人教A版高中数学必修一5.4《三角函数的图像与性质》讲义及答案

三角函数的图像与性质知识剖析1周期函数一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，T叫做该函数的周期.PS①从解析式f(x+T)=f(x)来看：任一自变量x对应函数值y与x增加T后对应函数值相等；②从图象看：整体函数图象是由一部分图象像“分身术”一样向两边延申，而那一部分图象的水平长度就是其正周期！③三角函数就是典型的周期函数.2正弦函数，余弦函数的图像与性质注表中的k∈Zy=sinxy=cosx图像定义域RR值域[-1,1][-1,1]最值当x=π2+2kπ时，ymax=1；

当x=2kπ时，ymax=1；

当x=π+2kπ时，周期性2π2π对称中心kπ,0kπ+对称轴x=kπ+x=kπ单调性在-π2+2kπ,π2+2kπ在-π+2kπ,2kπ上是增函数；

在2kπ,π+2kπ上是减函数.3正切函数的图像与性质注表中的k∈Zy=tanx图像定义域x值域R最值既无最大值也无最小值周期性π对称中心kπ对称轴无对称轴单调性在(kπ-π经典例题【题型一】求解三角函数的性质性质1周期性【典题1】f(x)=|sinx|+|cosx|的最小正周期是（)A.【解析】fx+故π2是y=f(x)的周期，由选项可知选A【点拨】从定义出发：存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)，则T叫做该函数的周期.【典题2】下列函数中，最小正周期为π2的是()A．y=sin|x| B．y=cos|2x|【解析】由图可知函数y=sin|x|不是周期函数，故A不正确；由于函数y=cos|2x|=cos2x的周期为2π2=π，故由图可知函数y=|tanx|的周期T=π，故C不正确；由图可知函数y=|sin2x|的周期为T=π2，故故选：D．【点拨】①函数fx=Asin(ωx+φ),fx=Acos(ωx+φ)的函数fx=Atan(ωx+φ)的最小正周期②利用函数的对称变换与翻转变换，利用图象判断函数周期更容易些.性质2对称性【典题1】函数y=sin(2x+π3)的图象(A．关于点(π6,0)对称 B．关于点C．关于直线x=π6对称 D．【解析】方法1对于函数y=sin(2x+π(求出函数的所有对称轴和对称中心再判断)令2x+π3=π2若π12+kπ2=π6，解得k=令2x+π3=kπ，则x=-若-π6+kπ2若-π6+kπ2=故选：B．方法2对于函数y=sin(2x+π当x=π6时，2x+π3=2π3当x=π3时，2x+π3=π，而(π,0)当x=π6时，2x+π3=2π3当x=π3时，2x+π3=π，而x=π故选：B．【点拨】本题两种方法，方法1是求出三角函数的全部对称轴或对称中心(此时把ωx+φ看成整体)，再判断；方法2是把问题转化正弦函数y=sinx的性质判断；对于三角函数f①若x=x0是其对称轴，则ωx②若(x0,B)是其对称中心，则(ωx对于三角函数fx=Acos【典题2】已知函数f(x)=cos(3x+φ)(-π2<φ<π2)图象关于直线x=5π【解析】∵函数f(x)=cos(3x+φ)图象关于直线x=5π∴3×5π18+φ=kπ，(y=cosx∴φ=-5π6+kπ由-π2<φ<π2故f(x)=cos(3x+π令f(x)=0得3x+π6=因为x∈[0,π]，所以k=0,1,2时，φ=π故零点有三个．性质3单调性【典题1】函数f(x)=3sin(2π3-2x)的一个单调递减区间是A．[7π12,13π12] B．[π12【解析】(求出函数的全部减区间)解-π2+2kπ≤k=0时，π12≤x≤7π12；k=1时，-11π∴[π12,故选：B．【点拨】①复合函数的单调性：同增异减函数f(x)=3sin(2π3-2x)可看成y=3sinu与u=2π3-2x组成复合函数.