上海华东师范大学第四附属中学高三数学理测试题含解析

上海华东师范大学第四附属中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“a＝3”是“函数f（x）＝－2ax＋2函数在区间内单调递增”的A．充分不必要条件

B．必要不充分C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A2.已知全集,集合,,则集合可以表示为

A．

B．

C．

D．参考答案：B3.设函数f（x）满足2x2f（x）+x3f′（x）=ex，f（2）=，则x∈[2，+∞）时，f（x）（）A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值参考答案：B【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】推出f'（x）的表达式，当x=2时，f（2）=，构造辅助函数，求导，由g′（x）≥0在x∈[2，+∞）恒成立，则g（x）在x=2处取最小值，即可求得f（x）在[2，+∞）单调递增，即可求得f（x）的最小值．【解答】解：由2x2f（x）+x3f'（x）=ex，当x＞0时，故此等式可化为：f'（x）=，且当x=2时，f（2）=，f'（2）==0，令g（x）=e2﹣2x2f（x），g（2）=0，求导g′（x）=e2﹣2[x2f′（x）+2xf（x）]=e2﹣=（x﹣2），当x∈[2，+∞）时，g′（x）＞0，则g（x）在x∈[2，+∞）上单调递增，g（z）的最小值为g（2）=0，则f'（x）≥0恒成立，∴f（x）的最小值f（2）=，故选：B．4.若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（

） A． B． C． D．参考答案：B略5.若复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（

）A.z的虚部为 B.C.为纯虚数 D.z的共轭复数为参考答案：C【分析】先得到复数的代数形式，然后根据复数的有关概念对给出的四个结论分别进行分析、判断后可得正确的结论．【详解】由题意得．对于A，由得复数的虚部为，所以A不正确．对于B，，所以B不正确．对于C，由于，所以为纯虚数，所以C正确．对于D，的共轭复数为，所以D不正确．故选C．6.设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）A．（1，2） B．[1，2] C．[1，2） D．（1，2]参考答案：D【考点】对数函数的定义域；交集及其运算．【分析】解指数不等式求出集合A，求出对数函数的定义域即求出集合B，然后求解它们的交集．【解答】解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，由x﹣1＞0得x＞1∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x≤2}故选D．7.不等式的解集为，则函数的图象大致为（

）

A

B C

D

参考答案：

答案：C8.某程序框图如图所示，若输入输出的n分别为3和1，则在图中空白的判断框中应填入的条件可以为（）A．i≥7？ B．i＞7？ C．i≥6？ D．i＜6？参考答案：A【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序算法可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得i=0，n=3满足条件n为奇数，n=10，i=1，不满足条件，不满足条件n为奇数，n=5，i=2不满足条件，满足条件n为奇数，n=16，i=3不满足条件，不满足条件n为奇数，n=8，i=4不满足条件，不满足条件n为奇数，n=4，i=5不满足条件，不满足条件n为奇数，n=2，i=6不满足条件，不满足条件n为奇数，n=1，i=7由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出n的值为1．故在图中空白的判断框中应填入的条件可以为i≥7？故选：A．9.如图，与圆相切于点，直线交圆于两点，弦垂直

于．则下面结论中，错误的结论是（

）A．∽ B．

C． D．参考答案：D略10.已知集合M＝｛(x,y)|x+y=2｝,N={(x,y)|x－y=4},那么集合M∩N为(

)(A).x=3,y=－1

(B).(3，－1)(C).｛3，－1｝ (D).｛(3，－1)｝参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.计算：=

.参考答案：0【知识点】定积分的应用解析：（x3cosx）dx=x3dsinx=======﹣（﹣3）3sin（﹣3）﹣3?（﹣3）2cos（﹣3）﹣6sin3=﹣27sin3﹣27cos3﹣6sin3=﹣33sin3﹣27cos3．同理,所以=0.故答案为0.【思路点拨】直接利用分步积分求解定积分的值．12.已知等比数列的前项和为，若，则___________

