河南省郑州市新密实验中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析

河南省郑州市新密实验中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设有算法如右图所示：如果输入，则输出的结果是（

）

A．144

B．3

C．0

D．12参考答案：【知识点】程序框图.L1B

解析：（1）A=144，B=39，C=27，继续循环；（2）A=39，B=27，C=12，继续循环；（3）A=27，B=12，C=3，继续循环；（4）A=12，B=3，C=0，退出循环．此时A=3．故选B。【思路点拨】由已知中的程序框图，我们可得这是一个利用循环，求最大公约数的程序，模拟程序的运行结果，即可得到．2.下面给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略3.已知函数，若函数为奇函数，则实数为（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：B因为函数为奇函数，所以，即，所以选B.4.已知函数，则函数的单调递增区间是（

）A．B．C．D．参考答案：A由已知，化简得，又与的单调性相同且，所以，故选A.5.定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：B略6.若，则的大小关系是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C7.设是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则A．

B.

C

D.参考答案：A略8.三棱柱的侧棱与底而垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正(主)视图(如图所示)的面积为8，则侧(左)视图的面积为

(A)8

(B)4

(C)4

(D)参考答案：C略9.在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是过BD且平行于PA的平面截四棱锥P﹣ABCD所得的几何体；画出图形结合图形求出截取部分的体积与剩余部分的体积之比是多少即可．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是过BD且平行于PA的平面截四棱锥P﹣ABCD所得的几何体；设AB=1，则截取的部分为三棱锥E﹣BCD，它的体积为V三棱锥E﹣BCD=××1×1×=，剩余部分的体积为V剩余部分=V四棱锥P﹣ABCD﹣V三棱锥E﹣BCD=×12×1﹣=；所以截取部分的体积与剩余部分的体积比为：=1：3．故选：B．10.若a=3，b=logcos60°，c=log2tan30°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c参考答案：A【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数和对数函数的性质求解．【解答】解：∵a=3＞30=1，0=＜b=logcos60°＜=1，c=log2tan30°＜log21=0，∴a＞b＞c．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合A={x∈R|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x∈R|﹣1＜x＜m}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则实数m的取值范围为

．参考答案：（3，+∞）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可求出m的取值范围．【解答】解：A={x∈R|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A?B，则m＞3，故答案为：（3，+∞）12.在极坐标系中，点到直线的距离为

．参考答案：13.已知a，b∈R，(a+bi)2=3+4i（i是虚数单位）则a2+b2=

，ab=

．参考答案：5，2试题分析：由题意可得a2－b2+2abi=3+4i，则，解得，则a2+b2=5，ab=2.【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(ad+bc)i(a，b，c，d∈R)．其次要熟悉复数相关基本概念，如复数a+bi(a，b∈R)的实部为a、虚部为b、模为、对应点为（a，b）、共轭为a－bi等．14.若函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，则．参考答案：15.函数的值域是

参考答案：16.双曲线的两条渐近线的夹角的大小等于_______.参考答案：双曲线的渐近线为。的倾斜角为，所以两条渐近线的夹角为。【答案】【解析】17.若正项数列满足，且,则=_______。参考答案：-3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴，焦距为2，且长轴长是短轴长的倍．（1）求椭圆的标准方程；（2）设，过椭圆左焦点F的直线l交于A、B两点，若对满足条件的任意直线l，不等式（）恒成立，求的最小值．参考答案：（1）（2）的最小值为试题分析：（1）依题意，求出，，可得椭圆的标准方程；（2）设，，可得，首先讨论当直线垂直于轴时，．当直线不垂直于轴时，设直线：，与椭圆方程联立，得到，，则，将及，代入可得，要使不等式（）恒成立，只需，即的最小值为．试题解析：（1）依题意，，，解得，，∴椭圆的标准方程为．（2）设，，所以，当直线垂直于轴时，，且，此时，，所以．当直线不垂直于轴时，设直线：，由整理得，所以，，所以．要使不等式（）恒成立，只需，即的最小值为．19.已知，求下列各式的值：（1）；（2）sin2α﹣3sinαcosα+4cos2α．参考答案：【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】（1）将分子和分母同时除以cosα，把tanα的值代入即可求得答案．（2）利用sin2α+cos2α=1，原式除以sin2α+cos2α，分子分母同时除以sin2α，进而把tanα的值代入即可求得答案．【解答】解：（1）将分子和分母同时除以cosα，原式==（2）原式===【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．解题的关键是整理出关于tanα的式子．20.（14分）设函数f（x）=x2，g（x）=alnx+bx（a＞0）（1）若f（1）=g（1），f′（1）=g′（1），求g（x）的解析式；（2）在（1）的结论下，是否存在实常数k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m？若存在，求出k和m的值．若不存在，说明理由．（3）设G（x）=f（x）+2﹣g（x）有两个零点x1和x2，且x1，x0x2成等差数列，试探究值G′（x0）的符号．参考答案：（1）g（x）=lnx+x；（2）存在这样的k和m，且k=2，m=﹣1，满足条件．（3）为正.（1）由f（1）=g（1），得b=1．∵f′（x）=2x，，f′（1）=g′（1）∴2=a+b，联立，解得a=b=1，则g（x）=lnx+x．（2）因f（x）与g（x）有一个公共点（1，1），而函数f（x）=x2在点（1，1）的切线方程为y=2x﹣1，下面验证f（x）≥2x﹣1，g（x）≤2x﹣1