因为u=2π3-2x是减函数，求函数f(x)=3sin(2π②判断[7π12,13π12][7π12,13π⇔[7π12,13π⇔由7π12<x<13π12⇒-3π故[7π12,13π12]不是f(x)=3sin(2x-作某些选择题这样做会简洁些.【典题2】若f(x)=sin(2x-π4)，则A．f(1)>f(2)>f(3) C．f(2)>f(1)>f(3)【解析】(显然选项是由函数单调性作出判断)令-π2+2kπ<2x-故f(x)=sin(2x-π4)由函数的周期性易得函数在[3π8,(由于1,2,3在[π2其中3比2离对称轴x=7π8更近些，所以f3<f2所以f(1)>f(2)>f(3)．故选：A．性质4最值【典题1】若函数f(x)=cos(ωx-π3)(ω>0)的最小正周期为π2，则f(x)在[0,π【解析】依题意得2πω=π∵x∈[0,π4]∴cos(4x-π3)∈[-12【典题2】已知函数f(x)=2cos(2x-π3)在[a-π4,a](a∈R)上的最大值为【解析】函数f(x)=2cos(2x-π3)且对称轴为x=π6+kπ2，对称中心f(x)的图象大致如图所示；区间[a-π4,a]正好是函数设a-π4,a由图可知，当点P落在对称轴上，即a-π8=π6此时y1-y当点P落在对称中心上，即a-π8=5π12此时y1-y∴y1-【点拨】①对于正弦函数、余弦函数，由图可知，相对而言靠近对称轴位置，函数值变化较慢，而靠近对称中心位置函数值变化较快些.②本题也属于“纵向距”问题，数形结合处理恰当.巩固练习1(★)下列函数中最小正周期为π的函数是()A．y=sinx B．y=cos【答案】D【解析】A、函数y=sinx的最小正周期T=2π，不满足条件；B、函数y=cos12x的最小正C、y=tan2x的最小正周期为T=πD、y=|sinx|的周期T=π，满足条件．故选：D．2(★)下列函数中，关于直线x=-π6对称的是(A．y=sin(x+π3) BC．y=cos(x+π3) 【答案】D【解析】将x=-π6代入y=cos(2x+π故x=-π6是故选：D．3(★)设函数f(x)=cos(2x-π3)，则下列结论错误的是A．f(x)的一个周期为-π B．y=f(x)的图象C．f(x+π2)的一个零点为x=-π3【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A、f(x)=cos(2x-π3)，其周期对于B、f(x)=cos(2x-π3)，令2x-π3=kπ，解可得x=kπ2+π6，即y=f(x)的对称轴为x=kπ对于C、f(x+π2)=cos(2x+π-π3)=cos(2x+2π3)，当x=-π3对于D、f(x)=cos(2x-π3解可得kπ+π6≤x≤kπ+2π3，即函数则函数在[π6,2π3]上递减，又由[π3,π2]∈[π6，故选：C．4(★)下列函数中，以π为周期且在区间(π2,π)单调递增的是A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x| C【答案】C【解析】由于f(x)=|cos2x|的周期为12•2π由于f(x)=|sin2x|的周期为12•2π由于f(x)=|cosx|的最小正周期为12•2π=π，在区间(π2,π)由于f(x)=|sinx|的最小正周期为12•2π=π，在区间(π2,π)故选：C．5(★)关于函数f(x)=|tanx|的性质，下列叙述不正确的是()A．f(x)的最小正周期为π2B．f(x)是偶函数 C．f(x)的图象关于直线x=kπ2(k∈Z)D．f(x)在每一个区间(kπ,kπ+π【答案】A【解析】对于函数f(x)=|tanx|的性质，根据该函数的图象知，其最小正周期为π，A错误；又f(－x)=|tan(－x)|=|tanx|=f(x)，所以根据函数f(x)的图象知，f(x)的图象关于直线x=kπ2(k∈根据f(x)的图象知，f(x)在每一个区间(kπ,kπ+π2)(k∈故选：A．6(★★)下列函数中，以2π为周期，x=π2为对称轴，且在(0,π2A．y=2|sinx|+sinx B．