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文档简介

高一年级数学向量的数乘运算的应用它的长度与方向规定如下:一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,(1)|

λa

|

|

λ

||

a

|;(2)当

λ>0时,λa

a的方向相同;当

λ<0时,λa与

a的方向相反.记作λa

,这种运算叫做向量的数乘,特别地,当

λ

0

时,λa

0.复习引入探究1若b

λa,那么b与a有怎样的位置关系?探究1若b

λa,那么b与a有怎样的位置关系?当

λ>0时,λa

a的方向相同;探究1若b

λa,那么b与a有怎样的位置关系?当

λ>0时,λa

a的方向相同;当

λ<0时,λa与

a的方向相反;探究1若b

λa,那么b与a有怎样的位置关系?当

λ>0时,λa

a的方向相同;当

λ<0时,λa与

a的方向相反;当

λ

0

时,λa

0.探究1若b

λa,那么b与a有怎样的位置关系?当

λ>0时,λa

a的方向相同;当

λ<0时,λa与

a的方向相反;当

λ

0

时,λa

0.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.规定零向量与任意向量平行.平行向量也叫共线向量.若b

λa,那么b与a有怎样的位置关系?当

λ>0时,λa

a的方向相同;当

λ<0时,λa与

a的方向相反;当

λ

0

时,λa

0.结论:

b=λab//a.探究1若b

λa,那么b与a有怎样的位置关系?当

λ>0时,λa

a的方向相同;当

λ<0时,λa与

a的方向相反;当

λ

0

时,λa

0.结论:

b=λab//a.aλa探究1若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2(1)当a≠0,b≠0时,若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2(1)当a≠0,b≠0时,若|

b|

μ|

a

|,若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2(1)当a≠0,b≠0时,若|

b|

μ|

a

|,当a与b同向时,b=μ

a,

若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2(1)当a≠0,b≠0时,若|

b|

μ|

a

|,当a与b同向时,b=μ

a,

当a与b反向时,b=-μ

a,

若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2(1)当a≠0,b≠0时,若|

b|

μ|

a

|,当a与b同向时,b=μ

a,

当a与b反向时,b=-μ

a,

存在唯一一个实数λ,使得b=λa.若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2(1)当a≠0,b≠0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(2)当a≠0,b=0时,若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2(1)当a≠0,b≠0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(2)当a≠0,b=0时,使得0=λa,若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2(1)当a≠0,b≠0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(2)当a≠0,b=0时,使得0=λa,取λ=0即可.若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2(1)当a≠0,b≠0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(2)当a≠0,b=0时,使得0=λa,取λ=0即可.存在唯一一个实数λ,使得b=λa.若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2(1)当a≠0,b≠0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(2)当a≠0,b=0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(3)当a=0,b≠0时,若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2(1)当a≠0,b≠0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(2)当a≠0,b=0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(3)当a=0,b≠0时,λa=0,若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2(1)当a≠0,b≠0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(2)当a≠0,b=0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(3)当a=0,b≠0时,λa=0,不存在这样的实数λ,使得b=λa.若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2(1)当a≠0,b≠0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(2)当a≠0,b=0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(3)当a=0,b≠0时,不存在这样的实数λ,使得b=λa.(4)当a=0,b=0时,若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2(1)当a≠0,b≠0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(2)当a≠0,b=0时,λa=0存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(3)当a=0,b≠0时,不存在这样的实数λ,使得b=λa.(4)当a=0,b=0时,若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2(1)当a≠0,b≠0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(2)当a≠0,b=0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.(3)当a=0,b≠0时,不存在这样的实数λ,使得b=λa.(4)当a=0,b=0时,λ取任意实数,都使得b=λa.若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2当a≠0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.当a=0,b≠0时,不存在实数λ,使得b=λa.当a=0,b=0时,λ取任意实数,都使得b=λa.若b//a,是否存在实数λ,使得b=λa?探究2当a≠0时,存在唯一一个实数λ,使得b=λa.当a=0,b≠0时,不存在实数λ,使得b=λa.当a=0,b=0时,λ取任意实数,都使得b=λa.b//a(a≠0)

b//a(a≠0)

存在唯一一个实数λ,使得b=λa

b//ab=λab//a(a≠0)

