固定收益第3章-Price-Volatility课件

第三章债券价格波动性及其衡量为什么要衡量债券价格波动性精确度量风险敞口的大小；在精确度量风险敞口大小的基础上，实施风险管理的手段，对冲风险；在控制风险敞口大小的基础上，实施不同风险暴露策略的债券投资组合风险管理：如完全免疫策略、消极的投资策略和积极的投资策略。本章中涉及到的价格波动性是由利率变化引起的，即利率风险。模型的设定从上一章的分析中，我们知道如若定量的分析风险要素变化对债券价格的影响，必须对债券价格和风险要素之间的函数关系进行建模。在本章中，我们仅探讨非附权债券价格因利率变化引起的波动；我们首先按照如下方式建立债券价格和利率之间的函数关系：思考如上建模所隐含的假设为何？利率期限结构是水平的；利率的变动是平行移动的；更为引申的是，短期利率的变动会引起不同期限利率的等幅度移动。非附权债券价格变化的主要原因折价或溢价债券趋近到期日：时间效应必要报酬率/市场利率的变化：市场风险在如上模型假设下，非附权债券如何随时间和市场利率变化？债券价格随着其生命周期而趋近于面值：时间效应（timeeffect）到期的年份债券价格路径的时间效应溢价债券折价债券相同期限不同的票面利率即使市场利率未发生变动P(%ofPar)100非附权债券价格与市场利率的基本关系

–价格-收益率曲线E0必要报酬率Requiredyield价格price价格-收益率曲线Price-yieldgraph非附权债券价格与市场利率的基本关系债券价格与利率反向变动利率变动，债券价格变动具有不对称性如果投资人持有债券，则市场收益率下降导致的价格上升/资本利得会超过同一数量的收益率上升导致的价格下降/资本损失如果投资人空头债券，则市场收益率下降导致的价格上升/资本损失会超过同一幅度的收益率上升导致的价格下降/资本利得债券价格对利率变化敏感性的影响因素（价格-收益率关系）初始收益率水平（利率改变时刻的利率水平）

到期收益率

债券期限票面利率…其他特点，包括含权特征，可赎回，可回售等债券价格对市场利率变化敏感性的影响因素–初始市场利率其它因素相同，初始市场利率越低的债券价格比初始市场利率高的债券价格对利率变动更为敏感例如，低利率时期和通货膨胀时期，同样的一只债券例如，市场利率为水平的条件下/到期收益率曲线水平期限收益率债券价格波动–初始市场利率–例1初始市场利率越低，债券价格波动性越大债券价格对市场利率变化敏感性的影响因素

–到期收益率其它因素相同，到期收益率越低的债券价格比到期收益率高的债券价格对利率变动更为敏感例如，市场利率为水平的条件下/到期收益率曲线水平债券价格对市场利率变化敏感性的影响因素–期限其它因素相同，债券的期限越长，其价格对利率的变化越敏感债券价格敏感性随期限而上升，但是以递减的速度而上升债券价格波动性–期限yieldP(%ofPar)30-year,10%coupon5-year,10%coupon0.10100债券价格波动性–期限-以递减的速度到期年限价格变动百分比51015对于票面利率10%的不同期限所有债券，若利率从10%下降到8%债券价格对市场利率变化敏感性的影响因素

