高中数学人教A版余弦定理的应用

高一年级数学余弦定理的应用知识回顾余弦定理：

三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.余弦定理：

余弦定理：余弦定理的推论：

余弦定理：余弦定理的推论：

每个等式中含有同一个三角形中的三条边和一个角共四个元素，余弦定理：余弦定理的推论：

每个等式中含有同一个三角形中的三条边和一个角共四个元素，知三求一.

余弦定理及其推论应用：

余弦定理及其推论知三求一应用：

余弦定理及其推论解三角形知三求一应用：

知三求一：

三条边及一个角知三求一：

三条边及一个角已知三条边知三求一：

三条边及一个角已知三条边求角知三求一：

三条边及一个角已知三条边

CBAabc？求角知三求一：

三条边及一个角已知三条边求角

CBAabc？余弦定理的推论知三求一：

三条边及一个角已知三条边解三角形求角

CBAabc？余弦定理的推论知三求一：

三条边及一个角已知三条边已知两条边及一个角解三角形求角余弦定理的推论知三求一：

三条边及一个角已知三条边已知两条边及一个角解三角形求角求边余弦定理的推论知三求一：

三条边及一个角已知三条边已知两条边及一个角已知两边及其夹角求边解三角形求角余弦定理的推论知三求一：

三条边及一个角已知三条边已知两条边及一个角

CBAabc？已知两边及其夹角求边解三角形求角余弦定理的推论知三求一：

三条边及一个角已知三条边已知两条边及一个角

CBAabc？已知两边及其夹角求边解三角形求角余弦定理的推论知三求一：

三条边及一个角已知三条边已知两条边及一个角已知两边及其夹角求边解三角形求角余弦定理的推论知三求一：

三条边及一个角已知三条边已知两条边及一个角已知两边及其夹角求边解三角形求角已知两边及一边对角余弦定理的推论知三求一：

三条边及一个角已知三条边已知两条边及一个角已知两边及其夹角求边解三角形求角已知两边及一边对角

CBAabc？余弦定理的推论知三求一：

三条边及一个角已知三条边已知两条边及一个角已知两边及其夹角求边解三角形求角已知两边及一边对角

CBAabc？余弦定理的推论知三求一：

三条边及一个角已知三条边已知两条边及一个角已知两边及其夹角求边解三角形求角已知两边及一边对角余弦定理的推论知三求一：

三条边及一个角已知三条边已知两条边及一个角已知两边及其夹角求边解三角形求角已知两边及一边对角余弦定理余弦定理的推论知三求一：

三条边及一个角已知三条边已知两条边及一个角已知两边及其夹角求边解三角形求角已知两边及一边对角余弦定理推论余弦定理的推论例题解析

已知三条边，求解三角形中的问题：

已知三条边，求解三角形中的问题：

例

在△ABC中，已知，，，

求这个三角形中最小的内角.

已知三条边，求解三角形中的问题：

例

在△ABC中，已知，，，

求这个三角形中最小的内角.

ABCcba

已知三条边，求解三角形中的问题：

例

在△ABC中，已知，，，

求这个三角形中最小的内角.

ABCcba已知三条边，求解三角形中的问题：思路：

已知a，b，c最小内角？已知三条边，求解三角形中的问题：

思路：

已知a，b，c求角余弦定理的推论最小内角已知三条边，求解三角形中的问题：

思路：

已知a，b，c求角余弦定理的推论求出三个角比较最小内角已知三条边，求解三角形中的问题：

思路：

已知a，b，c求角余弦定理的推论求出三个角比较最小内角确定最小内角大边对大角已知三条边，求解三角形中的问题：

思路：

已知a，b，c求角余弦定理的推论求出三个角比较确定最小内角大边对大角最小内角余弦定理的推论

已知三条边，求解三角形中的问题：

解：因为在△ABC中，，，，

已知三条边，求解三角形中的问题：

解：因为在△ABC中，，，，

所以

已知三条边，求解三角形中的问题：

解：因为在△ABC中，，，，

所以

由三角形中“大边对大角”可知：

已知三条边，求解三角形中的问题：

解：因为在△ABC中，，，，

所以

由三角形中“大边对大角”可知：

已知三条边，求解三角形中的问题：

解：因为在△ABC中，，，，

所以

由三角形中“大边对大角”可知：

因此△ABC中的最小内角为B.