存在唯一一个实数λ,使得b=λa存在唯一一个实数λ,使得(a≠0)

b//ab=λab//a(a≠0)

存在唯一一个实数λ,使得b=λa存在实数λ,使得

b//ab=λab//a(a≠0)

存在唯一一个实数λ,使得b=λa存在实数λ,使得若a=0,

b//ab=λab//a(a≠0)

存在唯一一个实数λ,使得b=λa存在实数λ,使得若a=0,则b=λa=0,

b//ab=λab//a(a≠0)

存在唯一一个实数λ,使得b=λa存在实数λ,使得若a=0,此时,λ可以取任意实数.则b=λa=0,

b//ab=λab//a(a≠0)

存在唯一一个实数λ,使得b=λa存在实数λ,使得若a=0,此时,λ可以取任意实数.则b=λa=0,λ不唯一

b//ab=λab//a(a≠0)

存在唯一一个实数λ,使得b=λa存在唯一一个实数λ,使得

b//ab=λab//a(a≠0)

存在唯一一个实数λ,使得b=λa存在唯一一个实数λ,使得(a≠0)

b//ab=λab//a(a≠0)

存在唯一一个实数λ,使得b=λa存在唯一一个实数λ,使得(a≠0)

b//a(a≠0)

存在唯一一个实数λ,使得b=λa定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.(1)向量a(a≠0)与b共线,则存在实数λ,使得a=λb;

()判断:(1)向量a(a≠0)与b共线,则存在实数λ,使得a=λb;

()判断:分析:(1)向量a(a≠0)与b共线,则存在实数λ,使得a=λb;

()判断:当b=0时,分析:(1)向量a(a≠0)与b共线,则存在实数λ,使得a=λb;

()判断:当b=0时,λb=0.分析:(1)向量a(a≠0)与b共线,则存在实数λ,使得a=λb;

()判断:当b=0时,λb=0.而a≠0,分析:(1)向量a(a≠0)与b共线,则存在实数λ,使得a=λb;

()判断:当b=0时,λb=0.而a≠0,故不存在这样的实数λ.分析:(1)向量a(a≠0)与b共线,则存在实数λ,使得a=λb;

()判断:当b=0时,λb=0.而a≠0,故不存在这样的实数λ.分析:(2)b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ,使得λa=μb;()判断:(2)b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ,使得λa=μb;

()判断:证明:先证必要性

(2)b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ,使得λa=μb;判断:证明:先证必要性

当a=b=0时,(2)b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ,使得λa=μb;判断:证明:先证必要性

当a=b=0时,取λ=μ=1,此时结论成立.

(2)b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ,使得λa=μb;判断:证明:先证必要性

当a=b=0时,取λ=μ=1,此时结论成立.

当a,b不全为0时,(2)b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ,使得λa=μb;判断:证明:先证必要性

当a=b=0时,取λ=μ=1,此时结论成立.

当a,b不全为0时,不妨设a≠0,

(2)b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ,使得λa=μb;判断:证明:先证必要性

当a=b=0时,取λ=μ=1,此时结论成立.

当a,b不全为0时,不妨设a≠0,所以,存在唯一实数k,使得b=ka,

(2)b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ,使得λa=μb;判断:证明:先证必要性

当a=b=0时,取λ=μ=1,此时结论成立.

当a,b不全为0时,不妨设a≠0,所以,存在唯一实数k,使得b=ka,

取λ=k,μ=1,此时结论成立.(2)b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ,使得λa=μb;判断:再证充分性再证充分性不妨设λ≠0,再证充分性则a=b,不妨设λ≠0,再证充分性则a=b,此时结论成立.不妨设λ≠0,所以a//b.再证充分性则a=b,此时结论成立.则原命题成立.不妨设λ≠0,所以a//b.(3)若向量a与b不共线,且λa=μb,则λ=μ=0.

()判断:(3)若向量a与b不共线,且λa=μb,则λ=μ=0.

()判断:(3)若向量a与b不共线,且λa=μb,则λ=μ=0.

()判断:分析1:因为λa与a共线,μb与b共线,(3)若向量a与b不共线,且λa=μb,则λ=μ=0.

()判断:分析1:因为λa与a共线,μb与b共线,而a与b不共线,且λa=μb,(3)若向量a与b不共线,且λa=μb,则λ=μ=0.

