数学人教八年级上册（2013年新编）13-3-4 含30°角的直角三角形的性质（当堂达标）

13.3.4含30°角的直角三角形的性质夯实基础篇一、单选题：1．如图，在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3．则CE长为（）A．6 B．9 C．3 D．8【答案】A【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】∵ED垂直平分BC，∴BE＝CE，∠EDB＝90°，∵∠B＝30°，ED＝3，∴BE＝2DE＝6，∴CE＝6．故选A．【分析】由ED垂直平分BC，即可得BE＝CE，∠EDB＝90°，又由直角三角形中30°角所对的直角边是其斜边的一半，即可求得BE的长，则问题得解．2．如右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，DE的长为()A．7.4m B．3.7m C．1.85m D．2.85m【答案】C【知识点】含30°角的直角三角形【解析】【解答】在直角三角形ADE中，∵∠A=30°，AB=7.4，D为AB的中点

∴DE=AD==1.85.故答案为：C。【分析】根据题意，由直角三角形中30°角所对的直角边的性质即可得到答案。3．在中，，，过点B作，交于点D，若，则的长度为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：在中，，，∴∠A=∠C=（180º-120º）÷2=30º，∵，∴∠DBC=90º，∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=120º-90º=30º，∴BD=AD=1，∵∠DBC=90º，∠C=30º，∴CD=2BD=2，故答案为：择：A．【分析】由，，得出∠A=∠C=30º，由得出∠DBC=90º利用角的差∠ABD=∠ABC-∠DBC=30º=∠A，得到等腰三角形，BD=AD=1，利用30º所对直角边等于斜边的一半CD=2BD即可．4．如图，中，，，平分，若，则点D到线段的距离等于（）A．6 B．5 C．8 D．10【答案】B【知识点】点到直线的距离；角平分线的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，∵平分，∠C=90°，∴DC=DE，∠ABC=90°－∠BAC=30°在Rt△BDE中，BD=2DE∵BD＋DC=BC=15∴2DE＋DE=15解得：DE=5，即点D到线段的距离等于5.故答案为：B.【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质可得DC=DE，由余角的性质可得∠ABC=30°，则BD=2DE，结合BD＋DC=BC=15可得DE的值，据此解答.5．如图，在中，平分交于点M，过点M作交于点N，且平分，若，则的长为（）A． B． C． D．【答案】B【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∠NCM＝∠BCM＝∠NMC，∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC，∴∠B＝30°，∵AN＝1，∴MN＝2，∴AC＝AN＋NC＝3，∴BC＝6，故答案为：B．【分析】根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．6．如图所示，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF=（）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】B【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】因为△ABC是边长为20的等边三角形，所以BC=20，∠B=∠C=60〬，又因为DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，所以，∠BDE=30〬，∠CDF=30〬，所以，BE=BD，CF=DC，所以，BE+CF=BD+DC=BC=10.故答案为：B【分析】根据等边三角形的性质得到边长，再根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出BE、CF的值.二、填空题：7．如图∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=6，则PD等于.【答案】3【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP=∠CPO，∴∠PCE=∠BOP+∠CPO=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°，又∵PC=6，∴PE等于PC的一半为3，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，∴PD=PE=3．【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据两直线平行，内错角相等可得∠AOP=∠CPO，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠PCE=∠AOB=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半.8．如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是斜边AB上的高，若∠A=30°，BD=1cm，则AD=cm．【答案】3【知识点】含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A=30°，∴∠A=∠BCD=30°，∴BC=2BD，AB=2BC，∴AB=4BD，∴AD=AB﹣BD=3BD=3cm．故答案为3．【分析】要求AD的长度，需要先求得斜边AB的长度；根据“30度角所对的直角边等于斜边的一半”易求BC=2BD=2cm，AB=2BC=4cm．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是．【答案】2【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，FD⊥AB，

∴∠ECF=∠EDB=90°，

∵∠AED=∠CEF，

∴∠A=∠F=30°，

∵AB的垂直平分线DE交AC于E，

∴BE=AE，

∴∠EBA=∠A=30°，

∴BE=2DE=2.

故答案为：2.