已知三条边，求解三角形中的问题：

由余弦定理的推论，得

已知三条边，求解三角形中的问题：

由余弦定理的推论，得

已知三条边，求解三角形中的问题：

由余弦定理的推论，得

已知三条边，求解三角形中的问题：

由余弦定理的推论，得

已知三条边，求解三角形中的问题：

由余弦定理的推论，得

已知三条边，求解三角形中的问题：

由余弦定理的推论，得

已知三条边，求解三角形中的问题：

因为在△ABC中，

已知三条边，求解三角形中的问题：

因为在△ABC中，

所以

已知三条边，求解三角形中的问题：

因为在△ABC中，

所以

即△ABC的最小内角是

小结：

已知三条边求角

小结：

已知三条边求角余弦定理的推论

小结：

已知三条边求角余弦定理的推论大边对大角

小结：

已知三条边求角大边对大角角的范围余弦定理的推论

已知两边及其夹角，求解三角形中的问题：

已知两边及其夹角，求解三角形中的问题：

例

在△ABC中，，，锐角C满足求B(精确到).

已知两边及其夹角，求解三角形中的问题：

例

在△ABC中，，，锐角C满足求B(精确到).

ACBbca

已知两边及其夹角，求解三角形中的问题：

例

在△ABC中，，，锐角C满足求B(精确到).

ACBbca？已知两边及其夹角，求解三角形中的问题：

思路：

已知a，b，sinC求B？已知两边及其夹角，求解三角形中的问题：

思路：

已知a，b，sinC求B求c已知两边及其夹角，求解三角形中的问题：

思路：

已知a，b，sinC求B求c余弦定理的推论已知两边及其夹角，求解三角形中的问题：

思路：

已知a，b，sinC求B求c余弦定理的推论余弦定理已知两边及其夹角，求解三角形中的问题：

思路：

已知a，b，sinC求Ba，b，cosC求c余弦定理的推论余弦定理已知两边及其夹角，求解三角形中的问题：

思路：

已知a，b，sinC求Ba，b，cosC求c余弦定理余弦定理的推论

已知两边及其夹角，求解三角形中的问题：

解：因为且C为锐角，

已知两边及其夹角，求解三角形中的问题：

解：因为且C为锐角，

所以

已知两边及其夹角，求解三角形中的问题：

解：因为且C为锐角，

所以

已知两边及其夹角，求解三角形中的问题：

由余弦定理，得

已知两边及其夹角，求解三角形中的问题：

由余弦定理，得

已知两边及其夹角，求解三角形中的问题：

由余弦定理，得

已知两边及其夹角，求解三角形中的问题：

由余弦定理，得

所以

已知两边及其夹角，求解三角形中的问题：

由余弦定理的推论，得

已知两边及其夹角，求解三角形中的问题：

由余弦定理的推论，得

已知两边及其夹角，求解三角形中的问题：

由余弦定理的推论，得

已知两边及其夹角，求解三角形中的问题：

由余弦定理的推论，得

因为在△ABC中，

已知两边及其夹角，求解三角形中的问题：

由余弦定理的推论，得

因为在△ABC中，

利用计算器，可得

小结：

已知两边及其夹角的正弦值求角

小结：

已知两边及其夹角的正弦值求角

小结：

已知两边及其夹角的正弦值两边及其夹角的余弦值求角已知两边及其夹角的正弦值两边及其夹角的余弦值求角求边余弦定理

小结：

小结：

已知两边及其夹角的正弦值两边及其夹角的余弦值求角求边余弦定理余弦定理的推论

小结：

已知两边及其夹角的正弦值两边及其夹角的余弦值求角求边角的范围决定正负余弦定理余弦定理的推论

小结：

已知两边及其夹角的正弦值两边及其夹角的余弦值求角求边余弦定理余弦定理的推论角的范围决定正负角的范围

已知两边及一边对角，求解三角形中的问题：

已知两边及一边对角，求解三角形中的问题：

例

在△ABC中，已知，，，解这个三角形(边长精确到1cm，角度精确到).

已知两边及一边对角，求解三角形中的问题：

例

在△ABC中，已知，，，解这个三角形(边长精确到1cm，角度精确到).

ACBbca

已知两边及一边对角，求解三角形中的问题：

例

在△ABC中，已知，，，解这个三角形(边长精确到1cm，角度精确到).