y=2cos(x+πC．y=sin(2x-π2) D【答案】A【解析】∵y=sin(2x-π2)=－cos2x∵y=cos(2x+π2)=－sin2x对于y=2|sinx|+sinx=3sinx,x∈[2kπ,2kπ+π)-sinx,x∈[2kπ+π,2kπ+2π)，故函数的周期为当x=π2时，y=3，为最大值，故函数且该函数在在(0,π2)由于y=tan(x2+π4)，当x=π2时，故选：C．7(★★)已知直线x=x1,x=x2则f(x1-A．2 B．0 【答案】C【解析】由x+π3=kπ+π2得x=kπ+π6y=－cosx的对称轴为∵直线x=x1，x=x2分别是曲线∴x1=kπ+π6，k∈Z则x1－x2=kπ+则f(x故选：C．8(★★)关于函数f(x)=|sinx|+cosx有下述四个结论：①f(x)是周期函数；②f(x)的最小值为-2③f(x)的图象关于y轴对称；④f(x)在区间(π其中所有正确结论的编号是()A．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】B【解析】函数f(x)=|sinx|+cosx，其中|sinx|的周期为π，cos2x的周期为2π，所以函数的最小正周期为2π，故函数为周期函数．①f(x)是周期函数；正确．②函数的最小值为－1，所以：f(x)的最小值为-③由于f(－x)=f(x)，f(x)的图象关于④f(x)在区间(π故选：B．9(★★★)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的最小正周期为π，且关于(-π8A．f(1)<f(0)<f(2) C．f(2)<f(0)<f(1) 【答案】【解析】∵函数的最小周期是π，∴2πω=π则f(x)=sin(2x+φ)，∵f(x)关于(-π∴2×(-π8)+φ=kπ，k∈Z，即∵0<φ<π∴当k=0时，φ=π4，即f(x)=sin(2x+则函数在[-π8，π8]上递增，在[π8∵π4<1<2，∴f(π故选：D．10(★★★)已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ≤π)是R上的奇函数，若f(x)的图象关于直线x=π4对称，且f(x)在区间[-π22,A．-32 B．-12 C．1【答案】A【解析】f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ≤π)是R上的奇函数，所以φ=kπ，k∈Z当k=1时，φ=π．所以f(x)=sin(ωx+π)=－由于f(π所以π4ω=kπ+π2(k∈当k=0时，ω=2，函数f(x)=－sin2由于x∈[-π所以2x∈[-π当k=1时ω=4+2=6，函数f(x)=－由于x∈[-π所以6x∈[-3π11,当k=2时，ω=10，函数f(x)在区间[-π所以f(x)=－故f(π故选：A．【题型二】根据三角函数性质求解参数的值或范围【典题1】已知ω>0，函数f(x)=sin(ωx-π4)的图象在区间(π2,π)上有且仅有一条对称轴，则实数【解析】由ωx-π4=kπ+则y=f(x)的对称轴x=kπ由y=f(x)在(π2,π)上有一条对称轴，则满足π即k+3而对称轴只有一条，则要满足(k-1)πω+3π4ω≤π即2k-12≤ω≤k+由①②可得k+34当k=0时，由①②可得ω∈(34,32)；当k=1当k=2时，由①②可得ω∈[7故答案为：(3【点拨】①本题的思路是先求出函数的对称轴，再数形结合处理；理解“有且仅有一条对称轴”，存在一条对称轴在区间内，而其左右的对称轴在区间外；②本题涉及到两个参数k和ω，求的是ω的取值范围，方法是得到k和由k∈Z的特殊性求出k的取值(或范围)，进而求ω的取值范围.