–票面利率其它因素固定不变，债券的票面利率越低，价格对利率的变化越敏感零息债券价格波动最大债券价格波动性–票面利率（有着不同票面利率的债券价格-收益率关系比较）yield30-year,14%coupon30-year,6%coupon0.100.08P(%ofPar)债券价格波动性–票面利率票面利率价格变化百分比对于不同的30年期债券，市场利率从10%下降到8%0.0030年期零息债券：77.5%价格变化30年期票面利率20%债券：价格变化21.1%77.5%20%20%仍然面临的问题目前对于债券价格波动性的研究仍然局限于在债券价格的影响因素中选择一种因素进行分析，而同时假定其它因素相同期限、票面利率等都不同的债券价格的波动性无法进行比较需要寻找综合性的债券价格对利率变动敏感性的衡量工具仍然面临的问题–例1债券AB票面利率10%2%期限（年）128市场利率8%8%市场价格115.0765.52新的市场利率8.5%8.5%哪个债券价格波动更大?仍然面临的问题价格波动性衡量的一般原理考量金融资产价格在风险因素一个“微小变化”后的变化；用数学语言既是价格函数在其自变量发生“微小变化”后的微分；如果存在解析形式的资产价格和风险因素的函数表达，仅需求资产价格函数对对应风险要素的偏导数，即可得到价格微分；如若不然，需要借助其他方式，如数值模拟形式，求得这一微分变化。债券价格波动性衡量与债券的久期和凸性债券价格波动数量=利率的引起一阶变化（久期引起的价格变动）+利率引起的二阶变化（凸性引起的价格变动）+O(∆r2)债券价格波动性衡量与债券的久期和凸性债券价格波动数量=久期引起的价格变动+凸性引起的价格变动两种久期金额久期/美元久期（DollarDuration）：衡量利率发生变化后债券价格发生的绝对数量变动；修正久期（ModifiedDuration）：衡量利率发生变化后债券价格发生的相对数量变动；麦考利久期？确定非附权债券收益率的较小变化所引起的价格的变化数量市场利率为水平的条件下/到期收益率曲线水平金额久期或美元久期（dollarduration,DD)修正久期（MD，modifiedduration)与价格的近似百分比变化修正久期为正值金额久期DD、麦克雷久期Dm、修正久期MD有效久期如果债券的现金流不确定，如内含期权，则传统的久期和凸性计算公式就无法应用，此时需要通过考虑利率不同变化情境下债券的现金流，进而得出债券价格的变化（如通过二叉树模型得出利率的变化分布，进而得到不同情境下的现金流），计算其近似的久期，称为有效久期。有效久期(effectiveduration)传统久期的局限性*此前接受的久期能够很好度量债券价格波动的基础是：（1）收益率曲线=到期收益率，即收益率曲线是水平的。（2）收益率曲线平行移动；*然而，现实中，收益率曲线既非水平，也非平行移动。因此，传统久期度量的仅是利率风险仅是对收益率曲线变动的一种极端简化情形时的债券价格的变化。