ACBbca？？？已知两边及一边对角，求解三角形中的问题：

思路：

已知a，b，A解三角形？已知两边及一边对角，求解三角形中的问题：

思路：

解三角形余弦定理已知a，b，A已知两边及一边对角，求解三角形中的问题：

思路：

关于c的方程余弦定理解三角形已知a，b，A已知两边及一边对角，求解三角形中的问题：

思路：

求c关于c的方程解三角形余弦定理求解方程已知a，b，A已知两边及一边对角，求解三角形中的问题：

思路：

关于c的方程解三角形余弦定理余弦定理的推论求解方程求c已知a，b，A已知两边及一边对角，求解三角形中的问题：

思路：

求B，C关于c的方程解三角形余弦定理余弦定理的推论求解方程求c已知a，b，A

已知两边及一边对角，求解三角形中的问题：

解：由余弦定理，得

已知两边及一边对角，求解三角形中的问题：

解：由余弦定理，得

所以

已知两边及一边对角，求解三角形中的问题：

解：由余弦定理，得

所以

即

已知两边及一边对角，求解三角形中的问题：

解：由余弦定理，得

所以

即

可得

已知两边及一边对角，求解三角形中的问题：

解：由余弦定理，得

所以

即

可得即

已知两边及一边对角，求解三角形中的问题：

解：由余弦定理，得

所以

即

可得即

经检验，满足题意.

已知两边及一边对角，求解三角形中的问题：

(1)当时，

已知两边及一边对角，求解三角形中的问题：

(1)当时，由余弦定理的推论，得

已知两边及一边对角，求解三角形中的问题：

(1)当时，由余弦定理的推论，得

已知两边及一边对角，求解三角形中的问题：

(1)当时，由余弦定理的推论，得

已知两边及一边对角，求解三角形中的问题：

(1)当时，由余弦定理的推论，得

因为在△ABC中，

已知两边及一边对角，求解三角形中的问题：

(1)当时，由余弦定理的推论，得

因为在△ABC中，

利用计算器，可得

已知两边及一边对角，求解三角形中的问题：

(1)由，得

已知两边及一边对角，求解三角形中的问题：

(1)由，得

已知两边及一边对角，求解三角形中的问题：

(1)由，得

已知两边及一边对角，求解三角形中的问题：

(2)当时，同理可得

已知两边及一边对角，求解三角形中的问题：

(2)当时，同理可得

已知两边及一边对角，求解三角形中的问题：

(2)当时，同理可得

已知两边及一边对角，求解三角形中的问题：

(2)当时，同理可得

综上，

或

小结：

已知两边及一边对角解三角形

小结：

已知两边及一边对角解三角形关于第三边的方程余弦定理

小结：

已知两边及一边对角解三角形关于第三边的方程余弦定理公式的选择

小结：

已知两边及一边对角解三角形关于第三边的方程余弦定理求解方程公式的选择求边

小结：

已知两边及一边对角解三角形关于第三边的方程余弦定理求解方程公式的选择求边解的检验

小结：

已知两边及一边对角解三角形关于第三边的方程余弦定理求解方程公式的选择求边解的检验分类讨论

小结：

已知两边及一边对角解三角形关于第三边的方程余弦定理求解方程公式的选择求角求边余弦定理的推论分类讨论解的检验

小结：

已知两边及一边对角解三角形关于第三边的方程余弦定理求解方程公式的选择求角求边余弦定理的推论分类讨论解的检验已知元素利用余弦定理及其推论，解三角形：

已知元素判断利用余弦定理及其推论，解三角形：

已知元素已知三边判断求角余弦定理的推论利用余弦定理及其推论，解三角形：

已知元素已知三边判断求角已知两边及一角余弦定理的推论利用余弦定理及其推论，解三角形：

已知元素已知三边判断求角已知两边及一角已知两边及其夹角已知两边及一边对角余弦定理的推论利用余弦定理及其推论，解三角形：

已知元素已知三边判断求角已知两边及一角已知两边及其夹角已知两边及一边对角求边余弦定理余弦定理的推论利用余弦定理及其推论，解三角形：

已知元素已知三边判断求角已知两边及一角已知两边及其夹角已知两边及一边对角求边余弦定理余弦定理的推论推论利用余弦定理及其推论，解三角形：

已知元素已知三边判断求角已知两边及一角已知两边及其夹角已知两边及一边对角求边余弦定理解三角形余弦定理的推论推论利用余弦定理及其推论，解三角形：

余弦定理及其推论解三角形知三求一应用：

余弦定理及其推论解三角形知三求一方程思想应用：

余弦定理及其推论边角互化解三角形知三求一方程思想应用：

余弦定理及其推论边角互化证明恒等式求解几何计算……解三角形知三求一方程思想判断三角形形状应用：

余弦定理及其推论边角互化解三角形知三求一方程思想判断三角形形状应用：

判断三角形的形状：

判断三角形的形状：例

在△ABC中，已知试判断△ABC的形状.