都成立即可．由x2﹣2x+1≥0，得x2≥2x﹣1，知f（x）≥2x﹣1恒成立．设h（x）=lnx+x﹣（2x﹣1），即h（x）=lnx﹣x+1，，∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0．∴h（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，∴h（x）在x=1时取得最大值，∴h（x）=lnx+x﹣（2x﹣1）的最大值为h（1）=0，所以lnx+x≤2x﹣1恒成立．故存在这样的k和m，且k=2，m=﹣1，满足条件．（3）G′（x0）的符号为正，理由为：∵G（x）=x2+2﹣alnx﹣bx有两个不同的零点x1，x2，则有，两式相减得x22﹣x12﹣a（lnx2﹣lnx1）﹣b（x2﹣x1）=0．即x1+x2﹣b=，又x1+x2=2x0，则G′（x0）=2x0﹣﹣b=（x1+x2﹣b）﹣=﹣==，①当0＜x1＜x2时，令=t，则t＞1，且G′（x0）=[lnt﹣]，故μ（t）=lnt﹣（t＞1），μ′（t）=﹣=＞0，则μ（t）在[1，+∞）上为增函数，而μ（1）=0，∴μ（t）＞0，即lnt﹣＞0，又a＞0，x2﹣x1＞0，∴G′（x0）＞0，②当0＜x2＜x1时，同理可得：G′（x0）＞0，综上所述：G′（x0）值的符号为正．21.设Sn是各项均为非零实数的数列{an}的前n项和，给出如下两个命题上：命题p：{an}是等差数列；命题q：等式对任意n（n∈N*）恒成立，其中k，b是常数．（1）若p是q的充分条件，求k，b的值；（2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；（3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n＞1）和正数M，数列{an}满足条件，试求Sn的最大值．参考答案：【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】（1）设{an}的公差为d，利用裂项法原等式可化为（﹣+﹣+…+﹣）=，整理可得（k﹣1）n+b=0对于n∈N*恒成立，从而可求得k，b的值；（2）当k=1，b=0时，假设p是q的必要条件，分当n=1时，当n≥2时，当n≥3时讨论即可判断结论是否正确；（3）由+≤M，可设a1=rcosθ，an+1=rsinθ，代入求和公式Sn=，利用三角函数的有界性即可求得其最大值．【解答】解：（1）设{an}的公差为d，则原等式可化为（﹣+﹣+…+﹣）=，所以?=，即（k﹣1）n+b=0对于n∈N*恒成立，所以k=1，b=0．…（2）当k=1，b=0时，假设p是q的必要条件，即“若++…+=①对于任意的n（n∈N*）恒成立，则{an}为等差数列”．当n=1时，=显然成立．…当n≥2时，若++…+=②，由①﹣②得，=（﹣），即nan﹣（n﹣1）an+1=a1③．当n=2时，a1+a3=2a2，即a1、a2、a3成等差数列，当n≥3时，（n﹣1）an﹣1﹣（n﹣2）an=a1④，即2an=an﹣1+an+1．所以{an}为等差数列，即p是q的必要条件．…（3）由+≤M，可设a1=rcosθ，an+1=rsinθ，所以r≤．设{an}的公差为d，则an+1﹣a1=nd=rsinθ﹣rcosθ，所以d=，所以an=rsinθ﹣，Sn==r≤?=，所以Sn的最大值为…【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，突出考查“充分、必要条件”在数列中的综合应用，判断（2）中“p是否为q的必要条件”是难点，考查参数方程及三角函数的有界性，属于难题．22.已知各项都不相等的等差数列{an}的前六项和为60，且a6为a1与a21的等比中项．（1）求数列{an}的通项公式及an及前n项和Sn；（2）若数列{bn}满足bn+1﹣bn=an（n∈N*），且b1=3，求数列的前n项和Tn．参考答案：考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意建立方程组，求得d和a1，根据等差数列的通项公式和求和公式，分别求得an及前n项和Sn；（2）由（1）中的an和Sn，根据迭代法得：bn=（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn﹣2）+…（b2﹣b1）+b1，结合条件化简后求得bn，再利用裂项法求得，代入前n项和Tn再相消后化简即可．解答： 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则，解得…∴an=2n