2021-2022学年浙江省杭州市北干中学高三数学理联考试题含解析

2021-2022学年浙江省杭州市北干中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.袋子中有四张卡片，分别写有“瓷、都、文、明”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“瓷”“都”两个字都取到记为事件A，用随机模拟的方法估计事件A发生的概率.利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“瓷、都、文、明”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232321230023123021132220001231130133231031320122103233

由此可以估计事件A发生的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】事件A即为表中包含数字0和1的组，根据表中数据，即可求解【详解】事件A包含“瓷”“都”两字，即包含数字0和1，随机产生的18组数中，包含0,1的组有021,001,130,031,103，共5组，故所求概率为，故选C【点睛】本题考查古典概型，熟记概率计算公式即可，属基础题。2.如图，已知三棱锥P﹣ABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB=，侧面PAB⊥底面ABC，AB=PA=PB=2．则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x，y，z分别是（）A．，1， B．，1，1 C．2，1， D．2，1，1参考答案：B【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据题意，结合三视图的特征，得出x是等边△PAB边AB上的高，y是边AB的一半，z是等腰直角△ABC斜边AB上的中线，分别求出它们的大小即可．【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB=，侧面PAB⊥底面ABC，AB=PA=PB=2；∴x是等边△PAB边AB上的高，x=2sin60°=，y是边AB的一半，y=AB=1，z是等腰直角△ABC斜边AB上的中线，z=AB=1；∴x，y，z分别是，1，1．故选：B．3.

已知数列为等比数列，若，则等于

A．

B．

C．

D．参考答案：C4.284和1024的最小公倍数是

（

）

A．1024

B．142

C．72704

D．568参考答案：C5.将2个相同的和2个相同的共4个字母填在的方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数为

（

）

A．196

B．197

C．198

D．199参考答案：C略6.已知点A，B，C在圆，满足（其中O为坐标原点），又，则向量在向量方向上的投影为

（

）

A．1

B．-1

C．

D．参考答案：C略7.如图，在三菱锥中，若侧面底面，则其主视图与左视图面积之比为A.

B.

C.

D.参考答案：A8.实数x，y满足条件,则的最小值为A．16 B．4 C．1

D．参考答案：D9.函数的值域为A.

B.

C.

D.参考答案：A10.已知复数,是它的共轭复数,则（

）A．

B．

C．1

D．参考答案：A本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力.因为,所以.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题“存在，使”的否定是

。参考答案：答案：对任意使12.若实数满足，则的取值范围是___________.参考答案：略13.已知平面向量,的夹角为，且,，若，则_____．参考答案：3∵，∴，解得．14.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

．参考答案：【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；分割补形法；立体几何．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱柱与四棱锥的组合体，结合图中数据，求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是三棱柱ABF﹣DCE与四棱锥P﹣ABCD的组合体，如图所示；则该几何体的体积为V=×22×2+×2×2×2=．故答案为：．【点评】本题考查了几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．15.如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，P为以点A为圆心，以AB为半径的圆弧上一点，若，则以下说法正确的是：

（请将所有正确的命题序号填上）①若点E和A重合，点P和B重合，则；②若点E是线段AB的中点，则点P是圆弧的中点；③若点E和B重合，且点P为靠近D点的圆弧的三等分点，则；④若点E与B重合，点P为上任一点，则动点的轨迹为双曲线的一部分。参考答案：①④16.二项式（x﹣）6的展开式中x4的系数是

．参考答案：6考点：二项式定理．专题：二项式定理．分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项；令x的指数为4，求出展开式中x4的系数解答： 解：展开式的通项为Tr+1=，令6﹣r﹣r=4，解得r=1，此时T2=C61x4=6x4，则展开式中x4的系数是6，故答案为：6点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，求出展开式的通项公式是解决本题的关键．17.求值：=

．参考答案：2【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的运算性质lgM﹣lgN=lg以及lgMn=nlgM进行化简运算即可得到答案．【解答】解：=，∴=2．故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AA1丄平面ABC，AB=AC，E是线段BB1上的动点，D是线段BC的中点.(I)证明：AD丄C1E；(II)若AB=2,AA1=,且直线AC1、C1E所成角的余弦值为,试指出点E在线段BB1上的位置，并求三棱锥B1-A1DE的体积。参考答案：（Ⅰ）因为，所以平面.而平面,所以平面平面.

………2分因为线段的中点为，且而,.，………5分

（Ⅱ），.，即.又，所以，故，所以.在三棱柱中，，直线所成角的余弦为，则在中，，，所以.………7分在中，，所以.因为，所以点是线段的靠近点的三等分点.

………9分因为所以==

………12分19.在平面直角坐标系xOy中，设动点M到坐标原点的距离到x轴的距离分别为d1，d2，且，记动点M的轨迹为Ω.（1）求Ω的方程；（2）设过点(0,－2)的直线l与Ω相交于A，B两点，当△AOB的面积为1时，求|AB|.参考答案：解：（1）设，则，，则，故的方程为（或）.（2）依题意当轴不合题意，故设直线：，设，，将代入，得，当，即时，，，从而，从点到直线的距离，所以的面积，整理得，即（满足），所以.

20.据气象中心的观察和预测：发生于地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度与时间的函数图像如图所示，过线段上一点作横轴的垂线，则梯形在直线左侧部分的面积即为内沙尘暴所经过的路程．(1)当时，求的值；(2)将随变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若城位于地正南方向，且距地为，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到城．如果会，在沙尘暴发生多长时间后它将侵袭到城；如果不会，请说明理由．

参考答案：(1)24km.(2)S＝(3)30h(1)由图像可知，当t＝4时，v＝3×4＝12，所以S＝×4×12＝24km.(2)当0≤t≤10时，S＝·t·3t＝t2；当10<t≤20时，S＝×10×30＋30(t－10)＝30t－150；当20<t≤35时，S＝×10×30＋10×30＋(t－20)×30－×(t－20)×2(t－20)＝－t2＋70t－550.综上可知，S＝(3)因为当t∈[0，10]时，Smax＝×102＝150<650，当t∈(10，20]时，Smax＝30×20－150＝450<650，所以当t∈(20，35]时，令－t2＋70t－550＝650，解得t1＝30，t2＝40.因为20<t≤35，所以t＝30.故沙尘暴发生30h后将侵袭到N城．

略21.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠B=（1）若a=2，b=2，求c的值；（2）若tanA=2，求tanC的值．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）△ABC中，由条件利用余弦定理可得b2=12=4+c2﹣4c?cos，由此求得c的值．（2）由tanA=2，tanB=tan=，再根据tanC=﹣tan（A+B）=，计算求得结果．【解答】解：（1）△ABC中，∵a=2，b=2，∠B=，由余弦定理可得b2=12=4+c2﹣4c?cos=4+c2﹣2c，求