【典题2】已知函数f(x)=|cos(ωx+π3)|(ω>0)在区间[-π3,5π【解析】y=|cosx|的单调递减区间为[kπ,kπ+π(注由函数y=|cosx|图象易得)由kπ≤ωx+π3≤kπ+即函数y=f(x)的单调递减区间为[kπ-π3ω，kπ+π若f(x)在区间[-π则kπ-π3ω得ω≤65k+∵ω>0∴k只能取0；当k=0时，ω≤15ω≤1，即0<ω≤15【点拨】本题先得到y=|cosx|的单调减区间再由复合函数单调性得到求出f(x)=|cos(ωx+π3)|的减区间[kπ-π3ω，kπ+π6ω]【典题3】已知函数f(x)=sin(ωx+π3)，(ω>0)在区间[-2π3，5π6]上是增函数，且在区间[0,π]上恰好取得一次最大值A．(0,15] B．[12,35【解析】方法一复合函数法令u=ωx+π3，-2π∴函数y=sinu在区间[-2π∴[-2π3ω+π当0≤x≤π时，π3∴函数y=sinu在区间[π3,πω+∴π2≤πω+综上所知16≤ω≤1方法二特殊值法当ω=12时，令u=x则0≤u≤3π4，则函数y=sinu在区间∴ω=12不合题意，排除当ω=112时，令u=则π3≤u≤5π12，则函数y=sinu在区间∴ω=112不合题意，排除A．故选：【点拨】根据三角函数性质求解参数的值或范围此类问题，往往都会限制函数在某个区间上的对称轴、单调性、最值等，此时最简单的想法就是先求出该函数的全部对称轴、单调区间等，再结合函数的图象判断求出来的对称轴、单调性等与区间端点的关系！巩固练习1(★★)设f(x)=3sin(ωx-π12)+1，若f(x)在[-π3,π6【答案】(0,54【解析】设f(x)=3sin(ωx-π12)+1，在[-π3,π6]由于f(x)为增函数，∴-ωπ3-π求得0<ω≤54，故选：2(★★)已知函数f(x)=3sin(ωx+π6)(ω>0)在(0,π12)上单调递增，则【答案】4【解析】由函数f(x)=3sin(ωx+π6)(ω>0)可得ω•π12+π6≤π3(★★)设函数f(x)=sin(ωx+ϕ),A>0,ω>0,若f(x)在区间[π6,π2]上单调，且f(π2)=f(2π【答案】π【解析】函数f(x)=sin(ωx+ϕ)，A>0，ω>0，若f(x)在区间[π则T2=π∵f(π2)=f(2π3且(π6+π22∴T4=144(★★★)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)满足f(π4)=1，f(π2)=0，且f(x)在区间(π4,【答案】3【解析】设函数的最小正周期为T，则T=2π∵f(π4)=1∴π2-π4=2n-1又f(x)在区间(π∴π3-∴n可以为1,2,3，即ω为2,6,10共3个值．5(★★★)已知函数f(x)=cos(ωx+π6)(ω>0)在区间[0,π]上的值域为[-1,32]，则【答案】[【解析】在区间[0,π]上，ωx+π6f(x)=cos(ωx+π6)的值域为[－∴ωπ+π6∈[π，11π6]，【题型三】综合解答题【典题1】已知函数f(x)=sin(2x-π(1)当x1∈(-π2,-(2)令Fx=fx-3，若对任意x都有F【解析】(1)f(x1)+f(x即有sin2可得2x1-即有x1+x由x1可得x1-x2Fx=fx令t=F(x)，可得t∈[-4,-2]，对任意x都有F2x即为t2-(2+m)t+2+m≤0，则16+4(2+m)+2+m≤0,4+2(2+m)+2+m≤0解得m≤-265，即m的最大值为【点拨】①若sinα=sinβ，则α=2kπ+β或α=2kπ+π-β②第二问涉及恒成立问题，采取了二次函数零点的分布问题的方法即通过二次函数的图象分析便可求解.【典题2】已知函数f(x)=sin(1)当a=1时，求函数(2)如果对于区间[0,π2]上的任意一个x，都有f(x)≤1【解析】(1)当a=1时，∵cosx∈[-1,1]，∴当cosx=12，即x=2kπ±π(2)依题得sin2即a(cosx+1)≤cos2x对任意当x∈[0,π2]时，0≤cosx≤1∴a≤cos2xcosx+1令t=cosx+1，则∴a≤(t－1)2于是a≤(t+1又∵t+1t-2≥0，当且仅当t∴a≤0．【点拨】第二问涉及恒成立问题，利