()判断:分析1:因为λa与a共线,μb与b共线,而a与b不共线,且λa=μb,所以λa=μb=0.(3)若向量a与b不共线,且λa=μb,则λ=μ=0.

()判断:分析1:因为λa与a共线,μb与b共线,而a与b不共线,且λa=μb,所以λa=μb=0.因为a与b不共线,所以a≠0且b≠0.(3)若向量a与b不共线,且λa=μb,则λ=μ=0.

()判断:分析1:因为λa与a共线,μb与b共线,而a与b不共线,且λa=μb,所以λa=μb=0.因为a与b不共线,所以a≠0且b≠0.所以λ=μ=0.分析2:假设λ和μ不全为0,不妨设λ≠0,分析2:假设λ和μ不全为0,则a=b,因为λa=μb,不妨设λ≠0,分析2:假设λ和μ不全为0,则a=b,所以a//b.因为λa=μb,不妨设λ≠0,分析2:假设λ和μ不全为0,则a=b,所以a//b.因为λa=μb,与已知条件矛盾,不妨设λ≠0,分析2:假设λ和μ不全为0,则a=b,所以a//b.因为λa=μb,与已知条件矛盾,所以λ=μ=0.不妨设λ≠0,分析2:假设λ和μ不全为0,应用1存在实数λ,使b=λa向量a与b共线证明向量共线应用11存在实数λ,使b=λa向量a与b共线证明向量共线例如:应用11存在实数λ,使b=λa向量a与b共线证明向量共线例如:应用11存在实数λ,使b=λa向量a与b共线证明向量共线例如:应用11存在实数λ,使b=λa向量a与b共线应用1存在实数λ,使b=λa向量a与b共线ABCD应用1存在实数λ,使b=λa向量a与b共线ABCDABCD应用1存在实数λ,使b=λa向量a与b共线存在实数λ,使b=λa向量a与b共线证明两直线平行ABCDABCD应用12存在实数λ,使b=λa向量a与b共线证明两直线平行证明三点共线ABCDABCD应用123证明两直线平行ABCD2证明两直线平行ABCD2证明两直线平行ABCD2证明两直线平行直线AB与CD不重合直线AB//CDABCD2证明三点共线ABC3证明三点共线ABC3证明三点共线ABC3证明三点共线ABC(有公共点)3证明三点共线ABC(有公共点)3A,B,C三点共线证明三点共线ABC(有公共点)3A,B,C三点共线或或……