【分析】根据等角的余角相等，得出∠A=∠F=30°，根据线段垂直平分线的性质得出BE=AE，根据等腰三角形的性质得出∠EBA=∠A=30°，根据“30度角所对的直角边是斜边的一半”，即可得出BE=2DE=2.10．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D，若AC＝9，则AE的值是．【答案】6【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，∵ED垂直平分AB于D，∴EA=EB，∴∠A=∠ABE，∴∠CBE=30°，∴BE=2EC，即AE=2EC，而AE+EC=AC=9，∴AE=6．故答案为：6【分析】在△ACB中，可求得∠CBE=∠ABE=∠A=30°，再在Rt△BCE中，∠CBE=30°可得BE=2EC，最后根据AC＝9求得AE。11．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=4cm，则阴影部分的面积是cm2【答案】2【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：由题意知，∠ACB=∠E=，

∴BC∥DE，∵∠B=，AB=4，

∴AC=AB=4=2，

∵∠D=，

∴∠AFC=∠D=

∴CF=AC=2，

∴阴影部分的面积==2.

【分析】根据直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半可求得AC的值，再根据同垂直于一条直线的两条直线互相平行可得BC∥DE，由平行线的性质可得∠AFC=∠D=，根据等腰直角三角形的性质可得CF=AC，则阴影部分的面积=可求解。12．如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于．【答案】4【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：作DG⊥AC，垂足为G．∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE，∵∠DAE=∠ADE=15°，∴∠DAE=∠ADE=∠BAD=15°，∴∠DEG=15°×2=30°，∴ED=AE=8，∴在Rt△DEG中，DG=DE=4，∴DF=DG=4．故答案为：4．【分析】作DG⊥AC，根据DE∥AB得到∠BAD=∠ADE，再根据∠DAE=∠ADE=15°得到∠DAE=∠ADE=∠BAD，求出∠DEG=15°×2=30°，再根据30°的角所对的直角边是斜边的一半求出GD的长，然后根据角平分线的性质求出DF．三、解答题：13．如图，△ABC中AB＝AC，∠C＝30°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N，试探究BM与CM之间的数量关系.【答案】解：连接AM，∵AB=BC，∠C=30°，∴∠B=30°，∵AB的垂直平分线是MN，∴∠MAC＝90°，CM=2AM，∴AB=2BM，∴CM=2BM，【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形【解析】【分析】连接AM，∵AB=BC，∠C=30°∴∠B=30°，∵AB的垂直平分线是MN，，∴∠MAC＝90°，CM=2AM，∴AB=2BM，，∴CM=2BM.14．如图，已知，在△ABC中，，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，若∠A=30°，CD=4cm，求AC的长.【答案】解：∵，∴∠ABC=60°，∵DE是AB的垂直平分线，∴BD=AD，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠CBD=30°，∵CD=4cm，∴BD=2CD=8cm，∴AD=8cm，∴AC=CD+AD=12cm.【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形【解析】【分析】由三角形的内角和定理得∠ABC=60°，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出AD=BD，根据等边对等角得出∠A=∠ABD=30°，根据角的和差得出∠CBD=30°，然后根据含30°直角三角形的性质可得AD=BD=8cm，进而问题可求解.15．如图，在中，∠°，∠°，⊥AB于点D，交AC于点E，如果，求的长．【答案】解：∵，，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵在中，，∴．【知识点】含30°角的直角三角形【解析】【分析】根据三角形的内角和得出，根据含30度角的直角三角形的性质解答即可。16．已知如图等边三角形△ABC，D，E分别是BC，AC上的点.AD、BE交于点N，BM⊥AD于M.若AE=CD，求证：MN=BN.【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°.在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE=∠CAD，∴∠BNM=∠BAN+∠ABN=∠BAN+∠CAD=60°，∵BM⊥AD，即∠AMB=90°，∵∠BNM=60°，∴∠NBM=30°，∴MN=BN.【知识点】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】由等边三角形的性质可得AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°，用边角边可证△ABE≌△CAD，由全等三角形的性质可得∠ABE=∠CAD，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠BNM=∠BAN+∠ABN=∠BAN+∠CAD=60°，然后根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可求解.能力提升篇一、单选题：1．已知等腰三角形△ABC，BC边上的高恰好等于BC边长的一半，则∠BAC的度数是（）A．75° B．90°或75°C．90°或75°或15° D．75°或15°或60°【答案】C【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】分三种情况：①AB=BC，AD⊥BC，AD在三角形的内部，由题意知，AD=BC=AB，∵∠ADB=90°，∴∠B=30°，∠C==75°，∴∠BAC=∠C=75°；②AC=BC，AD⊥BC，AD在三角形的外部，由题意知，AD=BC=AC，∵∠ADB=90°，∴∠ACD=30°=∠B+∠CAB，∵∠B=∠CAB，∴∠BAC=15°；③AC=AB，AD⊥BC，BC边为等腰三角形的底边，由等腰三角形的三线合一知点D为BC的中点，由题意知，AD=BC=CD=BD，∴△ABD，△ADC均为等腰直角三角形，∴∠BAD=∠CAD=45°，∴∠BAC=90°，∴∠BAC的度数为90°或75°或15°，故答案为：C.【分析】本题要分情况讨论，根据等腰三角形的性质来分析：①当AD在三角形的内部，②AD在三角形的外部以，③BC边为等腰三角形的底边三种情况.2．如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=CD，AD、BE相交于F，BH⊥AD于H点，FH=3，EF=0.5，则AD的长为()A．6 B．6.5 C．7 D．7.5【答案】B【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAE=∠DCA=60°，