参考答案：3313.2xdx=

．参考答案：3【考点】定积分．【专题】函数思想；导数的概念及应用．【分析】由题意可得2xdx=x2，代值计算可得．【解答】解：由定积分的计算可得：2xdx=x2=22﹣12=3故答案为：3【点评】本题考查定积分的计算，属基础题．14.正数满足，则的最大值为_______.参考答案：15.某同学为研究函数

的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形和，点

是边上的一个动点，设，则.请你参考这些信息，

推知函数的极值点是

；函数的值域是

.参考答案：略16.若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=．参考答案：50【考点】等比数列的性质．

【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5，然后利用对数的运算性质化简后得答案．解：∵数列{an}为等比数列，且a10a11+a9a12=2e5，∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5，∴a10a11=e5，∴lna1+lna2+…lna20=ln（a1a2…a20）=ln（a10a11）10=ln（e5）10=lne50=50．故答案为：50．【点评】本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题．17.在△ABC中，若，则的大小为_________.参考答案：

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为，曲线的参数方程为，设直线与曲线交于两点.（1）求；（2）设为曲线上的一点，当的面积取最大值时，求点的坐标．参考答案：（1）由已知可得直线的方程为

曲线的方程为由，

（2）设当即时最大，19.几何证明选讲如图所示，已知与⊙相切，为切点，为割线，弦，相交于点，为上一点，且.（1）求证：；（2）求证：.参考答案：考点：1.简单几何证明；2.割线定理.

略20.已知函数（，）满足下列3个条件中的2个条件：①函数f(x)的周期为π；②是函数f(x)的对称轴；③且在区间上单调.（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数f(x)的解析式；（Ⅱ）若，求函数f(x)的值域.参考答案：（Ⅰ）只有①②成立，；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案.（Ⅱ）得到，得到函数值域.【详解】（Ⅰ）由①可得，；由②得：，；由③得，，，；若①②成立，则，，，若①③成立，则，，不合题意，若②③成立，则，，与③中的矛盾，所以②③不成立，所以只有①②成立，.（Ⅱ）由题意得，，所以函数的值域为.【点睛】本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，值域，表达式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.21.已知f（x）=x3+3ax2+bx在x=﹣1时有极值为0．（1）求常数a，b的值；

（2）求f（x）在[﹣2，﹣]的最值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）首先对f（x）求导，由题意可知f'（﹣1）=0且f（﹣1）=0；（2）利用导数判断出函数f（x）图形的单调性后求极值．【解答】解：（1）∵f（x）=x3+3ax2+bx，∴f'（x）=3x2+6ax+b，又∵f（x）在x=﹣1时有极值0，∴f'（﹣1）=0且f（﹣1）=0，即3﹣6a+b=0且﹣1+3a﹣b=0，解得：a=，b=1

经检验，合题意．（2）由（1）得f'（x）=3x2+4x+1，令f'（x）=0得x=﹣或x=﹣1，又∵f（﹣2）=﹣2，f（﹣）=﹣，f（﹣1）=0，f（﹣）=﹣，∴f（x）max=0，f（x）min=﹣2．22.甲乙两家快递公司其“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超过45单的部分每单抽成6元（1）设甲乙快递公司的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送货单数n的函数关系式为f（n），g（n），求f（n），g（n）；（2）假设同一公司的“快递小哥”一日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥”，并记录其100天的送货单数，得到如下条形图：若将频率视为概率，回答下列问题：①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；②小赵拟到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．参考答案：【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超过45单的部分每单抽成6元，由此能求出甲乙快递公司的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送货单数n的函数关系式f（n），g（n）．（2）①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X（单位：元），由条形图得X的可能取值为100，106，118，130，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．②乙快递公司的“快递小哥”日平均送单数为45，从而乙快递公司的“快递小哥”日平均工资为115元，甲快递公司的“快递小哥”日平均工资为112元．由此推荐小赵去乙快递公式应聘．【解答】解：（1）甲快递公式的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送单数n的函数关系式为：y=70+n，n∈N+，∴f（n）=y=70+n，n∈N+．乙快递公式的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送单数n的函数关系式为：．∴