2021年河南省南阳市第二十第二中学高二数学理联考试卷含解析

2021年河南省南阳市第二十第二中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.当0<a<1时，方程=1表示的曲线是（

）

A．圆

B．焦点在x轴上的椭圆

C．焦点在y轴上的椭圆

D．双曲线参考答案：B略2.设随机变量X～N（2，4），则D（X）的值等于(

)A.1

B.2

C.

D.4参考答案：A3.设，，，则A．

B．

C．

D．参考答案：A4.把函数的图像向左平移个单位，所得图像的函数解析式为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D5.若双曲线+=1（m＜0＜n）的渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得可得=，再由曲线的离心率为e=，运算求得结果．【解答】解：根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y=x，可得=，则该双曲线的离心率为e==，故选：B．6.从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是（

） A．36 B．48 C．52 D．54参考答案：B略7.若，则下列不等式成立的是(

)

A

-.

B.

C

D

.参考答案：C8.△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于（）A． B． C． D．或者参考答案：D考点;解三角形．专题;计算题．分析;由AB，AC及cosB的值，利用余弦定理即可列出关于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的长，然后利用三角形的面积公式，由AB，BC以及sinB的值即可求出△ABC的面积．解答;解：由AB=，AC=1，cosB=cos30°=，根据余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosB，即1=3+BC2﹣3BC，即（BC﹣1）（BC﹣2）=0，解得：BC=1或BC=2，当BC=1时，△ABC的面积S=AB?BCsinB=××1×=；当BC=2时，△ABC的面积S=AB?BCsinB=××2×=，所以△ABC的面积等于或．故选D点评;此题考查学生灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题9.若集合，（

）。

A.

B.

C.

D.参考答案：B略10.设函数,则

A．为的极大值点

B．为的极小值点C．为的极大值点

D．为的极小值点

参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知空间三点的坐标为，，，若三点共线，则，参考答案：，12.复数的模为

▲

.参考答案：113.某地为上海“世博会”招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号、2号、…、19号、20号，若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是

参考答案：21略14.设函数y=的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是．参考答案：（0，]【考点】分段函数的应用．【分析】曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），运用向量垂直的条件：数量积为0，构造函数h（x）=（x+1）lnx（x≥e），运用导数判断单调性，求得最值，即可得到a的范围．【解答】解：假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴?=0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0（*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．若0＜t＜e，则f（t）=﹣t3+t2代入（*）式得：﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0即t4﹣t2+1=0，而此方程无解，因此t≥e，此时f（t）=alnt，代入（*）式得：﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，即=（t+1）lnt（**）令h（x）=（x+1）lnx（x≥e），则h′（x）=lnx+1+＞0，∴h（x）在[e，+∞）上单调递增，∵t≥e∴h（t）≥h（e）=e+1，∴h（t）的取值范围是[e+1，+∞）．∴对于0＜a≤，方程（**）总有解，即方程（*）总有解．故答案为：（0，]．15.由抛物线与直线所围成的图形的面积是

.参考答案：16.用系统抽样的方法从容量为的总体中抽取容量为的样本，则总体中每个个体被抽到的概率为

参考答案：略17.已知直线平面，直线平面，则直线的位置关系是_参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数在处取得极值,并且它的图象与直线在点(1,0)处相切,求a,b,c的值。参考答案：19.（14分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．参考答案：【考点】频率分布直方图．【专题】计算题；图表型．【分析】（1）在频率分直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，根据频率的和等于1建立等式解之即可；（2）60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，从而求出抽样学生成绩的合格率，再利用组中值估算抽样学生的平均分即可．【解答】解：（Ⅰ）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f4=1﹣（0.025+0.015*2+0.01+0.005）*10=0.3（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为（0.015+0.03+0.025+0.005）*10=0.75所以，抽样学生成绩的合格率是75%利用组中值估算抽样学生的平均分45?f1+55?f2+65?f3+75?f4+85?f5+95?f6=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71估计这次考试的平均分是71．【点评】本题主要考查了频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．20.某工厂的某车间共有30位工人，其中60%的人爱好运动。经体检调查，这30位工人的健康指数（百分制）如下茎叶图所示。体检评价标准指出：健康指数不低于70者为“身体状况好”，健康指数低于70者为“身体状况一般”。（1）根据以上资料完成下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“身体状况好与爱好运动有关系”？

身体状况好身体状况一般总计爱好运动

不爱好运动

总计

30（2）现将30位工人的健康指数分为如下5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，其频率分布直方图如图所示。计算该车间中工人的健康指数的平均数，由茎叶图得到真实值记为，由频率分布直方图得到估计值记为x，求x与的误差值；（3）以该车间的样本数据来估计该厂的总体数据，若从该厂健康指数不低于70者中任选10人，设X表示爱好运动的人数，求X的数学期望。附：。0.10.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案：（1）列联表见解析；有的把握认为“身体状况好与爱好运动有关系”；（2）误差值为0.4；（3）数学期望【分析】（1）根据茎叶图补全列联表，计算可得，从而得到结论；（2）利用平均数公式求得真实值；利用频率直方图估计平均数的方法求得估计值，作差得到结果；（3）可知，利用二项分布数学期望计算公式求得结果.【详解】（1）由茎叶图可得列联表如下：

身体状况好身体状况一般总计爱好运动不爱好运动总计

有的把握认为“身体状况好与爱好运动有关系”（2）由茎叶图可得：真实值由直方图得：估计值误差值为：（3）从该厂健康指数不低于70的员工中任选1人，爱好运动的概率为：则

数学期望【点睛】本题考查独立性检验、茎叶图和频率分布直方图的相关知识、二项分布数学期望的计算，涉及到卡方的计算、利用频率分布直方图估计平均数、随机变量服从二项分布的判定等知识，属于中档题.21.(本题满分10分)如图，已知平面，∥，是正三角形，且.（1）设是线段的中点，求证：∥平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值.参考答案：解：（I）证明：取CE中点N,连接MN,BN则MN∥DE∥AB且MN=DE=AB∴四边形ABNM为平行四边形∴AM∥BN

∴AM∥平面BCE（Ⅱ）解：取AD中点H,连接BH，

∵是正三角形，

∴C