在△ABE和△CAD中，

，

∴△ABE≌△CAD（SAS），

∴BE=AD，∠CAD=∠ABE，

∴∠BFH=∠ABF+∠BAF=∠CAD+∠BAF=60°，

∴∠FBH=90°-∠BFH=30°，

∴BF=2FH=6，

∴BE=BF+EF=6+0.5=6.5，

∴AD=BE=6.5.

故答案为：B.【分析】根据等边三角形的性质得出AB=AC，∠BAE=∠DCA，然后利用SAS证明△ABE≌△CAD，得出BE=AD，∠CAD=∠ABE，然后利用三角形外角的性质求出∠BFH=60°，则可根据含30°角的直角三角形的性质求出BF，然后利用全等三角形的性质即可得出AD的长.3．如图，在△ABC中，∠A=60°，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，BE，CF交于点M，如果CM=4，FM=5，则BE等于()A．14 B．13 C．12 D．11【答案】C【知识点】含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵BE⊥AC，CF⊥AB，

∴∠AEB=∠AFC=90°，

∵∠A=60°，

∴∠ABE=∠ACF=30°，

在Rt△FBM中，

∵FM=5，

∴BM=2FM=10，

在Rt△EMC中，

∵CM=4，

∴EM=CM=2，

∴BE=BM+ME=10+2=12.

故答案为：C.

