方程的根与函数的零点讲课

方程的根与函数的零点7/20/20232

在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月.

我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题。如约公元50年—100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法…

7/20/20233问题·探究7/20/20234

方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1函数函数的图象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根函数的图象与x轴的交点(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543.....yx0－12112y=x2－2x+3问题·探究问题2求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图像的简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标7/20/20235方程ax2+bx+c=0(a>0)的根函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象判别式△=b2－4ac△＞0△=0△＜0函数的图象与x轴的交点有两个相等的实数根x1=x2没有实数根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等的实数根x1、x2问题3若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？7/20/20236

对于函数y=f(x),叫做函数y=f(x)的零点。方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点函数的零点定义：等价关系使f(x)=0的实数x零点的求法解方程7/20/20237例1：求函数f（x）=lg(x-1)的零点求函数零点的步骤：

(1)令f(x)=0;(2)解方程f(x)=0；

(3)写出零点7/20/20238求下列函数的零点65)(2+-=xxxf12)(-=xxf（1）（2）2和307/20/20239

问题探究观察函数的图象①在区间(a,b)上______(有/无)零点；f(a).f(b)_____0（＜或＞）．②在区间(b,c)上______(有/无)零点；f(b).f(c)_____0（＜或＞）．③在区间(c,d)上______(有/无)零点；f(c).f(d)_____0（＜或＞）．7/20/202310结论xy00yx0yx0yx7/20/202311A.（6,7）B.（7,8）C.（8,9）D（9,10）A.（-1,0）B（0,1）C（1,2）D（2,3）7/20/202312xy0思考：若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗？如果函数y=f(x)在[a,b]上,图象是连续的，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f(a)f(b)﹤0,且是单调函数那么，这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点。7/20/2023137/20/202314由表3-1和图3.1—3可知f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点。

由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点。解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1）和图象（图3.1—3）

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－1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972例题2求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。123456789xf（x）.........x0－2－4－6105y2410861214876432197/20/202315你能判断出方程㏑x=-x2+3实数根的个数吗？试一试：17/20/202316练习：BB7/20/202317反思小结