四川省南充市英才学校高三数学理模拟试卷含解析

四川省南充市英才学校高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在等差数列{an}中，若，则（

）A.6 B.9 C.12 D.18参考答案：C【分析】由得，然后再根据等差数列项的下标和的性质得到所求．【详解】设等差数列的公差为，则由得，整理得，所以．故选C．【点睛】本题考查等差数列的基本运算和下标和的性质，运用下标和性质解题可简化运算，提高解题的效率，属于基础题．2.下列四个结论：①若x＞0，则x＞sinx恒成立；②命题“若x﹣sinx=0则x=0”的逆命题为“若x≠0则x﹣sinx≠0”；③“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的充分不必要条件；④命题“?x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“?x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．其中正确结论的个数是(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【专题】规律型；探究型；构造法；导数的概念及应用；简易逻辑．【分析】令f（x）=x﹣sinx，利用导数分析其单调性，可判断①；写出原命题的逆命题，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③；写出原命题的否定，可判断④．【解答】解：令f（x）=x﹣sinx，则f′（x）=1﹣cosx≥0恒成立，故f（x）=x﹣sinx在R上为增函数，故x＞0时，f（x）＞f（0）=0，即x＞sinx恒成立，故①正确；命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆命题为“若x=0，则x﹣sinx=0”，故②错误；“命题p或q为真”时，“命题p且q为真”不一定成立，“命题p且q为真”时，“命题p或q为真”成立，故“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的必要不充分条件，故③错误；④命题“?x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“?x0∈R，x0﹣lnx0≤0”，故正确．其中正确结论的个数是2个，故选：B【点评】本题考查的知识点是全称命题的否定，四种命题，复合命题，函数的单调性，难度中档．3.若全集，则集合的真子集共有

A．个

B．个

C．个

D．个参考答案：C略4.设a=，则二项式展开式中的x3项的系数为(

)A．﹣20 B．20 C．﹣160 D．160参考答案：C【考点】二项式定理；微积分基本定理．【专题】计算题．【分析】计算定积分求得a的值，在二项式展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的x3项的系数．解：由于a==（sinx+cosx）=﹣2，则二项式展开式的通项公式为Tr+1=?x12﹣2r?=（﹣2）r??x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r=3，故展开式中的x3项的系数为﹣8×20=﹣160，故选C．【点评】本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．5.已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点P，若，则△POF的面积为（

）A．2

B．3

C.4

D．5参考答案：AF（1，0），K（﹣1，0），准线方程为x=﹣1，设P（x0，y0），则|PF|=x0+1=5，即x0=4，不妨设P在第一象限，则P（4，4），∴SPKF=×|FO|×|y0|=×1×4=2．

6.已知，则=（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A7.

设集合，，则=A.

B.

C.

D.U参考答案：A8.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（8，0），以OA为直径的圆与直线y=2x在第一象限的交点为B，则直线AB的方程为（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】根据OA为圆的直径得OB⊥AB，故有，再根据点斜式可得直线方程．【详解】根据OA为圆的直径得OB⊥AB，∴由点斜式可得直线AB的方程为y-0=-（x-8），即x+2y-8=0．故选：A．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．9.已知||=1，||=2，?（﹣）=0，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由?（﹣）=0，得到，展开数量积公式，代入已知条件得答案．【解答】解：∵||=1，||=2，且?（﹣）=0，∴，即＜＞﹣1=0，∴1×2×cos＜＞=1，cos＜＞=，则向量与的夹角为．故选：C．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，是基础的计算题．10.函数y=logmx+1（m＞0，m≠1）的图象恒过定点M，若点M在直线ax+by=1（a＞0，b＞0）上，则+的最小值为(

)A．8 B．9 C．10 D．12参考答案：B【考点】对数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】找到定点得：a+b=1，再代入+整理利用基本不等式就能求出．【解答】解；∵y=+1恒过定点（1，1），∴把M（1，1）代入ax+by=1得：a+b=1，∴+=（a+b）（+）=5++≥5+2=9，当且仅当=时等号成立，故答案选：B．【点评】本题主要考查直线过定点问题和基本不等式的运用．考查基础知识的综合运用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如题图所示，过外一点作一条直线与交于两点，切于，弦过的中点。已知，则

。参考答案：略12.（文）在等差数列中，若公差，且，，成等比数列，则公比________．参考答案：313.已知把向量a﹦(1,1)向右平移两个单位，再向下平移一个单位得到向量b，则b的坐标为

参考答案：.(1,1)略14.已知F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,过F1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点.若ΔABF2是等边三角形,则该双曲线的离心率为

参考答案：略15.若函数在上可导，，则______；参考答案：因为，所以，所以，所以。16.集合，，则_________．参考答案：.,所以.17.已知△ABC，点O满足=2，过点O的直线与线段AB及AC的延长线分别相交于点E，F，设=λ，=μ，则8λ+μ的最小值是_________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题共12分）如图,四棱锥的底面是正方形,棱底面,,是的中点．(1)证明平面；(2)证明平面平面.参考答案：证明:(1)连结,设与交于点,连结.∵底面ABCD是正方形,∴为的中点,又为的中点,∴,∵平面,平面,∴平面.(2)∵,是的中点,∴.∵底面,∴.又由于,,故底面,所以有.又由题意得,故.于是,由,,可得底面.故可得平面平面.略19.（本小题满分14分）已知函数R在点处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：当N，且时，.参考答案：（1）解：∵，

∴.∵直线的斜率为，且过点，

……………1分∴即解得.

……………3分（2）解法1：由（1）得.当时，恒成立，即，等价于.

