向量a与b不共线，且λa=μb，则λ=μ=0.

()判断：分析1:因为λa与a共线，μb与b共线，而a与b不共线，且λa=μb，所以λa=μb=0.(3)若向量a与b不共线，且λa=μb，则λ=μ=0.

()判断：分析1:因为λa与a共线，μb与b共线，而a与b不共线，且λa=μb，所以λa=μb=0.因为a与b不共线，所以a≠0且b≠0.(3)若向量a与b不共线，且λa=μb，则λ=μ=0.

()判断：分析1:因为λa与a共线，μb与b共线，而a与b不共线，且λa=μb，所以λa=μb=0.因为a与b不共线，所以a≠0且b≠0.所以λ=μ=0.分析2:假设λ和μ不全为0，不妨设λ≠0，分析2:假设λ和μ不全为0，则a=b，因为λa=μb，不妨设λ≠0，分析2:假设λ和μ不全为0，则a=b，所以a//b.因为λa=μb，不妨设λ≠0，分析2:假设λ和μ不全为0，则a=b，所以a//b.因为λa=μb，与已知条件矛盾，不妨设λ≠0，分析2:假设λ和μ不全为0，则a=b，所以a//b.因为λa=μb，与已知条件矛盾，所以λ=μ=0.不妨设λ≠0，分析2:假设λ和μ不全为0，应用1存在实数λ，使b=λa向量a与b共线证明向量共线应用11存在实数λ，使b=λa向量a与b共线证明向量共线例如：应用11存在实数λ，使b=λa向量a与b共线证明向量共线例如：应用11存在实数λ，使b=λa向量a与b共线证明向量共线例如：应用11存在实数λ，使b=λa向量a与b共线应用1存在实数λ，使b=λa向量a与b共线ABCD应用1存在实数λ，使b=λa向量a与b共线ABCDABCD应用1存在实数λ，使b=λa向量a与b共线存在实数λ，使b=λa向量a与b共线证明两直线平行ABCDABCD应用12存在实数λ，使b=λa向量a与b共线证明两直线平行证明三点共线ABCDABCD应用123证明两直线平行ABCD2证明两直线平行ABCD2证明两直线平行ABCD2证明两直线平行直线AB与CD不重合直线AB//CDABCD2证明三点共线ABC3证明三点共线ABC3证明三点共线ABC3证明三点共线ABC(有公共点)3证明三点共线ABC(有公共点)3A,B,C三点共线证明三点共线ABC(有公共点)3A,B,C三点共线或或……