【分析】根据垂直的定义可知∠AEB=∠AFC=90°，由三角形内角和定理得∠ABE=∠ACF=30°，在Rt△FBM、Rt△EMC中，根据直角三角形的性质求得BM=10，EM=2，再由BE=BM+ME即可求得答案.4．如图，在中，，，D为的中点，P为上一点，E为延长线上一点，且有下列结论：①；②为等边三角形；③；④其中正确的结论是（）A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④【答案】C【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：如图，连接BP，∵AC＝BC，∠ABC＝30°，点D是AB的中点，∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，∴CD是AB的中垂线，∴AP＝BP，而AP＝PE，∴AP＝PB＝PE∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB，∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，故①正确；∵PA＝PE，∴∠PAE＝∠PEA，∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，∴∠PAE+∠PEA＝而∴△PAE是等边三角形，故②正确；如图，延长至，使则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AD，∵△PAE是等边三角形，∴AE＝AP，∴AE＝AP′，∵∠CAD＝∠CAP+∠PAD＝30°，∴2∠CAP+2∠PAD＝60°，∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD＝60°﹣∠PAC，∴∠P′AC＝∠EAC，∵AC＝AC，∴△P′AC≌△∠EAC（SAS），∴CP′＝CE，∴CE＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD，∴.故③错误；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，∵CG＝CP，∠BCD＝60°，∴△CPG是等边三角形，∴∠CGP＝∠PCG＝60°，∴∠ECP＝∠PGB＝120°，且EP＝PB，∠PEB＝∠PBE，∴△PCE≌△PGB（AAS），∴CE＝GB，∴AC＝BC＝BG+CG＝EC+CP，∵∠ABC＝30°，AF⊥BE，∴AF＝AB＝AD，∵S△ACB＝CB×AF＝（EC+CP）×AF＝EC×AF+CP×AD＝S四边形AECP，∴S四边形AECP＝S△ABC.故④正确.所以其中正确的结论是①②④.故答案为：C.【分析】连接BP，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，进而推出AP＝BP＝PE，由等腰三角形的性质可得∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，然后根据角的和差关系可判断①；易得∠PAE+∠PEA＝120°，∠APE=60°，据此判断②；延长PD至P′，使PD=P′D，则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，由等边三角形的性质可得AE＝AP，则AE＝AP′，推出∠P′AC＝∠EAC，证明△P′AC≌△∠EAC，得到CP′＝CE=CP+2PD，据此判断③；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，则△CPG是等边三角形，则∠CGP＝∠PCG＝60°，证明△PCE≌△PGB，得到CE＝GB，推出AC＝BC＝EC+CP，根据含30°角的直角三角形的性质可得AF＝AB＝AD，据此不难判断④.二、填空题：5．如图，在中，，，，平分，点E是的动点，点F是上的动点，则的最小值为.【答案】12【知识点】垂线段最短；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义【解析】【解答】解：在射线BC上取一点E′，使得BE′＝BE.过点A作AH⊥BC于H.在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝24，∠C＝30°，∴AH＝AC＝12，∵BD平分∠ABC，∴∠FBE＝∠FBE′，∵BE＝BE′，BF＝BF，∴△FBE≌△FBE′（SAS），∴FE＝FE′，∴AF＋FE＝AF＋FE′，根据垂线段最短可知，当A，F，E′共线且与AH重合时，AF＋FE的值最小，最小值＝12，故答案为：12.【分析】在射线BC上取一点E′，使得BE′＝BE，过点A作AH⊥BC于H，根据含30°角的直角三角形的性质可得AH＝AC＝12，由角平分线的概念得∠FBE＝∠FBE′，证明△FBE≌△FBE′，得到FE＝FE′，则AF＋FE＝AF＋FE′，根据垂线段最短可知：当A，F，E′共线且与AH重合时，AF＋FE的值最小，据此求解.6．如图，已知∠AOB=60°，点P是OA边上，OP=8cm，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2cm，则ON=cm．【答案】5【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：过P作PD⊥OB于点D，在Rt△OPD中，∵∠ODP=90°，∠POD=60°，∴∠OPD=30°，∴OD=OP=×8=4cm，∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2cm，∴MD=ND=MN=1cm，∴ON=OD+DN=4+1=5cm．故答案为：5．【分析】过P作PD⊥OB于点D，在直角三角形POD中，利用含30度直角三角形的性质求出OD的长，再由PM=PN，利用等腰三角形三线合一的性质得到D为MN中点，根据MN=2求出DN的长，由OD+DN即可求出ON的长．7．如图，△ABC中，∠A=15°，AB是定长.点D，E分别在AB，AC上运动，连结BE，ED．若BE+ED的最小值是2，则AB的长是【答案】4【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】如图，作∠CAF=15°，∵AC是∠BAF的平分线，∴DE=D´E，∴当BE、D´E在一条直线上时，即当E、D在如图位置上时，BE+ED最小，∵∠F=90°，∠FAB=30°，∴AB=2BF=4.故答案为：4.【分析】作点B关于AC的对称点B'，过B作BF⊥AB'，BF即为BE+ED的最小值，利用含30°的直角三角形的性质解答即可．8.如图，在等边△ABC中，AD⊥BC交于D，P、Q两点分别是AC、BC边上的两动点，且PQ∥AD，当∠PDQ＝30°时，如果CQ＝0.5，那么AB＝．【答案】4【知识点】平行线的判定与性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠C＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝DC，∵∠PDQ＝30°，∴∠PDQ+∠C＝90°，∴∠DPC＝90°，∵PQ∥AD，AD