……………4分令，则.

……………5分令，则.ks5u当时，，函数在上单调递增，故.

……………6分从而，当时，，即函数在上单调递增，ks5u故.

……………7分因此，当时，恒成立，则.

……………8分∴所求的取值范围是.

……………9分解法2：由（1）得.ks5u当时，恒成立，即恒成立.

……………4分令，则.方程（﹡）的判别式.（ⅰ）当，即时，则时，，得，故函数在上单调递减.由于，则当时，，即，与题设矛盾.…………5分（ⅱ）当，即时，则时，.故函数在上单调递减，则，符合题意.………6分(ⅲ)当，即时，方程（﹡）的两根为，则时，，时，.故函数在上单调递增，在上单调递减，从而，函数在上的最大值为.………7分而，由（ⅱ）知，当时，，ks5u得，从而.故当时，，符合题意.

……………8分综上所述，的取值范围是.

……………9分（3）证明：由（2）得，当时，，可化为，…10分又，从而，.

……………11分把分别代入上面不等式，并相加得，ks5u

……………12分

……………13分.

……………14分20.（12分）已知函数f（x）=2xlnx﹣（x﹣a）2．（1）若f（x）在定义域上为单调递减函数，求函数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得f（x）≤0恒成立且f（x）有唯一零点，若存在，求出满足a∈（n，n+1），n∈Z的n的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】（1）求导，由题意可知：f′（x）≤0恒成立，构造辅助函数，求导，利用函数的单调性与导数的关系，即可求得函数a的取值范围；（2）求导，当a≤0时，f（x）在[1，+∞）单调递减，则f（1）≤f（1）=﹣（x﹣a）2＜0无零点，当a＞0时，构造辅助函数，求导，利用导数与函数单调性的关系及函数零点的判断，即可求得存在n=0即a∈（0，1），使得f（x）≤0恒成立且f（x）有唯一零点．【解答】解：（1）由已知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导f′（x）=2（lnx﹣x+1+a），则f（x）在定义域上单调递减，则f′（x）≤0恒成立，则g（x）=f′（x）=2（lnx﹣x+1+a），则g′（x）=﹣2=，当x∈（0，1），g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（1，+∞），g′（x）＜0，g（x）单调递减，即f′（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）单调递减，∴f′（x）≤f′（1）≤0，则a≤0，函数a的取值范围（﹣∞，0]；（2）当x∈（0，1），xlnx＜0，∴f（x）=2xlnx﹣（x﹣a）2＜0恒成立，当x∈（1，+∞），由（1）可知，f′（x）在[1，+∞）单调递减，①当a≤0时，由（1）可知，f（x）在[1，+∞）单调递减，则f（1）≤f（1）=﹣（x﹣a）2＜0，f（x）无零点，不符合题意；②当a＞0时，设p（x）=ex﹣2x，（x＞0），p′（x）=ex﹣2，则p（x）＞p（ln2）=2﹣lnx2＞0，∴f′（ea+1）=2（a+1）﹣ea+1＜0，由f′（1）＞0，∴存在x0∈（1，ea+1），使得f′（x0）=0，即a=x0﹣1﹣lnx0，①故当且仅当x∈（1，x0）时，f′（x0）＞0，当x∈（x0，+∞），f′（x0）＜0，∴f（x）在（1，x0）内单调递增，在（x0，+∞）内单调递减，由f（x）≤0恒成立，且f（x）有唯一的零点，∴f（x0）=2x0lnx0﹣（x0﹣a）2=0，②由①②可知：，③联立2x0lnx0﹣（x0﹣a）2=2x0lnx0﹣[x0﹣（x0﹣1﹣lnx0）]2=2x0lnx0﹣（1+lnx0）2，设φ（x）=2xlnx﹣（1+lnx）2，则φ（1）=1＞0，φ（e）=2（2﹣e）＜0，当且x≥1时，φ′（x）=2（lnx+1）（1﹣）≥0，则φ（x）在（1，e）上有唯一零点x0，即满足方程组③的x0唯一，且x0∈（1，e），设u（x）=x﹣1﹣lnx（x＞1），则u′（x）=1﹣≥0，则u（x）在（1，+∞）上单调递增，则0=u（1）＜a=u（x0）＜u（e）=e﹣2＜1，即满足方程组③的a∈（0，1），则n=0，综上所述，存在n=0即a∈（0，1），使得f（x）≤0恒成立且f（x）有唯一零点．【点评】本题考查导数的综合应用，导数与函数的单调性的关系，函数零点的判断，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于难题．21.某皮革公司旗下有许多手工足球作坊为其生产足球，公司打算生产两种不同类型的足球，一款叫“飞火流星”，另一款叫“团队之星”．每生产一个“飞火流星”足球，需要橡胶100g，皮革300g；每生产一个“团队之星”足球，需要橡胶50g，皮革400g．且一个“飞火流星”足球的利润为40元，一个“团队之星”足球的利润为30元．现旗下某作坊有橡胶材料2.5kg，皮革12kg．（1）求该作坊可获得的最大利润；（2）若公司规定各作坊有两种方案可供选择，方案一：作坊自行出售足球，则所获利润需上缴10%方案二：作坊选择由公司代售，则公司不分足球类型，一律按相同的价格回收，作坊每个球获得30元的利润．若作坊所生产的足球可全部售出，请问该作坊选择哪种方案更划算？请说明理由．参考答案：【考点】简单线性规划．【分析】（1）设该作坊生产“飞火流星”足球x个，“团队之星”足球y个，作坊获得的利润为z元．则即，目标函数z=40x+30y，（x，y∈N