例

已知任意两个非零向量a，b，试作，．猜想A，B，C三点之

间的位置关系，并证明你的猜想．例

已知任意两个非零向量a，b，试作，．猜想A，B，C三点之

间的位置关系，并证明你的猜想．例

已知任意两个非零向量a，b，试作，．猜想A，B，C三点之

间的位置关系，并证明你的猜想．O例

已知任意两个非零向量a，b，试作，．猜想A，B，C三点之

间的位置关系，并证明你的猜想．O例

已知任意两个非零向量a，b，试作，．猜想A，B，C三点之

间的位置关系，并证明你的猜想．AO例

已知任意两个非零向量a，b，试作，．猜想A，B，C三点之

间的位置关系，并证明你的猜想．ABO例

已知任意两个非零向量a，b，试作，．猜想A，B，C三点之

间的位置关系，并证明你的猜想．ABO例

已知任意两个非零向量a，b，试作，．猜想A，B，C三点之

间的位置关系，并证明你的猜想．ABCO例

已知任意两个非零向量a，b，试作，．猜想A，B，C三点之

间的位置关系，并证明你的猜想．ABCO猜想：A，B，C三点共线.ABCO分析：猜想：A，B，C三点共线.ABCO猜想：A，B，C三点共线.ABCO分析：只需证，分析：只需证，猜想：A，B，C三点共线.ABCO只需证：存在λ，使证明：猜想：A，B，C三点共线.ABCO只需证：存在λ，使分析：只需证，证明：猜想：A，B，C三点共线.ABCO只需证：存在λ，使分析：只需证，证明：猜想：A，B，C三点共线.ABCO只需证：存在λ，使分析：只需证，证明：猜想：A，B，C三点共线.只需证：存在λ，使分析：只需证，，ABCO证明：猜想：A，B，C三点共线.只需证：存在λ，使分析：只需证，，ABCO证明：猜想：A，B，C三点共线.只需证：存在λ，使分析：只需证，，ABCO证明：猜想：A，B，C三点共线.只需证：存在λ，使分析：只需证，，，ABCO证明：∴猜想：A，B，C三点共线.只需证：存在λ，使分析：只需证，，，证明：∴∴猜想：A，B，C三点共线.只需证：存在λ，使分析：只需证，，，证明：∴A，B，C三点共线.∴∴猜想：A，B，C三点共线.只需证：存在λ，使分析：只需证，，，证明：∴A，B，C三点共线.∴∴猜想：A，B，C三点共线.发展直观想象只需证：存在λ，使分析：只需证，，，证明：∴A，B，C三点共线.∴∴猜想：A，B，C三点共线.向量法发展直观想象只需证：存在λ，使分析：只需证，，，应用2向量a(a≠0)与b共线存在唯一一个实数λ，使b=λa.应用2与非零向量a同向的单位向量为_______.?向量a(a≠0)与b共线存在唯一一个实数λ，使b=λa.应用2与非零向量a同向的单位向量为_______.?分析：向量a(a≠0)与b共线存在唯一一个实数λ，使b=λa.应用2与非零向量a同向的单位向量为_______.?分析：向量a(a≠0)与b共线存在唯一一个实数λ，使b=λa.设为λa

(λ>0)，应用2与非零向量a同向的单位向量为_______.?分析：向量a(a≠0)与b共线存在唯一一个实数λ，使b=λa.其模为|λa|，即λ

|

a|.设为λa

(λ>0)，应用2与非零向量a同向的单位向量为_______.?分析：令λ|

a|

=1，向量a(a≠0)与b共线存在唯一一个实数λ，使b=λa.其模为|λa|，即λ

|

a|.设为λa

(λ>0)，应用2与非零向量a同向的单位向量为_______.?分析：令λ|

a|

=1，则.向量a(a≠0)与b共线存在唯一一个实数λ，使b=λa.其模为|λa|，即λ

|

a|.设为λa

(λ>0)，应用2与非零向量a同向的单位向量为_______.?向量a(a≠0)与b共线存在唯一一个实数λ，使b=λa.应用2与非零向量a同向的单位向量为_______.?与非零向量a共线的单位向量为_____.向量a(a≠0)与b共线存在唯一一个实数λ，使b=λa.应用2与非零向量a同向的单位向量为_______.?与非零向量a共线的单位向量为_____.向量a(a≠0)与b共线存在唯一一个实数λ，使b=λa.例

已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，共线，求实数t的值．例

已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，共线，求实数t的值．由向量b－ta与共线，分析：例

已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，共线，求实数t的值．由向量b－ta与共线，b－ta=分析：可设例

已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，共线，求实数t的值．由向量b－ta与共线，b－ta=分析：可设？例

已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，共线，求实数t的值．由向量b－ta与共线，b－ta=分析：可设定理：b//a(a≠0)

存在唯一一个实数λ，使得b=λa？例

已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，共线，求实数t的值．由向量b－ta与共线，b－ta=由于

a，b不共线，分析：可设定理：b//a(a≠0)

存在唯一一个实数λ，使得b=λa？例

已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，共线，求实数t的值．0．由向量b－ta与共线，b－ta=由于

a，b不共线，分析：可设定理：b//a(a≠0)

存在唯一一个实数λ，使得b=λa所以？例

已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，共线，求实数t的值．解：例

已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，共线，求实数t的值．0.∴∵a，b不共线，解：例

已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，共线，求实数t的值．0.∵b－ta与共线，∴∵a，b不共线，解：例

已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，共线，求实数t的值．0.∵b－ta与共线，∴∴唯一，使得Rb－ta=∵a，b不共线，解：例

已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，共线，求实数t的值．0.∵b－ta与共线，∴∴唯一，使得Rb－ta=∵a，b不共线，∴解：例

已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，共线，求实数t的值．∵a，b不共线，0.∵b－ta与共线，∴∴唯一，使得Rb－ta=∵a，b不共线，∴解：例

已知a，b是两个不共线的向量，向量b－