*为了进一步度量收益率曲线一般变化时债券价格的波动，即度量债券价格的收益率曲线风险，需要进一步拓展传统久期的概念。FisherandWeilduration债券价格对于不同期限即期利率变化的敏感程度利率期限结构/即期利率曲线不是水平的，并且发生非平行移动一般的做法是，假设某一期限即期利率变动100个基点，其他期限即期利率不发生变动下，债券价格变动的百分比如果按照该思路求得即期利率曲线下每一个期限的利率久期，则形成了一个即期利率曲线下的久期向量FisherandWeilduration关键利率久期–利率久期的最常见使用1992年，ThomasHo提出ThomasHo,“KeyRateDurations:MeasureofInterestRateRisk”,JournalofFixedIncomes,Sept.1992考察国债收益率曲线/即期利率曲线下的11个关键期限下的利率久期3个月、1年、2年、3年、5年、7年、10年、15年、20年、25年、30年用以替代全部期限结构曲线的变动有兴趣的同学请阅读上述文献问题：是否还存在其他更为简化的方法？有待于对期限结构曲线的规律的研究及其建模，后续课程讲述。债券投资组合的久期特定债券对投资组合的利率风险=债券权重X债券久期如果是金额久期，则是各个债券的数量作为权重久期应用-估计价格变化绝对量久期应用-估计价格变化绝对量dP=-MD*P*dr例如，收益率从9%上升到11%,即：dr=2%则：dP=-MD*P*dr=-10.62*70.357*2%=-14.94而实际价格下降数量=57.6712–70.3570=-12.6858久期应用-估计价格变化百分比久期应用-估计价格变化百分比例如，收益率从9%上升到9.10%,即：dr=0.1%则：dP/P=-MD*dr=-10.62*0.1%=-1.062%而实际价格变化百分比是–1.05%再如：收益率从9%下降8.9%,即：dr=-0.1%则：dP/P=-MD*dr=-10.62*(-0.1%)=1.062%而实际价格变化百分比是+1.07%久期应用-估计价格变化百分比例如，收益率从9%上升到11%,即：dr=2%则：dP/P=-MD*dr=-10.62*2%=-21.24%而实际价格变化百分比：–18.03%再如，收益率从9%下降到7%,即：dr=-2%则：dP/P=-MD*dy=-10.62*(-2%)=+21.24%而实际价格变化百分比：+25.46%结论：修正久期MD在收益率较大幅度变化时无法较好地估计价格变化久期的性质P*r*Pr久期：在r*下，价格与收益率的关系实际是凸函数关系久期理解为线形久期：利率变化，需要不断修正的瞬时值久期的性质–从价格波动的角度初始市场收益率越低，久期越大到期收益率越低，久期越大债券票面利率越低，久期越大价格波动性越大债券期限越长，久期越大久期–从期限的角度债券的久期是债券现金流的加权发生平均时间现金流的复杂平均到期时间权重：每一笔现金流的现值/P（债券现值/价格）以年为单位需要慎重对待以期限含义理解久期结构类债券产品久期可能大于其期满期限现象使用久期需要考虑的问题久期认为债券价格和收益率之间是线性函数久期是一个需要不断修正的瞬时值，即时间对久期是有影响的；久期不能反映价格波动性的非对称性久期预测债券价格通常会低估价格久期对价格的预测精度取决于债券的价格/收益率曲线的凸性如果收益率变动很大，不应当仅仅使用久期进行预测久期不能够度量利率的非平行移动风险，即收益率曲线风险。后续的建模会逐步放松如上假设，使模型能够更好刻画期限结构曲线和债券价格的真实变动。久期作为衡量债券价格变动的误差P*r*Pr只基于久期的估计误差Estimatingerrorbasedonlyonduration久期：在r*下，价格与收益率是线性关系实际是具有凸函数性质的非线性关系凸性convexity债券具有的价格-收益率曲线凸向原点的关系久期衡量的是收益率微小变化时价格的近似变化数量更为准确性取决于债券的凸性；债券价格相对于利率的变化并非线性，而凸性衡量了这一非线性变化的特征；凸性是久期的变化率；凸性为零，这久期的变化率为零，即债券价格和利率是线性关系。非附权债券凸性凸性为正值Positiveconvexity当必要报酬率上升（下降）时，债券的凸性下降（上升）凸性的存在，改善了债券的风险状况必要报酬率price价格-收益率曲线凸性衡量着市场收益率变化引起的货币久期(价格变化）的变化率利率上升，久期下降；利率下降，久期上升利率变动，债券价格变动具有不对称性债券价格波动衡量与久期和凸性债券价格波动数量=久期引起的价格变动+凸性引起的价格变动债券久期与凸性–债券价格对收益率的一阶导和二阶导债券久期与凸性–债券价格对收益率的一阶导和二阶导金额凸性（值）Dollarconvexity修正凸性（值）有效凸性如果债券的现金流不确定，如内含期权，则传统的凸性计算公式就无法应用，此时需要通过考虑利率不同变化情境下的债券的现金流，进而确定债券价格的变化（如通过二叉树模型得出利率的变化分布，进而得到不同情境下的现金流），计算其近似的久期和凸性，称为有效凸性。有效久期和凸性r0P0r0-drr0+drP-P+使用有效久期和有效凸性估算价格债券投资组合的凸性如果是金额凸性，则是各个债券的数量作为权重年度化凸性Convexityinyears如果一年中多次付息，则年度化凸性的计算为：Convexityinyears=