一轮复习人教A版6.2平面向量的数量积及其应用课件（17张）

高考

数学专题六平面向量6.2平面向量的数量积及其应用基础篇考点平面向量的数量积

1)如图1,设a,b是两个非零向量,

=a,

=b,考虑如下的变换:过

的起点A和终点B,分别作

所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到

,称上述变换为向量a向向量b投影,

叫做向量a在向量b上的投影向量.

图1

图22)如图2,在平面内任取一点O,作

=a,

=b.过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则

就是向量a在向量b上的投影向量.设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则1)e·a=a·e=|a|cosθ.2)a⊥b⇔a·b=0.3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=|a|2.4)cosθ=

.5)|a·b|≤|a|·|b|.a=(x1,y1),b=(x2,y2),则1)证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件:a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.2)求夹角问题,利用夹角公式:cos<a,b>=

=

.3)求向量的模:|a|=

=

或|AB|=|

|=

(其中A(x1,y1),B(x2,y2)).综合篇考法一求平面向量模的方法1)|a|=

;2)|a±b|=

;3)若a=(x,y),则|a|=

;4)解向量所在三角形,转化为求三角形的边长;5)通过解方程(组)求解.2.求向量模的最值(范围)的方法1)代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解.2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的

图形求解.3)利用||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求模的取值范围.例1

(2022广东湛江模考,4)已知单位向量a,b的夹角为

π,若向量m=2a,n=4a-λb且m⊥n,则|n|=

(

)解析因为m⊥n,所以2a·(4a-λb)=0,即8a2-2λa·b=0,故4-λ·

=0,解得λ=-4

,故n=4a+4

b,故|n|2=

=16a2+32

a·b+32b2=16,故|n|=4.故选B.答案

B例2

(2020课标Ⅰ理,14,5分)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=

.解析由|a+b|=1,得|a+b|2=1,即a2+b2+2a·b=1,而|a|=|b|=1,故a·b=-

,|a-b|=

=

=

=

.答案

例3

(2021山东滨州二模,14)已知平面向量a,b,d是单位向量,且a·b=0,则|d

-a-b|的最大值为

.解析因为a·b=0,所以a⊥b,建系如图所示,可设a=(1,0),b=(0,1),d=(x,y),因为|d|=1,所以d的终点为单位圆上任意一点,又d-a-b=(x-1,y-1),所以|d-a-b|=

,表示点(x,y)与点A(1,1)间的距离,由图可得,当(x,y)位于图中B点时,点B与点A间的距离最大,且为

+1,所以|d-a-b|的最大值为

+1.答案

+1考法二求平面向量夹角的方法1.定义法:当非零向量a,b是非坐标形式时,需求出a·b及|a|,|b|或得出它们之

间的关系.2.坐标法:若已知非零向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2),则可直接利用公式cos<a,b>

=

求解,注意<a,b>∈[0,π].3.转化成解三角形问题,利用正弦、余弦定理求解.例4

(2022河北邯郸三模,13)若向量a,b满足|a|=|b|,|a+2b|=

|a|,则向量a,b的夹角为

.解析由|a+2b|=

|a|得|a+2b|2=3|a|2,又|a|=|b|,∴|a|2+4|a|·|b|cos<a,b>+4|b|2=5|a|2+4|a|2cos<a,b>=3|a|2,∴cos<a,b>=-

,又<a,b>∈[0,π],∴<a,b>=

.答案

考法三平面向量数量积的综合应用1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平

面几何问题转化为向量问题;2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,

如距离、夹角等问题;3)把运算结果转化成几何关系.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.1)在

=λ

的条件下,存在λ使得I为△ABC的内心;a

+b

+c

=0⇔P为△ABC的内心.2)|

|=|

|=|

|⇔P为△ABC的外心.3)

+

+

=0⇔G为△ABC的重心.4)

·

=

·

=

·

⇔P为△ABC的垂心.例5

在△ABC中,向量

与

满足

·

=0,且

·

=

,则△ABC为

(

)解析∵

·

=0,

,

分别为

,

方向上的单位向量,∴∠A的平分线与BC垂直,则AB=AC.由

·

=|

|·|

|·cosB,可得cos

B=

·

=

,则∠B=

,∴∠B=∠C=

,∠A=

.∴△ABC为等腰直角三角形.答案

D例6

(2019江苏,12,5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.

若

·

=6

·

,则

的值是

.解析解法一:过D作DF∥EC,交AB于F.∵D为BC的中点,∴F为BE的中

点,又BE=2EA,∴EF=EA,又DF∥EO,∴AO=

AD,∴

=

=

(

+

).∴

·

=

(

+

)·

=

.∵

·

=6

·

,∴

·

=

-

+

·

,∴

=3

,∴|

|=

|

|,∴

=

.解法二:由于题目中对∠BAC没有限制,所以不妨设∠BAC=90°,AB=c,AC=

b,建立如图所示的平