已知任意两个非零向量a,b,试作,.猜想A,B,C三点之

间的位置关系,并证明你的猜想.例

已知任意两个非零向量a,b,试作,.猜想A,B,C三点之

间的位置关系,并证明你的猜想.例

已知任意两个非零向量a,b,试作,.猜想A,B,C三点之

间的位置关系,并证明你的猜想.O例

已知任意两个非零向量a,b,试作,.猜想A,B,C三点之

间的位置关系,并证明你的猜想.O例

已知任意两个非零向量a,b,试作,.猜想A,B,C三点之

间的位置关系,并证明你的猜想.AO例

已知任意两个非零向量a,b,试作,.猜想A,B,C三点之

间的位置关系,并证明你的猜想.ABO例

已知任意两个非零向量a,b,试作,.猜想A,B,C三点之

间的位置关系,并证明你的猜想.ABO例

已知任意两个非零向量a,b,试作,.猜想A,B,C三点之

间的位置关系,并证明你的猜想.ABCO例

已知任意两个非零向量a,b,试作,.猜想A,B,C三点之

间的位置关系,并证明你的猜想.ABCO猜想:A,B,C三点共线.ABCO分析:猜想:A,B,C三点共线.ABCO猜想:A,B,C三点共线.ABCO分析:只需证,分析:只需证,猜想:A,B,C三点共线.ABCO只需证:存在λ,使证明:猜想:A,B,C三点共线.ABCO只需证:存在λ,使分析:只需证,证明:猜想:A,B,C三点共线.ABCO只需证:存在λ,使分析:只需证,证明:猜想:A,B,C三点共线.ABCO只需证:存在λ,使分析:只需证,证明:猜想:A,B,C三点共线.只需证:存在λ,使分析:只需证,,ABCO证明:猜想:A,B,C三点共线.只需证:存在λ,使分析:只需证,,ABCO证明:猜想:A,B,C三点共线.只需证:存在λ,使分析:只需证,,ABCO证明:猜想:A,B,C三点共线.只需证:存在λ,使分析:只需证,,,ABCO证明:∴猜想:A,B,C三点共线.只需证:存在λ,使分析:只需证,,,证明:∴∴猜想:A,B,C三点共线.只需证:存在λ,使分析:只需证,,,证明:∴A,B,C三点共线.∴∴猜想:A,B,C三点共线.只需证:存在λ,使分析:只需证,,,证明:∴A,B,C三点共线.∴∴猜想:A,B,C三点共线.发展直观想象只需证:存在λ,使分析:只需证,,,证明:∴A,B,C三点共线.∴∴猜想:A,B,C三点共线.向量法发展直观想象只需证:存在λ,使分析:只需证,,,应用2向量a(a≠0)与b共线存在唯一一个实数λ,使b=λa.应用2与非零向量a同向的单位向量为_______.?向量a(a≠0)与b共线存在唯一一个实数λ,使b=λa.应用2与非零向量a同向的单位向量为_______.?分析:向量a(a≠0)与b共线存在唯一一个实数λ,使b=λa.应用2与非零向量a同向的单位向量为_______.?分析:向量a(a≠0)与b共线存在唯一一个实数λ,使b=λa.设为λa

(λ>0),应用2与非零向量a同向的单位向量为_______.?分析:向量a(a≠0)与b共线存在唯一一个实数λ,使b=λa.其模为|λa|,即λ

|

a|.设为λa

(λ>0),应用2与非零向量a同向的单位向量为_______.?分析:令λ|

a|

=1,向量a(a≠0)与b共线存在唯一一个实数λ,使b=λa.其模为|λa|,即λ

|

a|.设为λa

(λ>0),应用2与非零向量a同向的单位向量为_______.?分析:令λ|

a|

=1,则.向量a(a≠0)与b共线存在唯一一个实数λ,使b=λa.其模为|λa|,即λ

|

a|.设为λa

(λ>0),应用2与非零向量a同向的单位向量为_______.?向量a(a≠0)与b共线存在唯一一个实数λ,使b=λa.应用2与非零向量a同向的单位向量为_______.?与非零向量a共线的单位向量为_____.向量a(a≠0)与b共线存在唯一一个实数λ,使b=λa.应用2与非零向量a同向的单位向量为_______.?与非零向量a共线的单位向量为_____.向量a(a≠0)与b共线存在唯一一个实数λ,使b=λa.例

已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,共线,求实数t的值.例

已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,共线,求实数t的值.由向量b-ta与共线,分析:例

已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,共线,求实数t的值.由向量b-ta与共线,b-ta=分析:可设例

已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,共线,求实数t的值.由向量b-ta与共线,b-ta=分析:可设?例

已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,共线,求实数t的值.由向量b-ta与共线,b-ta=分析:可设定理:b//a(a≠0)

存在唯一一个实数λ,使得b=λa?例

已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,共线,求实数t的值.由向量b-ta与共线,b-ta=由于

a,b不共线,分析:可设定理:b//a(a≠0)

存在唯一一个实数λ,使得b=λa?例

已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,共线,求实数t的值.0.由向量b-ta与共线,b-ta=由于

a,b不共线,分析:可设定理:b//a(a≠0)

存在唯一一个实数λ,使得b=λa所以?例

已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,共线,求实数t的值.解:例

已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,共线,求实数t的值.0.∴∵a,b不共线,解:例

已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,共线,求实数t的值.0.∵b-ta与共线,∴∵a,b不共线,解:例

已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,共线,求实数t的值.0.∵b-ta与共线,∴∴唯一,使得Rb-ta=∵a,b不共线,解:例

已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,共线,求实数t的值.0.∵b-ta与共线,∴∴唯一,使得Rb-ta=∵a,b不共线,∴解:例

已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,共线,求实数t的值.∵a,b不共线,0.∵b-ta与共线,∴∴唯一,使得Rb-ta=∵a,b不共线,∴解:例

已知a,b是两个不共线的向量,向量b-

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