广东省东莞市洪梅中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析

广东省东莞市洪梅中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知定义在上的函数满足，且，

，若有穷数列（）的前项和等于，则n等于

A．4

B．5

C．6

D．7参考答案：B2.已右集合则M∩N= A．（-4，1） B． C． D．（1，+∞）参考答案：C考点：集合的运算．3.一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A4.设，则！等于（）

(A)

(B)(C)

(D)参考答案：A略5.某次跳水比赛中，七位评委为甲、乙两选手打出的分数的茎叶图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两人的平均得分分别为，则有（

）

A．

B．

C．

D．有关参考答案：A注意去掉最高分和最低分，，6.已知双曲线的两条渐近线均与相切，则该双曲线离心率等于（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.的展开式中，的系数为（

）A．－3

B．－2

C．1

D．4参考答案：B的通项为：的展开式中，的系数为故选：B

8.已知复数z满足：则复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义即可得出．【解答】解：∵，∴z（1+i）（﹣i）=（2﹣i）（1﹣i），∴z（1﹣i）=1﹣3i，∴z（1﹣i）（1+i）=（1﹣3i）（1+i），∴2z=4﹣2i，∴z=2﹣i．则复数=2+i的虚部为1．故选：C．9.二项式的展开式中的系数是A．84

B．-84

C．126

D．-126参考答案：B10.现有4张卡片，正面分别标有1，2，3，4，背面完全相同．将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽．若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】甲获胜是指甲第一次抽取偶数或甲第一次抽到奇数，同时乙第一次也抽到奇数，由此能求出甲获胜的概率．【解答】解：甲获胜是指甲第一次抽取偶数或甲第一次抽到奇数，同时乙第一次也抽到奇数，∴甲获胜的概率是P==．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图,在正方体中,、分别是、的中点,则异面直线与所成角的大小是____________。

参考答案：略12.设O为△ABC的内心，当AB=AC=5，BC=6时，，则的值为________。参考答案：13.如图，⊙O的直径AB＝6cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA＝30°，PC＝_____________参考答案：14.体积为的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为．参考答案：6【考点】LR：球内接多面体．【分析】由球的体积可以求出半径，从而得棱柱的高；由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和棱柱底面正△边长的关系，求出边长，即求出底面正△的面积，从而得出棱柱的体积．【解答】解：由球的体积公式，得πR3=，∴R=1．∴正三棱柱的高h=2R=2．设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：a=1，∴a=2，∴该棱柱的体积为=6，故答案为6．15.如图，将圆分成n个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为an.（1）

（2）an=

参考答案：（1）18

；（2）。16.已知_________.参考答案：17.已知实数x＞0，y＞0，且满足，则x＋2y的最小值为________。参考答案：，则，设，则由已知可得解得，当且仅当即时等号成立即答案为

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）已知f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋……＋anxn，且a1,a2,a3,……,an组成等差数列(n为正偶数)，又f(1)＝n2,f(－1)＝n,(Ⅰ)求数列的通项公式an；(Ⅱ)试比较f()与3的大小，并说明理由．参考答案：(1)设数列{an}的公差为d,

f(1)＝a1＋a2＋a3＋……＋an＝＝n2,………2分∴a1＋an＝2n,…….3分又f(－1)＝－a1＋a2－a3＋……－an－1＋an＝n,nd＝n,d＝2,………….5分∴a1＝1,

an＝2n－1,…….7分(2)f()＝＋3()2＋5()3＋……＋(2n－1)()n………………①…….8分①×得f()＝()2＋3()3＋5()4＋……＋(2n－1)()n＋1…②①－②得f()＝＋2[()2＋()3＋……＋()n]－(2n－1)()n＋1,………..11分∴f()＝1＋4·－(2n－1)()n＋1＝3－－(2n－1)()n＋1<3…….14分19.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1a2a3=8，S2n=3（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）（n∈N*）（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=nSn，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【分析】（Ⅰ）先根据等比数列的性质可求出a2的值，然后根据S2n=3（a1+a3+…+a2n﹣1）中令n=1可求出首项a1，从而求出公比，即可求出an的通项公式，（Ⅱ）先根据等比数列的求和公式求出Sn，再求出bn=nSn，根据分组求和和错位相减法求和即可．【解答】解：（Ⅰ）利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=8即a2=2∵S2n=3（a1+a3+…+a2n﹣1）∴n=1时有，S2=a1+a2=3a1从而可得a1=1，q=2，∴an=2n﹣1，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得Sn==﹣1+2n，∴bn=nSn=﹣n+n?2n，∴Tn=﹣（1+2+3+…+n）+1×2+2×22+3×23+…+n?2n，设An=1×2+2×22+3×23+…+n?2n，∴2An=1×22+2×23+…+（n﹣1）?2n+n?2n+1，两式相减可得﹣An=2+22+23+…+2n﹣n?2n+1=﹣n?2n+1=﹣2+2n+1﹣n?2n+1=﹣2+（1﹣n）2n+1，∴An=2+（n﹣1）2n+1，∴Tn=﹣+2+（n﹣1）2n+1．【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和以及错位相减法求和，以及等比数列的性质和通项公式，属于中档题．20.学校要建一个面积为的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为和的小路（如图所示）。问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值。参考答案：设游泳池的长为，则游泳池的宽为,

又设占地面积为，依题意，得当且仅当,即时,取“=”.答：游泳池的长为,宽为时，占地面积最小为64821.已知函数．（I）求的最小正周期；（II）若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间[0，π]上的最大值和最小值．参考答案：略22.某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如表：

一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．参考答案：考点：古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）用表中字母一一列举出所有可能的结果，共15个．（Ⅱ）用列举法求出事件M包含的结果有6个，而所有的结果共15个，由此求得事件M发生的概率．解答： 解：（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果有：（A，B）、（A，C）、（A，X）、（A，Y）、（A，Z）、（B，C）、（B，X）、（B，Y）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y）、（C，Z）、（X，Y）、（X，Z