判断三角形的形状：例

在△ABC中，已知试判断△ABC的形状.

CBAabc

判断三角形的形状：例

在△ABC中，已知试判断△ABC的形状.

CBAabc

判断三角形的形状：例

在△ABC中，已知试判断△ABC的形状.

CBAabc

判断三角形的形状：思路：判断三角形形状已知边角，边边关系？

判断三角形的形状：思路：已知边角，边边关系判断三角形形状三条边的关系

判断三角形的形状：思路：已知边角，边边关系三个角的关系三条边的关系判断三角形形状

判断三角形的形状：思路：已知边角，边边关系消角三个角的关系三条边的关系判断三角形形状

判断三角形的形状：思路：三个角的关系已知边角，边边关系消边消角三条边的关系判断三角形形状

判断三角形的形状：思路：已知边角，边边关系余弦定理及其推论消边消角三个角的关系三条边的关系判断三角形形状

判断三角形的形状：思路：已知边角，边边关系余弦定理及其推论消边消角三个角的关系三条边的关系判断三角形形状

判断三角形的形状：解法1：在△ABC中，①

判断三角形的形状：解法1：在△ABC中，由余弦定理的推论，得①

判断三角形的形状：解法1：在△ABC中，代入①式，得①由余弦定理的推论，得

判断三角形的形状：解法1：在△ABC中，代入①式，得①由余弦定理的推论，得

判断三角形的形状：解法1：在△ABC中，代入①式，得①由余弦定理的推论，得

判断三角形的形状：解法1：在△ABC中，代入①式，得①由余弦定理的推论，得

判断三角形的形状：整理得

判断三角形的形状：整理得

判断三角形的形状：整理得(1)当时，

判断三角形的形状：整理得(1)当时，

判断三角形的形状：整理得(1)当时，可得

判断三角形的形状：整理得(1)当时，可得

判断三角形的形状：整理得(1)当时，可得即

判断三角形的形状：整理得(1)当时，可得即又由于所以

判断三角形的形状：整理得(1)当时，可得即又由于所以又因为

判断三角形的形状：整理得(1)当时，可得即又由于所以又因为故△ABC为等腰三角形.

判断三角形的形状：整理得(2)当时，

判断三角形的形状：整理得(2)当时，即

判断三角形的形状：整理得(2)当时，即所以△ABC为直角三角形.

判断三角形的形状：整理得(2)当时，即所以△ABC为直角三角形.

综上，△ABC为等腰三角形或直角三角形.

判断三角形的形状：思路：已知边角，边边关系余弦定理及其推论消边消角三个角的关系三条边的关系判断三角形形状

判断三角形的形状：解法2：在△ABC中，①

判断三角形的形状：解法2：在△ABC中，由余弦定理，得：①

判断三角形的形状：解法2：在△ABC中，由余弦定理，得：代入①式，得①

判断三角形的形状：解法2：在△ABC中，由余弦定理，得：代入①式，得化简得①

判断三角形的形状：(1)当时，

判断三角形的形状：(1)当时，

判断三角形的形状：(1)当时，可得

判断三角形的形状：(1)当时，可得又由于所以由已知所以故△ABC为等腰三角形.

判断三角形的形状：(2)当时，

判断三角形的形状：(2)当时，

判断三角形的形状：(2)当时，所以△ABC为直角三角形.

判断三角形的形状：(2)当时，所以△ABC为直角三角形.综上，△ABC为等腰三角形或直角三角形.

判断三角形的形状：(2)当时，所以△ABC为直角三角形.综上，△ABC为等腰三角形或直角三角形.注：由于和不可能同时成立，

判断三角形的形状：(2)当时，所以△ABC为直角三角形.综上，△ABC为等腰三角形或直角三角形.注：由于和不可能同时成立，所以△ABC不可能是等腰直角三角形.

小结：已知边角关系判断三角形形状

小结：已知边角关系消角消边判断三角形形状三条边的关系三个角的关系

小结：已知边角关系余弦定理及其推论消角消边判断三角